无穷大与无穷小，极限的四则运算

第 4 次课 2 学时

§1.5 无穷小与无穷大

一、无穷小

若当（或）时的极限为零，就称为当（或）时的无穷小，即有

定义1：对若，使得当时，有成立，就称为当时的无穷小，记为。

注：除上两种之外，还有的情形。

：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0），不要将其与一个绝对值非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除非是0，即0是唯一可作为无穷小的常数。

【例1】 因为，所以当时为无穷小；

同理：，所以当时为无穷小，

定理1：当自变量在同一变化过程（或）中，

（i）具有极限的函数等于其极限值与一个无穷小之和，即：为的极限。

（ii）若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限。

二、无穷大

若当或时，就称为当或时的无穷大。

定义2：若对，使得当时，有，就称当时的无穷大，记作:。

注：同理还有时的定义。

：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆。

：若或，按通常意义讲，的极限不存在。

【例2】 可证明，所以当时为无穷大。

曲线的渐近线：一般地，若是曲线y=f(x)的一条水平渐近线。

若是曲线y=f(x)的一条垂直渐近线。

定理2：当自变量在同一变化过程中时，

（i）若为无穷大，则为无穷小。（ii）若为无穷小，且，则为无穷大。

（证明略）

§1.6 极限运算法则

定理1：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设.

证明：考虑两个无穷小的情形。 设时均为无穷小。

注：可以推广到有限多个无穷小的代数和的情形。但是，无穷多个无穷小的和不一定是无穷小，如：

定理2：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设有界，。

证明：证明时的情况，设函数在的某邻域内有界，即，当时，有，又设为当时的无穷小，即，故对，当时，有

所以，即为无穷小；同理可证时的情形。

推论1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若为常数，。

推论2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设

。

定理3：若，则存在，且。

证明： 只证，过程为，对，当时，有，对此，，当时，有，取，当时，有

所以。

其它情况类似可证。

注：本定理可推广到有限个函数的情形。

定理4：若，则存在，且

。

证明：因为，由§1.5定理1（i）

（均为无穷小），记

，由定理2的推论1.2及定理1为无穷小，再由§1.5定理1（iii）。

推论1：（为常数）。

推论2：（为正整数）。

定理5：设，则。

证明：设（为无穷小），考虑差：

其分子为无穷小，分母，我们不难证明有界（详细过程见书上）为无穷小，记为，所以，由§1.5定理1（ii）。

注：以上定理对数列亦成立。

定理6：如果，且，则。

【例1】。

【例2】。

推论1：设为一多项式，当

。

推论2：设均为多项式，且，由定理5，。

【例3】。

【例4】（因为）。

注：若，则不能用推论2来求极限，这时需采用其它手段。

【例5】求。

解：当时，分子、分母均趋于0，因为，约去公因子，

所以 。

【例6】求。

解：当极限均不存在，故不能直接用定理3，但当时，

，所以

。

【例7】求。

解：当时，，故不能直接用定理5，又，考虑：，

由§1.5定理2（ii）。

【例8】设为自然数，则

。

证明：当时，分子、分母极限均不存在，故不能用§1.6定理5，先变形：

【例9】。

【例10】证明为的整数部分。

证明：先考虑，因为是有界函数，且当时，，所以由

§1.6定理2。

定理7：设函数在时极限为 a ，即但在 的某个去心邻域内，且则复合函数当时的极限也存在，且有

（ 证明略 ）

定理7表明：如果函数满足定理的条件，那末在作代换时，可将

例如，。

因此，在求复合函数的极限时，如需作变量代换，可将新的变量的极限代入。

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