相似三角形比例线段及判定

相似三角形知识点整理

重点、难点分析：

1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．

2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。

☆内容提要☆

一、本章的两套定理

第一套（比例的有关性质）：

涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

二、有关知识点：

1.相似三角形定义：

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：

相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的判定定理：

(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：

从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边

成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似：

(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理：

(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8. 相似三角形的传递性

如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2

三、注意

1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三

角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A”型和“ 8 ”型。

在利用定理证明时要注意A型图的比例，每个比的前项是同一个三

角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成的错误。

2、 相似三角形的基本图形

Ⅰ.平行线型：即A型和X型。

Ⅰ.相交线型

3、掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明

三角形相似及比例式或等积式。

4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

5、对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。

6、对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。

5、小亮同学想利用影长测量学校旗杆AB的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上BD处，另一部分在某一建筑的墙上CD处，分别测得其长度为9.6米和2米，求旗杆AB的高度．知识考点：

本节知识在考题中，主要涉及用比例的性质、平行线分线段成比例定理。由于比例的性质在应用时有其限制条件，一些中考题又以此为背景设计分类求解题。

精典例题：

【例1】已知，那么＝ 。

分析：此类问题有多种解法，一是善于观察所求式子的特点，灵活运用等比性质求解；二是利用方程的观点求解，将已知条件转化为，，代入所求式子即可得解；三是设“”值法求解，这种方法对于解有关连比的问题十分方便有效，要掌握好这一技巧。

答案：

变式1：已知，若，则＝ 。

变式2：已知，求的值。

变式3：已知，则的值为 。

答案：（1）；（2）3；（3）1或－2；

【例2】如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，且AE＝AF，EF的延长线交BC的延长线于点D。求证：CD∶BD＝CF∶BE。

分析：在题设中，没有平行的条件，要证明线段成比例，可考虑添加平行线，观察图形，对照结论，需要变换比CF∶BE，为了变换比CF∶BE，可以过点C作BE的平行线交ED于G，并设法证明CG＝CF即可获证。

本例为了实现将比CF∶BE转换成比CD∶BD的目的，还有多种不同的添画平行线的方法，它们的共同特征都是构造平行线截得的线段成比例的基本图形，请你们参考图形，自己去构思证明。

变式1：已知如图，D是△ABC的边BC的中点，且，求的值。

变式2：如图，BD∶DC＝5∶3，E为AD的中点，求BE∶EF的值。

答案：（1）；（2）13∶3；

【例3】如图，在△ABC中，P为中线AM上任一点，CP的延长线交AB于D，BP的延长线交AC于E，连结DE。

（1）求证：DE∥BC；

（2）如图，在△ABC中，DE∥BC，DC、BE交于P，连结AP并延长交BC于M，试问：M是否为BC的中点？

解析：（1）延长AM至Q，使MQ＝MP

∵BM＝MC，∴四边形BPCQ是平行四边形

∴CD∥BQ，BE∥QC

∴

∴DE∥BC

（2）过B作BQ∥CD交AM的延长线于Q

∵DE∥BC，∴

∴，∴BE∥QC

∴四边形BPCQ是平行四边形

∴M是BC的中点

探索与创新：

【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：

三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，△ABC中，AD是角平分线。求证：。

分析：要证，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似，现在B、D、C在同一条直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥AD交BA的延长线于E，从而得到BD、CD、AB的第四比例项AE，这样，证明就可以转化为证AE＝AC。

证明：过C作CE∥AD交BA的延长线于E

CE∥AD∠E＝∠3

AE＝AC

CE∥AD

∴

（1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；

（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（ ）

①数形结合思想 ②转化思想 ③分类讨论思想

答案：②转化思想

（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知AD是△ABC中∠BAC的角平分线，AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝7 cm，求BD的长。

答案： cm

评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。

跟踪训练：

一、填空题：

1、若，则＝ ；若，且，则 ＝ ，＝ ，＝ 。

2、若，则＝ 。

3、已知数3、6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，则这个数是 。

4、如图，在□ABCD中，E为BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于点F，则BF∶FD＝ 。

二、选择题：

1、已知如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，则下列比例式中正确的是（ ）

A、 B、 C、 D、

2、如图，在△ABC中，AD＝DF＝FB，AE＝EG＝GC，FG＝4，则（ ）

A、DE＝1，BC＝7 B、DE＝2，BC＝6

C、DE＝3，BC＝5 D、DE＝2，BC＝8

3、如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ∶BC＝（ ）

A、1∶3 B、1∶4 C、1∶5 D、1∶6

4、如图，∥，，BC＝4CD，若，则＝（ ）

A、 B、2 C、 D、4

三、解答题：

1、已知如图，AD＝DE＝EC，且AB∥DF∥EH，AH交DF于K，求的值。

2、如图，□ABCD中，EF交AB的延长线于E，交BC于M，交AC于P，交AD于N，交CD的延长线于F。求证：。

3、如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点，（、＞0），取CF的中点D，连结AD，并延长交BC于E。

