根与系数关系应用

练习题

（一）选择

1．若x2+px-15=0两根之差的绝对值为8，则p的值为                 [    ]．

2．已知两数和为-6，两数积是2，为        [    ]．

3．已知方程2x2-7x+2=0的两根为x1和x2．下列各式计算正确的是   [    ]．

4．若-7是方程x2＋3x＋k=0的一个根，则另一根与k的值为   [    ]．

A．4， k=28；                                 B．-4，k=-28；

C．4， k=-28；                                D．-4，k=28．

的值为      [    ]．

A．x2+2x＋2=0；                              B．x2-2x＋2=0；

C．x2-2x-2=0；                                 D．x2+2x-2=0．

7．已知方程2x2-7x＋2=0的两根为x1和x2，下列各式计算正确的是       [    ]．

A．2x1+2x2=-7；

8．设α，β是方程x2＋4x-6=0的两个根，下列各式计算正确的是    [    ]．

C．x2＋3x-11=0；                             D．4x2+12x-11=0．

10．已知方程2x2+3x-1=0的两根为α，β，下列各式计算正确的是  [    ]．

的值正确的是      [    ]．

A．x2＝2， k＝7；                           B．x2=2，k=-7；

C．x2=-2， k=-7；                            D．x2=-2，k＝7．

12．α，β是方程2x2-6x+3=0的两个根，则α2β+αβ2的值为   [    ]．

13．若方程2x2-5mx＋3n=0两根之比为2∶3，而方程x2-2nx＋8m=0两根相等（m，n是不为0的实数），则二次方程mx2+（n＋k-1）x＋（k＋1）=0恒有实数根时，k为                 [    ]．

A．任何实数；                                  B．大于0的实数；

C．整数；                                         D．非负数．

（二）综合练习

14．已知α，β是方程2x2-3x＋1=0的两根．求证

15．已知α，β是方程3x2＋5x-2=0的两根．求证

16．已知α，β是方程3x2＋5x-2=0的两个根．求证

17．已知方程2x2-3x-1=0，利用根与系数关系求作一个新方程，使它的两根分别是原方程两根平方的倒数．

18．已知方程x2-6x-7=0，利用根与系数关系求作一个新方程使它的两根分别是原方程两根的平方．

19．已知方程2x2-5x+1=0，利用根与系数关系求作一个新方程，使它的根分别为原方程两根的倒数．

21．已知方程2x2-5x＋1=0，利用根与系数关系求作一个新方程，使它的两根分别是原方程两根的3倍．

22．已知方程2x2-5x+1=0，利用根与系数关系求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别是原方程两根的相反数．

23．已知α，β是方程x2＋4（m-1）x＋12=0的两根，且|α-β|=4，m＞0．求证：m=3．

24．已知α,β是方程（m-1）x2＋2x＋3=0的两根，且(α-β)2=16，

根的方程是x2-bx-2a=0．

26．已知α，β是方程x2＋px＋q=0的两根．求证

求b的值．

29．若方程mx2+4x＋（n-15）=0的一个根是-9，另一个根是正数且是方程（x＋2）2=34＋3x的一个根，求m，n的值．

30．若α，β为方程kx2-3x＋2=0的两根，且两根平方的倒数和为

31．一元二次方程两根之和为11，两根之平方差为33，求这个方程．

求m的值．

33．若方程mx2＋2x-x2+3=0的两根为α，β且（α-β）2=4，求m的值．

34．利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，使它的根是方程2x2+3x-1=0的各根的负倒数．

