2020年中考数学重点题型突破易错点：4-3《等腰三角形与直角三角形》试题及答案-最新整理

4.3 等腰三角形与直角三角形

易错清单

1. 运用等腰(等边)三角形的判定与性质、勾股定理解决有关计算与证明问题,需注意分类讨论思想的渗入.

【例1】　一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长为(　　).

【解析】　本题未明确这两条边是直角边还是斜边,因此两条边中的较长边4既可以是直角边,也可以是斜边,所以求第三边的长必须分类讨论,即4是斜边或直角边的两种情况,然后利用勾股定理求解.

【答案】　D

2. 两类特殊三角形的组合运用.

【例2】　(2014·山东威海)如图,有一直角三角形纸片ABC,边BC=6,AB=10,∠ACB=90°,将该直角三角形纸片沿DE折叠,使点A与点C重合,则四边形DBCE的周长为　　　　. 

【解析】　先由折叠的性质得AE=CE,AD=CD,∠DCE=∠A,进而得出,∠B=∠BCD,求得=5,DE为△ABC的中位线,得到DE的长,再在Rt△ABC中,由勾股定理得到AC=8,即可得四边形DBCE的周长.

【答案】　∵　沿DE折叠,使点A与点C重合,

∴　AE=CE,AD=CD,∠DCE=∠A.

∴　∠BCD=90°-∠DCE.

又　∠B=90°-∠A,

∴　∠B=∠BCD.

∴　BD=CD=AD=AB=5.

∴　DE为△ABC的中位线.

∵　BC=6,AB=10,∠ACB=90°,

∴　四边形DBCE的周长为BD+DE+CE+BC=5+3+4+6=18.

【误区纠错】　本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用.本题中得到ED是△ABC的中位线关键.

3. 勾股定理在折叠问题中的运用.

【例3】　(2014·湖北孝感)如图,已知矩形ABCD,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处,连接DE,BE,若△ABE是等边三角形,则=　　　　. 

【解析】　过E作EM⊥AB于点M,交DC于点N,根据矩形的性质得出DC=AB,DC∥AB,∠ABC=90°,设AB=AE=BE=2a,则BC==a,即MN=a,求出EN,根据三角形面积公式求出两个三角形的面积,即可得出答案.

【答案】　过E作EM⊥AB于点M,交DC于点N,

∵　四边形ABCD是矩形,

∴　DC=AB,DC∥AB,∠ABC=90°.

∴　MN=BC.

∴　EN⊥DC.

∵　延AC折叠B和E重合,△AEB是等边三角形,

∴　∠EAC=∠BAC=30°.

【误区纠错】　本题考查了勾股定理,折叠的性质,矩形的性质,等边三角形的性质的应用,解此题的关键是求出两个三角形的面积.

名师点拨

1. 掌握等腰三角形、直角三角形的概念并能做出判断.

2. 会利用等腰(等边)三角形的性质和判定定理证明相关问题.

3. 会利用直角三角形的性质与判定解决有关直角三角形的相关问题.

4. 会利用HL及其他方法来证明直角三角形全等.

提分策略

1. 等腰三角形的多解问题.

因为等腰三角形的边有腰与底之分,角有底角和顶角之分,等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况.故当题中条件给出不明确时,要分类讨论进行解题,才能避免漏解情况.

【例1】　若等腰三角形的一个内角为50°,则它的顶角为　　　　. 

【解析】　(1)若这个内角恰好是顶角,则顶角是50°;(2)若这个内角是底角,则顶角=180°-2×50°=80°.

【答案】　50°或80°

【例2】　等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边为　　　　. 

【解析】　当腰是6时,则另两边是4,6,且4+6>6,满足三边关系定理;

当底边是6时,另两边长是5,5,5+5>6,满足三边关系定理.

故该等腰三角形的另两边为:6,4或5,5.

【答案】　6,4或5,5

2. 等腰三角形的性质与判定的运用.

(1)通常用①利用线段的垂直平分线进行等线段转换,进而进行角度转换;②等边对等角说明两个角相等.

(2)要证明一个三角形是等腰三角形,必须得到两边相等,而得到两边相等的方法主要有①通过等角对等边得两边相等;②通过三角形全等得两边相等;③利用垂直平分线的性质得两边相等.

(3)等边三角形是特殊的等腰三角形,其中隐含着三边相等和三个角都等于60°的结论,所以要充分利用这些隐含条件,证明全等或者构造全等.

【例3】　如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点F,点G在边BC上,且∠GDF=∠ADF.

(1)求证:△ADE≌△BFE;

(2)连接EG,判断EG与DF的位置关系,并说明理由.

