我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷1

2000我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷 1

2001我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷 4

2002我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第一试） 7

2004年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题 11

2000我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷

（第一试）

一． 已知m,n为整数，方程有两个不相等的实数根,方程有两个相等的实数根.求n的最小值，并说明理由。

二．已知M、N分别在正方形ABCD的边DA、AB上，且MN=AN，过A作BM的垂线，垂足为P。求证：∠APN=∠BNC

三．设N是正整数，如果存在大于1的正整数k，使得N-是k的正整数倍，则N称为一个“千禧数”，试确定在1，2，3，…，2000中“千禧数”的个数并说明理由。

2000我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第二试）

一．给定四个命题：

（1）sin15°与sin75°的平方和为1；

（2）函数 y=x2-8x+6的最小值为 –10；

（3）；

（4）若，则 x=10.其中错误的是 。

二． 如图，△ABC中，AD和BE相交于F，已知△AFB的面积=12平方厘米，△BFD的面积=9平方厘米，△AFE的面积=6平方厘米，那么，四边形CDEF的面积等于 平方厘米。

三．在△ABC中，AB=，BC=2，△ABC的面积为1，若∠B是锐角，则∠C的度数是 。

四．某自来水公司水费计算办法如下：每户每月用水不超过5吨的，每吨收费0。85元；超过5吨的，超出部分每吨收取较高的的定额费用。已知今年7月份张家用水量与李家用水量之比为2：3，其中张家当月水费是14.60元，李家当月水费是22.65元，那么，超出5吨部分的收费标准是每吨 元。

五．满足方程

11x2+2xy+9y2+8x-12y+6=0的实数根对（x,y）的个数是 。

六．函数y=x2-3|x|+7的图象与函数y= x2-3x+| x2-3x |+6的图象的交点个数是 .

七． 已知抛物线y= x2+(k+1)x+1与x轴的两个交点A,B不全在原点左侧，抛物线的顶点为C，要使△ABC恰为等边三角形，那么k的值为 .

八．如图，已知AB是圆O的直径，PQ是圆O的弦，PQ与AB不平行，

R是PQ的中点。作PS⊥AB,QT⊥AB,垂足分别为S,T(S≠T)，并且∠SRT=60，

则的值等于 .

九．满足方程的实数x的值是 .

十．在四边形ABCD中，边AB=x，BC=CD=4, DA=5,它的对角线AC=y，其中x,y都是整数，∠BAC=∠DAC,那么，x= .

2001我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷

（第1试）

一． 在锐角ΔABC中，AD⊥BC，D为垂足，DE⊥AC，E为垂足，DF⊥AB，F为垂足。O为ΔABC的外心。

求证：（1）ΔAEF～ΔABC；（2）AO⊥EF。

二． 给定代数式 –x3+100x2+x 中的字母 x只允许在正整数范围内取值。当这个代数式的值达到最大值时， x的值等于多少？并证明你的结论。

三． （1）证明存在非零整数对（x,y）, 使代数式 11x2+5xy+37y2 的值为完全平方数；

(2) 证明存在六个非零整数a1,b1,c1,a2,b2,c2, 其中a1:a2≠b1:b2,使得对于任意自然数n, 当x=a1n2+b1n+c1,y=a2n2+b2n+c2 时，代数式 11x2+5xy+37y2的值都是完全平方数。

2001我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第二试）

一． = 。

二．在长方形ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH相交于O，HC与EF相交于I。已知AH:HB=AE：ED=m:n, △COI的面积为1平方厘米，那么矩形ABCD的面积等于 平方厘米。

三．将三个数：用两个不等号“>”连接起来，正确的结果应该是： 。

四． 点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，∠C为直角，DE∥AB，且3DE=2AB，AE=13，BD=9，那么AB的长等于 。

五． 已知：x,y,z是正整数，并且满足

那么，x-y+z 的值等于 。

六．已知点D，E，F分别在△ABC的三边BC，CA，AB上，G为BE与CF的交点，并且BD=DC=CA=AF，AE=EC=BF，那么的值等于 。

七．如果满足 ||x2-6x-16|-10| = a的实数x 恰有6个，那么实数a的值等于 。

八．已知△ABC为等腰直角三角形，∠C为直角，延长CA至D，以AD为直径作圆，连BD与圆O交于点E，连CE，CE的延长线交圆O于另一点F，那么的值等于 。

九．满足下列两个条件

（1）对所有的自然数，x，x-2001x+n≥0;

（2）存在自然数x0，使x02-2002 x0+n<0.

的正整数n的个数为

十．一批救灾物资分别随16列货车从甲站紧急调运到三百多千米以外的乙站，已知每列货车的平均速度都相等，且记为v千米/小时。两列货车实在运行中的间隔不小于千米，这这批救灾物资全部运到目的地最快需要6小时，那么每隔 分钟从甲站向乙站发一趟货车才能使这批货物在6小时内运到。

2002我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷

（第一试）

一．已知a,b,c是三个两两不同的奇质数，方程有两个相等的实数根。

（1）求a的最小值；

（2）当a达到最小时，解这个方程。

二．设AB,CD为圆O的两直径，过B作PB垂直AB，并与CD延长线相交于点P，过P作直线PE，与圆分别交于E,F两点，连AE,AF分别与CD交于G,H两点（如图），求证：OG=OH.

