初二数学竞赛题（含答案）

初中数学竞赛初二第1试试题

一、选择题(每小题7分共56分)

1、(15届江苏初二1试)某商店售出两只不同的计算器，每只均以90元成交，其中一只盈利20%，另一只亏本20%，则在这次买卖中，该店的盈亏情况是(　　)

A、不盈不亏　　　　　B、盈利2.5元　　　C、亏本7.5元　　D、亏本15元

2、(15届江苏初二1试)设，则下列不等关系中正确的是(　　)

A、　　　B、　　　　C、　　　D、

3、(15届江苏初二1试)已知则的值是(　　)

A、5　　　　　　　　　B、7　　　　　　　C、3　　　　　　D、

4、(15届江苏初二1试)已知，其中A、B为常数，那么A＋B的值为(　　)

A、－2　　　　　　　　B、2　　　　　　　C、－4　　　　　D、4

5、(15届江苏初二1试)已知△ABC的三个内角为A、B、C，令，则中锐角的个数至多为(　　)

A、1　　　　　　　　　B、2　　　　　　　C、3　　　　　　D、0

6、(15届江苏初二1试)下列说法：(1)奇正整数总可表示成为或的形式，其中是正整数；(2)任意一个正整数总可表示为或或的形式，其中；(3)一个奇正整数的平方总可以表示为的形式，其中是正整数；(4)任意一个完全平方数总可以表示为或的形式

A、0　　　　　　　　　B、2　　　　　　　　C、3　　　　　D、4

7、(15届江苏初二1试)本题中有两小题，请你选一题作答：

　(1)在这1000个二次根式中，与是同类二次根式的个数共有……………………(　　)

A、3　　　　　　　　　B、4　　　　　　　　C、5　　　　　D、6

　(2)已知三角形的每条边长是整数，且小于等于4，这样的互不全等的三角形有(　　)

A、10个　　　　　　　B、12个　　　　　　　C、13个　　　D、14个

8、(15届江苏初二1试)钟面上有十二个数1,2，3，…,12。将其中某些数的前面添上一个负号，使钟面上所有数之代数和等于零，则至少要添个负号，这个数是(　　)

A、4　　　　　　　　　B、5　　　　　　　　　C、6　　　　D、7

二、填空题(每小题7分共84分)

9、(15届江苏初二1试)如图，XK，ZF是△XYZ的高且交于一点H，∠XHF＝40°，那么∠XYZ＝　　　°。

10、(15届江苏初二1试)已知凸四边形ABCD的面积是，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，那么图中阴影部分的总面积是　　　　　　。

11、(15届江苏初二1试)图中共有　　　　个三角形。

12、(15届江苏初二1试)已知一条直线上有A、B、C、三点，线段AB的中点为P，AB＝10；线段BC的中点为Q，BC＝6，则线段PQ的长为　　　　　。

13、(15届江苏初二1试)三个互不相等的有理数，既可分别表示为1，，的形式，又可分别表示为0，，的形式，则＝　　　。

14、(15届江苏初二1试)计算：的结果为　　　　　。

15、(15届江苏初二1试)三位数除以它的各位数字和所得的商中，值最大的是　　　　。

16、(15届江苏初二1试)某校初二(1)班有40名学生，其中参加数学竞赛的有31人，参加物理竞赛的有20人，有8人没有参加任何一项竞赛，则同时参加这两项竞赛的学生共有　　　　人。

17、本题中有两小题，请你任选一题作答。

(1)(15届江苏初二1试)如图，AB∥DC，M和N分别是AD和BC的中点，如果四边形ABCD的面积为24cm2,那么＝　　　　。

(2)(15届江苏初二1试)若＞3，则＝　　　　。

18、(15届江苏初二1试)跳格游戏：如图：人从格外只能进入第1格，在格中，每次可向前跳1格或2格，那么人从格外跳到第6格可以有　　　　种方法。

19、(15届江苏初二1试)已知两个连续奇数的平方差是2000，则这两个连续奇数可以是　　　　

20．(15届江苏初二1试)一个等边三角形的周长比一个正方形的周长长2 00 1个单位，这个三角形的边长比这个正方形的边长长d个单位，则d不可能取得的正整数个数至少有 个．

初中数学竞赛初二年级 第二试

一、选择题(每题7分，共56分．以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内．)

1．(15届江苏初二2试)已知式子的值为零，则x的值为( )．

(A)±1 (B)-1 (C)8 (D)-1或8

2．(15届江苏初二2试)一个立方体的六个面上标着连续的整数，若相对的两个面上所标之数的和相等，则这六个数的和为( )． (A)75 (B)76 (C)78 (D)81