【解析】　先通过平行条件得到两对内错角相等,结合线段中点得到的线段相等,可证明两个三角形全等;由角相等的条件可证明△DFG是等腰三角形,再结合点E是DF的中点,根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明结论.

【答案】　(1)∵　AD∥BC,

∴　∠ADE=∠BFE,∠DAE=∠FBE.

∵　E是AB的中点,

∴　AE=BE.

∴　△ADE≌△BFE.

(2)EG与DF的位置关系是EG⊥DF.

∵　∠GDF=∠ADF,∠ADE=∠BFE,

∴　∠GDF=∠BFE.

　　∴　GD=GF.由(1),得DE=EF,

∴　EG⊥DF.

3. 定义、命题、定理、反证法等知识的区别与联系.

只有对一件事情作出判定的语句才是命题,其中正确的命题是真命题,错误的命题是假命题.对于命题的真假(正误)判断问题,一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可,有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假.

【例4】　在下列命题中,其逆命题是真命题的是　　　　.(只填写序号) 

①同旁内角互补,两直线平行;

②如果两个角是直角,那么它们相等;

③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;

④如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

【解析】　①的逆命题:两直线平行,同旁内角互补,正确;②的逆命题:相等的两个角是直角,错误;③的逆命题:如果两个数的平方相等,那么这两个数也相等,错误,如:22=(-2)2,但2≠-2;④的逆命题:如果一个三角形是直角三角形,则它的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,但未说明C为直角的对边,故错误.

【答案】　①

专项训练

一、 选择题

1. (2014·江苏镇江外国语学校模拟)在△ABC中,∠C=90°,AC,BC的长分别是方程x2-7x+12=0的两根,△ABC内一点P到三边的距离都相等,则PC为(　　).

(第2题)

2. (2014·山东济南二模)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D,E分别是AB,BC的中点,F在CA的延长线上,∠FDA=∠B,AC=6,AB=8,则四边形AEDF的周长为(　　).

A. 22 B. 20

C. 18 D. 16

二、 填空题

3. (2014·江苏大丰模拟)已知等腰三角形一腰上的高等于腰的一半,则底角为　　　　度. 

4. (2013·内蒙古赤峰一模)等腰三角形的腰长为2,腰上的高为1,则它的底角等于　　　　. 

5. (2013·江苏通州兴仁中学一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的点C',那么△ADC'的面积是　　　　. 

(第5题)

三、 解答题

6. (2014·辽宁鞍山5校联考)如图,△AOB和△COD均为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°,D在AB上.

(1)求证:△AOC≌△BOD;

(2)若AD=1,BD=2,求CD的长.

(第6题)

7. (2014·安徽马鞍山实验学校模拟)如图,点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°.

(1)求证:AD=BD;

(2)E为AD延长线上的一点,且CE=CA,求证:AD+CD=DE;

(3)当BD=2时,AC的长为　　　　.(直接填出结果,不要求写过程) 

(第7题)

参考答案与解析

3. 15或75　[解析]等腰三角形分钝角和锐角三角形两种情况讨论.

4. 15°或75°　[解析]分钝角三角形和锐角三角形讨论.

5. 6cm2　[解析]根据勾股定理知AB=10,得AC'=4. 再在直角三角形AC'D中运用勾股定理求得C'D=3,AD=5.

(注:设CD=x,则C'D=x,AD=8-x)

6. (1)如图,

(第6题)

∠1=90°-∠3,∠2=90°-∠3,

∴　∠1=∠2.

又　OC=OD,OA=OB,

∴　△AOC≌△BOD.

(2)由△AOC≌△BOD,有AC=BD=2,∠CAO=∠DBO=45°,

∴　∠CAB=90°.

7. (1)∵　AC=BC,∠ACB=90°,

∴　∠CAB=∠ABC=45°.

∵　∠CAD=∠CBD=15°,

∴　∠BAD=∠ABD=30°.

∴　AD=BD.

(2)在DE上截取DM=DC,连接CM.

(第7题(1))

∵　AD=BD,AC=BC,DC=DC,

∴　△ACD≌△BCD.

∴　∠ACD=∠BCD=45°.

∵　∠CAD=15°,

∴　∠EDC=60°.

∵　DM=DC,

∴　△CMD是等边三角形.

∴　∠CDA=∠CME=120°,

∵　CE=CA,

∴　∠E=∠CAD.

∴　△CAD≌△CEM,

∴　ME=AD.

∴　DA+DC=ME+MD=DE.

∴　AD+CD=DE.

(3)　延长CD交AB于点H.则CH⊥AB.

∵　∠HBD=30°,BD=2,

(第7题(2))

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/4741143b541810a6f524ccbff121dd36a22dc471.html