的一元二次方程．

36．已知方程（3m＋1）x2+mx＋1=0的两根的平方和的相反数

求另一个根．

39．已知方程2x2-6x＋3=0的两个根为α和β，求下式的值：

（1）α2β+αβ2；                              （2）（α-β）2．

40．若x1和x2是方程x2+5x+4=0的两个根，利用根与系数关系求下式的值：

41．已知x1和x2是方程4x2-8x＋3=0的两根，不解方程，求下式的值：

42．若方程3x2-5x＋k=0的两根之比为-6，求k的值．

43．若方程mx2+2x＋1=0两根的倒数之差的绝对值是1，求m的值．

44．若方程x2+kx+4=0的一个根倒数的相反数是-1，求另一个根及k的值．

45．已知x1，x2是关于x的方程x2-（2m+3）x＋m2=0的两个实

46．求证：当k＜-2时，方程（k2+3k+2）x2-（6k2+9k-1）x＋9k2-1=0有两个正根，并求出这两个正根．

47．求证：当-2＜k＜-1时，方程（k2+3k+2）x2-（6k2+9k-1）x+9k2-1=0有两个异号实根，并求出这两个异号根来．

48．求证：方程6x|x|+7|x|-3=0只有一个实根，并求出这个实根．

49．求证：方程6x|x|-13|x|+6=0有三个实数根，并求出这三个根．

51．如果a，b是正实数，方程x2＋ax＋2b=0和方程x2＋2bx＋a=0都有实数根，求证：a+b的最小值是6．

52．k为何值时，方程2x2+4kx＋2k2-5k-3=0有两个正数根？

53．已知：方程x2+mx+n=0的两根之比为3∶4，判别式的值为2，求此方程的根．

求此方程的两根．

求此方程的两根．

56．已知α，β是方程ax2+bx＋c=0的两根．求证

57．已知方程ax2＋bx＋c=0的两根之和为m1，两根的平方和为m2，两根的立方和为m3．求证：am3＋bm2＋cm1=0．

60．设方程ax2＋bx＋c=0的两根为α，β且α=2β＋1，求证：

9ac＋a2-ab-2b2=0．

61．已知方程x2+px+q=0的两根之差为2，求证：

p2-4q=4．

62．已知：α，β为方程ax2+bx+2=0的两根，且

求证：a=1，b=-3．

63．已知方程x2-8mx+m2-n＋1=0，其中一个根是另一个根的3倍，求证：11m2＋n=1．

64．若方程x2+mx+n=0的一个根是2，另一个根是负数，且是方程（x＋4）2=3x＋52的根．求证：m=7，n=-18．

66．k为何值时方程x2+kx+6=0与方程x2-（k+4）x-12=0有一个共同根？

（1）求此共同根；

（2）以此共同根和-5为两根，求作一个新的一元二次方程．

67．若方程x2-（3m-1）x-3=0的两根为α，β，其中a＝3．

（1）求m的值；

（2）以（α＋β）2和（α-β）2为两根作一个一元二次方程．

68．若方程x2-（3m-1）x-3=0的两根为α，β，其中α=3．求作

69．已知α，β是方程x2-2x-（m2+2m）=0的两个根，α2+β2=c2，且当m＋2=0时，不解方程求c的值．

70．若方程3x2＋m=5x的两根为α，β，且6α=-β，求m的值．

次方程．

72．方程ax2+bx＋c=0两根为α和β，以mα和mβ为两根，求作一个一元二次方程．

73．若α，β是方程x2+mx+n2-1=0的两根，当x=0时，x2+mx+n2-1=8，且|α-β|=2，求m和n的值．

求这个方程．

75．已知方程ax2+bx＋c=0（a≠0）的两根是α，β，求以α+2β、2α+β为两根的一元二次方程．

76．一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根为α和β，以（α-β）2和（α+β）2为两根求作一个一元二次方程．