3．(15届江苏初二2试)买20支铅笔、3块橡皮擦、2本日记本需32元，买39支铅笔、5块橡皮擦、3本日记本需58元，则买5支铅笔、5块橡皮擦、5本日记本需( )．

(A)20元 (B)25元 (C)30元 (D)35元

4．(15届江苏初二2试)仪表板上有四个开关，如果相邻的两个开关不能同时是关的，那么所有不同的状态有( )．

(A)4种 (B)6种 (C)8种 (D)12种

5．(15届江苏初二2试)如图，AD是△ ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，则( )．

(A)BE+CF>EF (B)BE+CF＝EF (C)BE+CF与EF的大小关系不确定

6．(15届江苏初二2试)如果a、b是整数，且x2-x-l是ax2+bx2+l的因式，那么b的值为( )．

(A)-2 (B)-1 (C)0 (D)2

7．(15届江苏初二2试)如果：|x|+x+y＝10，|y|+x-y＝12，那么x+y=( )．

(A)-2 (B)2 (C) (D)

8．(15届江苏初二2试)把16个互不相等的实数排列成如图。先取出每一行中最大的数，共得到4个数，设其中最小的为x；再取出每一列中最小的数，也得到4个数，设其中最大的数为y，那么x，y的大小关系是( )．

(A)x＝y (B)x

二、填至越(每题7分，共56分)

9．(15届江苏初二2试)已知2 001是两个质数的和，那么这两个质数的乘积是

10．(15届江苏初二2试)已知-＝2，则的值为

11．(15届江苏初二2试)已知实数a、b、c满足a+b＝5，c2＝ab+b-9，则c= ·

12．(15届江苏初二2试)已知|x+2|+|1-x|＝9-|y-5|-|1+y|，则x+y的最小值为 ，最大值为 ．

13．(15届江苏初二2试)如图，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，AD、BE、CF交于

一点G，BD＝2CD，面积S1＝3，面积S2=4，则S△ABC＝

14．本题中有两小题，请你任选一题作答．

(1) (15届江苏初二2试)如图，设L1 和L2是镜面平行且镜面相对的两面镜子．把一个小球放在L 1和L2之间，小球在镜L1 中的像为A'，A'在镜L2中的像为A”．若L1、L2的距离为7，则AA"＝

(2) (15届江苏初二2试)已知a+b＝l，则a2+b2＝ ．

15．(15届江苏初二2试)有一等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成

两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为 度．

16.(15届江苏初二2试)锐角三角形ABC中，AB>BC>AC，且最大内角比最小内角大24°，则∠4的取值范围是 ，

三、解答题(每题1．2分，共48分、)

17． (15届江苏初二2试) 已知：如图，△ ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，

AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE＝BD．求证：BD是∠ABC的角平分线．

18．(15届江苏初二2试)把一根1米长的金属线材，截成长为23厘米和13厘米两种规格，用怎样的方案截取材料利用率最高?求出最高利用率．(利用率＝×100％，截口损耗不计)

19. (15届江苏初二2试)将1～8这八个数放在正方体的八个顶点上，使任一面上四个数中任意三数之和不小于10．求各面上四数之和中的最小值．

20 ．(15届江苏初二2试)7位数是72的倍数，求出所有的符合条件的7位数．

初中数学竞赛A卷

一、选择题(每题8分，共48分．以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内。)

1．如果|x-2 |+x-2=O，那么x的取值范围是( )．

A．x>2 B．x<2 C．x≥2 D．x≤2

2．已知n是整数，现有两个代数式：(1)2n+3，(2)4n-l其中，能表示“任意奇数”的( )．

A．只有(1) B．只有(2) C．有(1)和(2) D．一个也没有

3．“*”表示一种运算符号，其意义是a*b=2a－b．如果x*(1*3)=2，那么x等于( )．

A．1 B． C． D．2

4．把10个相同的小正方体按如图所示的位置堆放，它的外表含有若干个小正方形．如果将图l中标有字母A的一个小正方体搬去．这时外表含有的小正方形个数与搬动前相比( )．

A．不增不减 B．减少1个 C．减少2个 D．减少3个

5．如果有理数a、b、c满足关系a，那么代数式的值( )．

A．必为正数 B．必为负数 C．可正可负 D．可能为O

6．已知a、b、c三个数中有两个奇数、一个偶数,n是整数．如果S=(a+n+ 1)(b+2n+2)(c+3n+3)，那么( )．

A．S是偶数 B．S是奇数

C．S的奇偶性与n的奇偶性相同 D．S的奇偶性不能确定

二、填空题(每题8分．共48分)