三．已知a1,a2,…,a2002的值都是+1或-1，设S是这2002个数的两两乘积之和。

（1）求S的最大值和最小值，并指出能达到最大值，最小值的条件；

（2）求S的最小正值，并指出能达到最小正值的条件

2002我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第二试）

一． 计算：20033-20013-6×20032+24×1001= 。

二．在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于点D，如果∠A=27°，那么∠BDC= 。

三．已知0≤a-b≤1,1≤a+b≤4，那么当a-2b达到最大值时，8a+2002b的值等于 。

四．如果一个正整数等于它的各位数字之和的4倍，那么，我们就把这个正整数叫做四合数。所有四合数的和等于 。

五．方程x-2|x+4|-27=0的所有根的和为 。

六．如果当m取不等于0和1的任意实数时，抛物线在平面直角坐标系上都过两个定点，那么这两个定点间的距离为 。

七．方程的三个根分别是 。

八．在Rt△ABC中，∠A=30°,∠A的平分线的长为1cm，那么△ABC的面积为 。

九． 已知：

某商人经营甲乙两种商品，每件甲种商品的利润率为40%，每件乙种商品的利润率为60%，当售出的乙种商品比售出的甲种商品的件数多50%时，这个商人得到的总利润率为50%，那么当售出的甲，乙两种商品的件数相等时，这个商人的总利润率是 。

十．设计一把直尺ABC，BC在地面上，AB与地面垂直，并且AB=10cm，移动一个半径不小于10cm的圆形轮子，使轮子紧靠A点，且与BC相切于D点（如图）。设计要求在D处的刻度恰好显示这个轮子的半径（以厘米为单位）。那么，当BC的长度为1M时，BC上可标出的最大刻度是

2004年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题

第一试

1．求所有能使为正整数的正整数n．

2．已知BE、CF是锐角△ABC的两条高，求证∠ABE的平分线、∠ACF的平分线与线段 EF的垂直平分线相交于一点．

3．在平面直角坐标系中，求同时满足下列两个条件的点的坐标；

(1)直线y=-2x+3通过这样的点；

(2)不论m取何值，抛物线y=mx2+(m-)-(2m-)都不通过这样的点．

第二试

1.若，则= ．

2．能使关于x的方程只有一个实数根的所有a的值的总和等于 ．

3．要使方程x4+(m-4)x2+2(1-m)=O恰有一个不小于2的实根，那么m的取值范围是 ．

4．在平面直角坐标系中，所有满足方程|x|+|y|=一||x|-|y||的点(x,y)所围成的图形的面积为 ．

5．已知，那么当-4x2+12y-8达到最大值时，22x-33y= ．

6．已知y=100+10nx-10x-100，其中n为正整数．要使0≤300对于满足0≤16的所有x都成立，那么n= ．

7．设PO是边长为1的正△ABC的外接圆内的一条弦。已知AB和AC的中点都在PQ上．那么，PQ的长等于 ．

8．在Rt△A BC中，AB=3，BC=4，∠B=9 O°，A D、BE、CF是△ABC的三条内角平分线．那么,△DEF的面积等于 ．

9．在△ABC中，AB=6，BC=5，AC=4，AP是它一条内角平分线，AP的垂直平分线EF与A P相交于点E，与BC的延长线相交于点F．那么AF= ．

10．如图，A、B两地相距600km,过A地的一条铁路AD笔直地沿东西方向向两边延伸．点B到A D的最短距离为3 6 0km．今计划在铁路线AD上修一个中转站C，再在BC间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么，为使通过铁路由A到C再通过公路由C到B的总运费达到最小值，中转站C的位置应使AC= km．．

2004年我爱数学初中生夏令营数学竞赛答案

第一试

1．设=k，k为正整数．则n2-200kn+999k=0．①设方程①有正整数根n1，且另一根为n2 由韦达定理有n1+n2=200k。② n1n2=999k． ③

因此，n2也是正整数，且n1、n2都满足题设条件。不妨设n1≥n2由②得n1≥100k． 由③得n2=999k/n1≤999k/100k．所以，n2≤9．经检验可知，只有n2=5符合条件，此时，k=25，n1=4995．因此，所求n为5，4995．

2．如图。设∠ABE的平分线与∠ACF的平分线相交于点N，联结NE、NF．由B、C、E、F四点共圆，则∠ABE=∠ACF，∠FBN=∠FCN．所以，B、C、N、F四点共圆．从而，B、C、E、N、F五点共圆．于是．由∠FBN=∠NBE 得NF=NE．故N在EF的垂直平分线上．

3．由(2)知m≠O．设点(x0，y0)满足(1)和(2)，则y0=-2x0+3，①且对任意非零实数m，都有y0≠mx02+(m-)x0-(2m-)．②将式①代入式②，并整理得(x0-1)(x0+2)m≠-x0+．所以x0=1，-2或63/32．代入①式得同时满足条件(1)、(2)的点的坐标为(1，1)，(-2,7)，(63/32,-15/16)．

第二试

1．7/9

2． -15．5

3．m≤-l

4． 2004

5． 1264

6． 4

7． /2

提示：如图，设PQ与AB、AC的交点是D、E 由相交弦定理得

8．10/7 提示：由内角平分线的性质求，

9． 6 提示：如图由海伦公式得S△ABC=15/4 AH=3/2，PC=2 ，PH=1.5，PA=3 ,△PHA∽△PFE

10．480-120 提示：

设物资在每千米铁路上运输费为1．公路上的费用为2．设CD=x，则AC=480-x BC= ∴总费用y=480-x+2 即y2+x2+230400+2xy-960x-960y=518400+4x2 化简得3x2-2xy+960x-y2+960y+288000=0 关于x的方程△≥O即，y2-960y-158400≥0又 ∵y最小 ∴y=480+360 ． x=120 AC=480-120

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