77．方程2x2＋7x-15=0的两根为α，β，且4（α2＋β2）=4c2+93，利用根与系数关系求c的值．

求这个方程．

一元二次方程的根与系数的关系（答案）

（一）选择

1．C    2．D    3．C    4．C    5．B

6．C    7．B    8．D    9．D    10．C

11．B    12．C    13．A

（二）综合练习

14．提示：由根与系数关系得α+β=3/2，αβ/2．代入α3+β3＝（α+β）（α2－αβ+β2）＝（α+β）[（α+β）2-3αβ]．

+β2=（α+β）2-2αβ可得结论．

17．y2-13y+ 4=0．提示：设α，β为方程2x2-3x-1=0的两根，则

18．y2-50y+49=0．

19．y2-5y+2=0．

21．2y2-15y+9=0．

22．2y2+5y+1=0．

23．提示：方法一  α+β=-4（m-1），αβ=12．因为|α-β|=4，所以（α-β）2=16．所以（α-β）2=（α+β）2-4αβ=16（m-1）2-48，即16（m-1）2-48=16，（m-1）2=4，m-1=±2，m1=3，m2=-1．因为m＞0，所以m=3．

所以1-3（m-1）=4（m-1）2，化简得4m2-5m=0．因为m＞0，

28．m=1，n=2．提示：原方程化为mx2-3x+n=0．设α，β为两

29．m=1，n=-30．提示：方程（x+2）2=34+3x化简为x2+x-30=0．解得x1=5，x2=-6．由已知取x=5，则方程mx2+4x+（n-15）=0

31．x2-11x+28=0．提示：由α+β=11及α2-β2=33得（α+β）（α-β）=33，即α-β=3，解得α=7，β=4．所以α·β=28．所求方程为x2-11x+28=0．

32．m1=2，m2=0．提示：x1+x2=-（m-1），x1·x2=-3，|x1-x2|=

2+12=13，（m-1）2=1，则m-1=1或m-1=-1．所以m1=2，m2=0．

34．y2+3y-2=0．

35．3y2-28y+9=0．

只有m=-1．

42．k=-2．

44．另一根是4，k=-5．

原方程x2-x+1=0的Δ＜0，应舍去m=-1，所以m=3．

6x2+7x-3=0，（3x-1）（2x+3）=0，

0时，原方程化为-6x2-7x-3=0，即6x2+7x+3=0的Δ＜0，所以无实根．

21．提示：由方程x2+ax+2b=0有实根得a2≥8b；由x2+2bx+a=0有实根得b2≥a，因为a＞0，b＞0，所以a4≥64b2≥64a，得出a的最小值是4．又b4≥a2≥8b，得b≥2，所以b的最小值是2，由此得a+b的最小值是6．

等式组即可．

54．x1=-1，x2=-7．

55．x1=0，x2=-2．

所以

61．提示：设一根为α，则另一根为α-2．由根与系数关系得：

q，将α的表达式代入得p2-4q= 4．

63．提示：设二根为α，3α，则α+3α=8m，所以α=2m．α·3α=m2-n+1，所以3α2=m2-n+1．将α=2m代入3α2=m2-n+1得11m2+n=1．

64．提示：方程（x+4）2=3x+52变形为x2+5x-36=0，解得x1=4，x2=-9．由已知条件取x=-9，则方程x2+mx+n=0的两根为2和-9，由根与系数关系得2+（-9）=-m，所以m=7.2（-9）= n，所以n=-18．

66．（1）-1或3．提示：设共同根为α，代入两已知方程得

共同根为-1，当k为-5时共同根为3．

（2）x2+6x+5=0或x2+2x-15=0．提示：当共同根为-1时，所求方程为x2+6x+5=0；当共同根为3时，所求方程为x2+2x-15= 0．

67．（1）m=1；（2）y2-20y+64=0．

69．c=2或c=-2．提示：α+β=2，α·β=-（m2+2m）．由m+2=0得m=-2，所以αβ=0，c2=α2+β2=（α+β）2-2αβ=4-2×0=4．所以c=2，c=-2．

70．m=-2．

72．ax2+mbx+m2c=0．

73．m=±6，n=±3．提示：由x=0得n2=9．所以n=±3，由α+β=-m，αβ=n2-1．又|α-β|=2，即（α-β）2=4，即（α-β）2=（α+β）2-4αβ=m2-32，所以m2-32= 4，解出m=±6．

76．a4x2-（2a2b2-4a3c）x+（b4-4ab2c）= 0．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/4860b71430b765ce0508763231126edb6f1a768f.html