7．如果数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，那么A、B两点的距离为 ．

8．已知a是质数，b是奇数，且a2+b=2001，则a+b= ．

9．如果某个月里，星期一多于星期二，星期六少于星期日．那么，这个月的第五天是星期 ，这个月共有 天．

10．2001减去它的，再减去剩余数的，再减去剩余数的……依此类推，一直到减去剩余数的，那么最后剩余的数是 ．

11．你可以依次剪6张正方形纸片拼成如图示意的图形．如果你所拼得的图形中正方形的面积为l，且正方形⑥与正方形③的面积相等，那么正方形⑤的面积为 ．

12．如果依次用a1，a2，a3，a4分别表示图3中(1)、(2)、(3)、(4)内三角形的个数，那么a1=3．a2=8，a3=15．a1= ．

三、解答题(每题l6分，共64分)

l3．某风景区的旅游线路如图所示，其中A为入口处．B、C、D为风景点，E为三叉路的交汇点，图中所给的数据为相应两点间的路程(单位：km)．

某游客从A处出发，以每小时2 km的速度步行游览，每到一个景点逗留的时间均为半小时．

(1)若该游客沿路线“A→D→C→E→A”游览回到A处时，共用去3 h．求C、E两点间的路程；

(2)若该游客从A处出发．打算在最短时间内游览完三个景点并返回A处(仍按上述步行速度和在景点的逗留时间，不考虑其他因素)，请你为他设计一条步行路线，并对路线设计的合理性予以说明．

14．根据有关规定，企业单位职工，今年按如下办法缴纳养老保险费：如果个人月工资在当地职工去年人均月工资的60 %到300 %范围内，那么需按个人月工资的7％缴纳；如果个人月工资超过当地职工去年人均月工资的300％，那么超过的部分不再缴纳；如果个人月工资低于当地职工去年人均月工资的60％，那么仍需按去年人均月工资的60％来计算缴纳．

(1)该市企业单位职工，今年个人月缴纳的养老保险费最多为多少元?

最少为多少元?(2)根据下表中的已知数据填空：

15．用橡皮泥做一个棱长为4 cm的正方体．

(1)如图(1)所示，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1 cm的正方形通孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为 cm2；

(2)如果在第(1)题打孔后，再在正面中心位置处(按图(2)中的虚线)从前到后打一个边长为1 cm的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥块的表面积为 cm2；

(3)如果把第(2)题中从前到后所打的正方形通孔扩成一个长x cm、宽1 cm的长方形通孔，能不能使所得橡皮泥块的表面积为130 cm2?如果能，请求出x；如果不能，请说明理由．

16．如图所示，有一张长为3、宽为1的长方形纸片，现要在这张纸片上画两个小长方形，使小长方形的每条边都与大长方形的一边平行，并且每个小长方形的长与宽之比也都为3:1，然后把它们剪下，这时，所剪得的两张小长方形纸片的周长之和有最大值．求这个最大值．

初中数学竞赛B卷 一、选择题(每题8分，共48分．以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内．)

1．已知b>a>0，a2+b2=4ab，则等于( )．

A．- B． C． D．-

2．已知，其中A、B为常数，则A-B的值为( )．

A．－8 B8 C．－1 D．4

3．1 O个棱长为l的小正方体木块，堆成如图所示的形状，则它的表面积为( )．

A．30 B．34 C．36 D．48

4．如图所示．△ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠BAD=50°，AE=AD，则∠EDC的度数为( )． A．15° B．25° C．30°D．50°

5．将一个正方形分割成n个小正方形(n>1)，则n不可能取( )．

A．4 B．5 C．8 D．9

6．如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，l9，20 km，而村庄G正好是AF的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在( )．

A．A处 B．C处 C．G处 D．E处

二、填空题(每题8分，共48分)

7．一列数71，72，73，…，72001，其中末位数是3的有 个．

8．已知对任意有理数a、b，关于x、y的二元一次方程(a－b)x－(a+b)y=a+b有一组公共解，则公共解为 ．

9．数a比数b与c的和大于16，a的平方比b与c的和的平方大1664．那么，a、b、c的和等于

10．数的集合X由1，2，3，…，600组成，将集合X中是3的倍数，或4的倍数，或既是3的倍数又是4的倍数的所有数，组成一个新的集合y，则集合y中所有数的和为 ．

11．若a1=5，a5=8，并且对所有正整数n，有an+an+1+an+2=7，则a2001=

12．三条线段能构成三角形的条件是：任意两条线段长度的和大于第三条线段的长度．现有长为144 cm的铁丝，要截成n小段(n>2)，每段的长度不小于1 cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为

三、解答题(每题16分，共64分)

13．中国第三届京剧艺术节在南京举行，某场京剧演出的票价由2元到100元多种，某团体需购买票价为6元和10元的票共140张，其中票价为10元的票数不少于票价为6元的票数的2倍，问这两种票各购买多少张所需的钱最少?最少需要多少钱?