（1）求的值；

（2）如果BE＝2EC，那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系？并证明你的结论；

（3）E点能否为BC的中点？如果能，求出相应的的值；如果不能，说明理由。

4、如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝3，P为BC上一点，PE∥AB交AC于E，PF∥CD交BD于F，设PE、PF的长分别为、，。那么当点P在BC边上移动时，的值是否变化？若变化，求出的范围；若不变，求出的值，并说明理由。

相似三角形的判定

（一）填空：

1．若3x-7y=0, 则y∶x=_______, =________。

2．若a=7, b=4, c=5, 则b, a, c的第四比例项d=_______。

3．若线段a=4, b=6, 则a, b的比例中项为________。

4．已知：===, 则 =______，=_________。

5．已知：a∶b∶c=3∶4∶5, a+b-c=4, 则4a+2b-3c=________。

6．若=, 则 x=_______。

7．已知：ΔABC中，DE//BC交AB于D，AC于E，AB=10，AD-DB=2，BC=9，则DE=________。

8．已知：RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=4，BD=2，则CD=________，AC=_________。

9．ΔABC中，∠ACB=90°，CD是高，AC=3，BC=4，则CD=_______，AD=_________，BD=_________。

10．ΔABC中，AB=AC=10，∠A=36°，BD是角平分线交AC于D，则CD=_________。

11．等边三角形的边长为a，则它的内接正方形的边长为_________。

12．ΔABC中，DE//BC，DE交AB，AC于D，E，AD∶DB=5∶4，则S梯形BCED∶SΔADE=________。

13．两个相似多边形面积比是1∶3，则周长比是_______。

14．两个相似多边形的面积比为25∶9，其中一个多边形的周长为45，则另一个多边形的周长为_________。

15．如果两个相似多边形的最长边分别为35cm和14cm，它们的周长差为60cm，那么这两个多边形的周长分别为__________。



（二）选择题：

1．在ΔABC中，DE//BC交AB于D，AC于E，若四边形DECB的面积为ΔADE面积的3倍，则DE∶BC=（　 ）

A、1∶3　　B、1∶9　　C、3∶1　　D、1∶2

2．如图，在ΔABC中=，=，设AD与CE的交点为P，则CP∶PE=（　　 ）。

A、5∶1　　　

B、4∶1　　

C、3∶1　　　

D、5∶2

3．一个直角三角形两条直角边之比是1∶2，则它们在斜边上射影的比是（　　 ）

A、1∶　　B、1∶　　C、1∶4　　D、1∶5

4．ΔABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列式子中错误的是（　 ）

A、AD2=BD·DC　　B、CD2=CF·CA

C、DE2=AE·EB　　D、AD2=AF·AC

5．ΔABC中，D，E，F分别在AB，BC，AC上，四边形ADEF是菱形，AB=a, AC=b，则菱形ADEF的边长是（　）

A、　　B、　　C、　　D、

6．正方形ABCD中，E是AD中点，BM⊥CE于M，AB=6cm, 则BM的长为（　　 ）。

A、12cm　　B、cm　　C、3cm　　D、cm

7．要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（　　）倍。

A、2　　B、4　　C、2　　D、64

8．梯形ABCD中，AD//BC，AC、BD交于E点，SΔADE∶SΔADC=1∶3，则SΔADE∶SΔDBC=（　　 ）。

A、1∶3　　B、1∶4　　C、1∶5　　D、1∶6



（三）已知：如图，在ΔABC中，AD为中线，E在AB上，AE=AC，CE交AD于F，EF∶FC=3∶5，EB=8cm，求：AB，AC的长。

　　

（四）矩形DGFE内接于ΔABC， DG∶DE=3∶5， S矩形DGFE=60cm2, 高AH=10cm，求：SΔABC。

（5）如图，在ΔABC中，AD是BC边上中线，E是AD中点，求证：AF=FC，EF=BE。

（6）已知：如图，在ΔABC中，D为AB边上一点，Q为BC延长线上一点，DQ交AC于P，且∠BDQ=∠PCQ，求证：AB·QD=AC·QB。

（七）已知：ΔABC中，∠C=90°，AC=8cm, BC=6cm

求：在ΔABC内作正方形，使正方形的四个顶点都在三角形的边或顶点上，求这个正方形的边长。

四、学生对于本次课的评价：

○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字：

五、教师评定：

1、 学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差

2、 学生本次上课情况评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差

教师签字：