§５。4定积分得换元法
一、换元公式
【定理】若1、函数在上连续;
2、函数在区间上单值且具有连续导数;3、当在上变化时,得值在上变化,且
,则有
(1证明:
(1式中得被积函数在其积分区间上均就是连续,故(１式两端得定积分存在。且(1式两端得被积函数得原函数均就是存在得、
假设就是在上得一个原函数,据牛顿-莱布尼兹公式有
另一方面,函数得导数为
这表明:函数就是在上得一个原函数,故有:
从而有
对这一定理给出几点注解:
1、用替换,将原来变量代换成新变量后,原定积分得限应同时换成新变量得限、
求出得原函数后,不必象不定积分那样,将变换成原变量得函数,只需将新变量得上下限代入中然后相减即可。2、应注意代换得条件,避免出错。
(1、在单值且连续;(2、
3、对于时,换元公式(1仍然成立、
【例1】求【解法一】令当时,;当时,。又当时,有
且变换函数在上单值,在上连续,由换元公式有
【解法二】令当时,;当时,。又当时,,
且变换函数在上单值,在上连续,由换元公式有
注意:
在【解法二】中,经过换元, 