河北省唐山市2010-2011学年度高三年级第二次模拟考试理数word

河北省唐山市2010—2011学年度高三年级第二次模拟考试

数 学 试 题（理）

说明：

一、本试卷包括三道大题，22道小题，共150分。其中第一道大题为选择题。

二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。

三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑。如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案。

四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率word/media/image1_1.png

球的表面积公式 word/media/image2_1.png 其中R表示球的半径

球的体积公式 word/media/image3_1.png 其中R表示球的半径

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

1．复数word/media/image4_1.png= （ ）

A．1-2i B．1+2i C．-1+2i D．-1-2i

2．设word/media/image5_1.png的值 （ ）

A．word/media/image6_1.png B．word/media/image7_1.png C．word/media/image8_1.png D．word/media/image9_1.png

3．等差数列word/media/image10_1.png的前n项和为word/media/image11_1.png= （ ）

A．18 B．20 C．21 D．22

4．已知集合word/media/image12_1.png，B =word/media/image13_1.png∣word/media/image14_1.png,则A∩B= （ ）

A．word/media/image15_1.png B．word/media/image16_1.png

C．word/media/image17_1.png D．word/media/image18_1.png

5．球O的半径为1，该球的一小圆O1上两点A、B的球面距离为word/media/image19_1.png，则word/media/image20_1.png=（ ）

A．word/media/image21_1.png B．word/media/image22_1.png C．word/media/image23_1.png D．word/media/image24_1.png

6．曲线word/media/image25_1.png在点（1，1）处的切线方程为 （ ）

A．word/media/image26_1.png B．word/media/image27_1.png

C．word/media/image28_1.png D．word/media/image29_1.png

7．已知双曲线word/media/image30_1.png的离心率为2，则椭圆word/media/image31_1.png的离心率为（ ）

A．word/media/image32_1.png B．word/media/image33_1.png C．word/media/image34_1.png D．word/media/image35_1.png

8．P为椭圆word/media/image36_1.png上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若word/media/image37_1.png，则word/media/image38_1.png=（ ）

A．3 B．word/media/image39_1.png C．word/media/image40_1.png D．2

9．在正四面体ABCD的面上，到棱AB以及C、D两点的距离都相等的点共有 （ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．函数word/media/image41_1.png的最大值为 （ ）

（ ）

A．2 B．3 C．word/media/image42_1.png D．word/media/image43_1.png

11．定义在R上的函数word/media/image44_1.png的反函数为word/media/image45_1.png，且对任意的x都有word/media/image46_1.png若ab=100,则word/media/image47_1.png

（ ）

A．2 B．3 C．4 D．6

12．已知正数x、y、z满足word/media/image48_1.png的最小值为 （ ）

A．3 B．word/media/image49_1.png C．4 D．word/media/image50_1.png

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡上。

13．word/media/image51_1.png的展开式中，word/media/image52_1.png项的系数为 （用数字作答）

14．函数word/media/image53_1.png在区间word/media/image54_1.png上的值域是 。

15．某区教育部门欲派5名工作人员到3所学校进行地震安全教育，每所学校至少派1人，至多派2人，则不同的安排方案共有 种（用数字作答）

16．在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，记word/media/image55_1.png三边及内部组成的区域为word/media/image56_1.png，

，当点P在word/media/image58_1.png上运动时，word/media/image59_1.png的最大值为 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

在word/media/image60_1.png中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知word/media/image61_1.png，

word/media/image62_1.png，求b边的长。

18．（本小题满分12分）

口袋中有6个大小相同的小球，其中1个小球标有数字“3”，2个小球标有数字“2”，3个小球标有数字“1”，每次从中任取一个小球，取后放回，连续抽取两次。

（I）求两次取出的小球所标数字不同的概率；

（II）记两次取出的小球所标数字之和为word/media/image63_1.png，求word/media/image64_1.png的分布列和期望。

19．（本小题满分12分）

如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，E为棱AA1上一点，且word/media/image66_1.png平面BDE。