14．如图所示，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP= AC，点Q在CE上，CQ=AB．

求证：(1)AP=AQ；

(2)AP⊥AQ．

15．有五个数，每两个数的和分别为2，3，4，5，6，7，8，6，5，4(未按顺序排列)．求这5个数的值．

16．如图所示，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD、QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．

初中数学竞赛 初二年级 第l试

一、选择题(每小题7分，共56分)以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的；请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内．

1．(17届江苏初二1试)a、b、c是正整数，a>b，且a2-ab-ac+6c=7，则a-c等于( )

(A)-1 (B)-1或-7 (C)1 (D)1或7

2．(17届江苏初二1试)用数码2、4、5、7组成的四位数中，每个数码只出现一次．将所有这些四位数从小 到大排列,排在第13个的四位数是 ( )

(A)4 527 (B)5247 (C)5 742 (D)7 245

3．(17届江苏初二1试)1989年我国的GDP(国民生产总值)只相当于英国的53．5％，目前已相当于英国的81％．如果英国目前的GDP是1989年的m倍，那么我国目前的GDP约为1989年的( )

(A)1．5倍 (B)1.5m倍 (C)27．5倍 (D)m倍

4．(17届江苏初二1试)若x取整数，则使分式的值为整数的x值有( )．

(A)3个 (B)4个 (C)6个 (D)8个

5．(17届江苏初二1试)已知。为整数，关于x的方程a2x-20=0的根是质数，且满足|ax2-7|>a2，则a等于( )

(A)2： (B)2或5 (C)±2 (D)-2

6．(17届江苏初二1试)如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，∠A＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有( )

(A)2个 (B)4个 (C)6个 (D)8个

7．(17届江苏初二1试)边长分别是3、5、8的三个正方体被粘合在一起，在这些用各种方式粘合在一起的立体中，表面积最小的那个立体的表面积是 ( )

(A)570 (B)502 (C)530 (D)538

8．(17届江苏初二1试)在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB>AD，下列结论中正确的是( )

(A)AB-AD>CB-CD (B)AB-AD=CB-CD

(C)AB-AD与CB-CD的大小关系不确定

二、填空题(每小题7分，共84分)

9．(17届江苏初二1试)多项式x2+y2-6x+8y+7的最小值为

10．(17届江苏初二1试)已知＝1，则的值等于

11. (17届江苏初二1试)如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是mm，则该主板的周长为 mm．

12．(17届江苏初二1试)某学校建了一个无盖的长方体水箱，现在用一个半径为r的圆形砂轮打磨内壁和箱底，则砂轮磨不到的部分的面积为

13．(17届江苏初二1试)α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算(α+β+γ)的值时，有三位同学分别算出了23°、24°、25°这三个不同的结果，其中确有一个是正确的答案，则α+β+γ=

14．(17届江苏初二1试)设a为常数，多项式x3+ax2+1除以x2-1所得的余式为x+3，则a=

15．(17届江苏初二1试)在△ABC中，高BD和CE所在直线相交于O点，若△ABC不是直角三角形，且∠A=60°，则∠BOC= 度．

16．(17届江苏初二1试)小王的学校举行了一次年级考试，考了若干门课程，后加试了一门，小王考得98分，这时小王的平均成绩比最初的平均成绩提高了1分．后来又加试了一门，小王考得70分，这时小王的平均成绩比最初的平均成绩下降了1分，则小王共考了(含加试的两门) 门课程，最后平均成绩为 分．

17.(17届江苏初二1试)已知a+b+c＝0，a>b>c，则的范围是

18．(17届江苏初二1试)计算器上有一个倒数键，能求出输入的不为零的数的倒数(注：有时需先按或键，再按键，才能实现此功能，下面不再说明)．例如，输入2，按下键，则得0．5．现在计算器上输入某数，再依下列顺序按键： , 在显示屏上的结果是-0．75，则原来输入的某数是 ·

19．(17届江苏初二1试)有A、B、C三种不同型号的电池，它们的价格各不相同．有一笔钱可买A型4只，B型18只，C型16只；或A型2只，B型15只，C型24只；或A型6只，B型12只，C型20只.如果将这笔钱全部用来购买C型号的电池，则能买 只。