（I）求直线BD1与平面BDE所成角的正弦值；

（II）求二面角C—BE—D的余弦值。

20．（本小题满分12分）

已知函数word/media/image67_1.png

（I）当a=1时，求word/media/image68_1.png的最小值；

（II）求证：word/media/image69_1.png在区间（0，1）单调递减。

21．（本小题满分12分）

如图，双曲线word/media/image70_1.png与抛物线word/media/image71_1.png相交于word/media/image72_1.png

word/media/image73_1.png，直线AC、BD的交点为P（0，p）。

（I）试用m表示word/media/image75_1.png

（II）当m变化时，求p的取值范围。

22．（本小题满分12分）

已知数列word/media/image76_1.png满足word/media/image77_1.png

（I）求word/media/image78_1.png的取值范围；

（II）是否存在word/media/image79_1.png，使得word/media/image80_1.png？证明你的结论。

唐山市2010～2011学年度高三年级第二次模拟考试

理科数学参考答案

一、 选择题：

A卷：BABAB CDDBC DC

B卷：BACAB CADBC AC

二、填空题：

（13）5 （14） （15）90 （16）

三、解答题：

（17）解：

∵sinBcotA＋cosB＝，∴sinBcosA＋cosBsinA＝sinA，

∴sin(B＋A)＝sinA，即sinC＝sinA．………………………………………4分

又a＝1，由正弦定理，得c＝．………………………………………………6分

由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即1＝b2＋3－3b，

解得b＝1，或b＝2．………………………………………………………………10分

（18）解：

分别记事件第i次抽取的小球标有数字“1”，“2”，“3”为Ai，Bi，Ci，i＝1，2，则P(Ai)＝，P(Bi)＝，P(Ci)＝．

（Ⅰ）取出的两个小球所标数字相同的概率为

P(A1·A2＋B1·B2＋C1·C2)＝()2＋()2＋()2＝，

取出的两个小球所标数字不同的概率

P＝1－P(A1·A2＋B1·B2＋C1·C2)＝．………………………………………4分

（Ⅱ）ξ的可能值为2，3，4，5，6，其中

P(ξ＝2)＝P(A1·A2)＝()2＝，

P(ξ＝3)＝P(A1·B2＋B1·A2)＝2××＝，

P(ξ＝4)＝P(A1·C2＋B1·B2＋C1·A2)＝2××＋()2＝，

P(ξ＝5)＝P(B1·C2＋C1·B2)＝2××＝，

P(ξ＝6)＝P(C1·C2)＝()2＝．………………………………………………9分

ξ的分布列为

…10分

Eξ＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝．……………………………12分

（19）解法一：

（Ⅰ）∵C1E⊥平面BDE，

在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，

∴BC1＝，A1C1＝．

设AE＝x，则BE＝，C1E＝，

∵BC＝BE2＋C1E2，∴5＝1＋x2＋2＋(2－x)2，解得x＝1．……………………3分

连结D1E，由DE＝EB＝BD＝，得

S△BDE＝DE2＝，S△DD1E＝DD1·AD＝1，

设点D1到平面BDE的距离为h，则由VD1—BDE＝VB—DD1E，

得·h＝·1·1，h＝．

设直线BD1与平面BDE所成的角为θ，

因BD1＝，则sinθ＝＝．………………………………………………6分

（Ⅱ）分别取BE、CE的中点M、N，则MN∥BC，且MN＝AB＝．

∵BC⊥平面ABB1A1，BE 平面ABB1A1，∴BC⊥BE，∴MN⊥BE．

∵BE＝BD＝DE＝，∴DM⊥BE，且DM＝，

∴∠DMN为二面角C-BE-D的平面角．…………………………………………9分

又DN＝EC＝，

∴cos∠DMN＝＝．…………………………………………12分

word/media/image108_1.png word/media/image110_1.png

解法二：

（Ⅰ）建立如图所示的坐标系D—xyz，其中D(0，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，2)，C1(0，1，2)．设E(1，0，a)，则

＝(－1，1，2－a)，＝(1，1，0)，＝(1，0，a)，

∵C1E⊥平面BDE，∴⊥，

∴·＝－1＋(2－a)a＝0，解得a＝1．……………………………………3分

∴＝(－1，1，1)．

设直线BD1与平面BDE所成的角为θ，

因＝(1，1，－2)，则sinθ＝＝．……………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ），＝(－1，1，1)为面BDE的法向量，

设n＝(x，y，z)为面CBE的法向量，

∵＝(1，0，0)，＝(0，－1，1)，

∴n·＝0，n·＝0，

∴x＝0，－y＋z＝0，取n＝(0，1，1)，…………………………………………9分

∴cos ，n ＝＝，

所以二面角C-BE-D的余弦值为．……………………………………………12分

（20）解：

（Ⅰ）当a＝1时，f(x)＝－lnx＋x－1，f (x)＝－＋1＝．………………2分

当x∈(0，1)时，f (x)＜0，f(x)单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，f (x)＞0，f(x)单调递增．

f(x)的最小值为f(1)＝0．…………………………………………………………4分

（Ⅱ）f (x)＝(a－1)lnx＋＋1＝(a－1)lnx＋，………6分

若a≥1，当x∈(0，1)时，f (x)＜0，f(x)在区间(0，1)单调递减．

若≤a＜1，由（Ⅰ）知，当x∈(0，1)时，－ln＋－1＞0，即lnx＞，

则f (x)＝(a－1)lnx＋＜＋＝≤0，

f(x)在区间(0，1)单调递减．

综上，当a≥时，f(x)在区间(0，1)单调递减．………………………………12分

方法2：f (x)＝(a－1)lnx＋＋1＝(a－1)lnx＋，……………6分

因为 ＝＋＝a(＋)－≥(＋)－＝＞0，

所以f (x)单调递增，f (x)＜f (1)＝0，f(x)在区间(0，1)单调递减．……………12分

（21）解：

（Ⅰ）依题意，A、B、C、D四点坐标是下面方程组的解：

消去x，得y2－y＋1－m＝0，………………………………………………………2分

由Δ＝1－4(1－m)＞0，得m＞，

且y1＋y2＝1，y1y2＝1－m．

x1x2＝·＝3＝3．…………6分

（Ⅱ）由向量＝(x1，y1－p)与＝(－x2，y2－p)共线，

得x1(y2－p)＋x2(y1－p)＝0，

∴p＝＝＝－m………………………………9分

＝－m＝，

∵m＞，∴0＜p＜，

故p的取值范围是(0，)．………………………………………………………12分

（22）解：

（Ⅰ）由a2＝＜a1解得－3＜a1＜0或a1＞3．………………………………1分

当－3＜a1＜0时，a2＝＜＝－3，

a3－a2＝－a2＝＞0，a3＞a2，与题设矛盾．…………………………3分

当a1＞3时，先用数学归纳法证明an＞3．

（1）当n＝1时不等式成立．

（2）假设当n＝k时不等式成立，即ak＞3，则

ak＋1＝＞＝3，

即当n＝k＋1时不等式仍成立．

根据（1）和（2），对任何n∈N*，都有an＞3．………………………………6分

∵an＋1－an＝－an＝＜0，∴an＋1＜an，n∈N*，

综上，a1的取值范围是(3，＋∞)．………………………………………………8分

（Ⅱ）假设存在使题设成立的正整数m，则

(am－3)(am＋2－3)＝(am＋1－3)2即(am－3)·＝(am＋1－3)2，

∴am－3＝2am＋1，即am－3＝，从而am＝－3，这不可能．

故不存在m∈N*，使得(am－3)(am＋2－3)＝(am＋1－3)2．…………………………12分

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/4441e42fcfc789eb172dc842.html