20. (17届江苏初二1试)如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC+ DE=2，则五边形ABCDE的面积为

参考答案；

一、选择题

1．D 2．B 3．B　4．B 5．D 6．C 7．B 8．A

二、填空题

9． -18 10．0 11，96 12；3(4-π)r2

13．345° 14．2 15．120°或；60 16．10，88

17．-2< <- 18．0．2 19．48 20．4

初中数学竞赛试卷 初二年级(第2试)

一、选择题(每小题7分，共56分)

1．(17届江苏初二2试)下列四个数中等于100个连续自然数之和的是( )

(A)1627384950 (B)2345678910 (C)3579111300 (D)4692581470

2．(17届江苏初二2试)在体育活动中，初二(1)班的n个学生围成一圈做游戏，与每个学生左右相邻的两个 学生的性别不同．则n的取值可能是( )

(A)43 (B)44 (C)45 (D)46

3．(17届江苏初二2试)在△ABC中，∠B是钝角，AB=6，CB=8，则AC的范围是( )

(A)8

4．(17届江苏初二2试)图(1)是图(2)中立方体的平面展开图，图 (1)与图(2)中的箭头位置和方向是一致的，那么图(1)中的线段AB与图(2)中对应的线段是( )

(A)e (B)h (C)k (D)d

5．(17届江苏初二2试)若a、b、c为三角形的三边，则下列关系式中正确的是( )

(A)a2-b2-c2-2bc>0 (B)a2-b2-c2-2bc=0

(C)a2-b2-c2-2bc<0 (D)a2-b2-c2-2bc≤0

6．(17届江苏初二2试)一个盒子里有200只球，从101到300连续编号．甲、乙两人分别从盒子里拿球，直到他们各有100只球为止，其中甲拿到102号，乙拿到280号，则甲拿到的球的编号总和与乙拿到的球的编号总和之差的最大值是 ( )

(A)10000 (B)9 822 (C)377 (D)9 644

7．(17届江苏初二2试)如果关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对(m，n)共有( )

(A)49对 (B)42对 (C)36对 (D)13对

8．(17届江苏初二2试)如果x2-x-1是ax3+bx2+1的一个因式，则b的值为( )

(A)-2 (B)-1 (C)0 (D)2

二、填空题(每小题7分，共56分)

9．(17届江苏初二2试)美国篮球巨星乔丹在一场比赛中24投14中，拿下28分，其中三分球三投全中，那么 乔丹两分球投中 球，罚球投中 球．

10．(17届江苏初二2试)已知：,则

11．(17届江苏初二2试)若y1=-x-4，y2=x2-8，则满足y1>y2的整数的值x有： ·

12．(17届江苏初二2试) [x]表示不超过x的最大整数，如[3．2]=3．已知正整数n小于2002，且[]+[]=；则这样的n有 个．

13.(17届江苏初二2试)△ABC中，BD和CE分别是AC和AB上的中线，且BD与CE互相垂直，BD=8，CE=12，则△ABC的面积是 ·

14．(17届江苏初二2试)如图是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成．若图中大小正方形的面积分别为62和4，则直角三角形的两条直角边边长分别为 ．

15．(17届江苏初二2试)已知a2+4a+1=0，且=5,则m= ·

16．(17届江苏初二2试)将2、3、4、5、6、7、8、9、10、11这10个自然数填到图中10个格子里，每个格子只填一个数；使得“田”字形的4个格子中所填数字之和都等于p，那么p的最大值是 ·

三、解答题(每题12分，共48分)

17．(17届江苏初二2试)如果多项式x2-(a+5)x+5a-1能分解成两个一次因式(x+b)、(x+c)的乘积 (b、c为整数)，则a的值应为多少?

18．(17届江苏初二2试)某城市有一段马路需要整修，这段马路的长不超过3 500米，今有甲、乙、丙三个施工队，分别施工人行道、非机动车道和机动车道．他们于某天零时同时开工,每天24小时 连续施工．若干天后的零时；甲完成任务；几天后的18时，乙完成任务；自乙队完成的当天零时起，再过几天后的8时，丙完成任务，已知三个施工队每天完成的施工任务分别为300米，240米，180米，问这段路面有多长?

19．(17届江苏初二2试)△ABC中，已知∠C=60°，AC>BC，又△ABC'、△BCA'、△CAB'都是△ABC形外的等边三角形，而点D在AC上，且BC=DC．

(1)证明：△C'BD≌△B'DC；

(2)证明：△AC'D≌△DB'A；

(3) 对△ABC、△ABC'、△BCA'、△CAB'，从面积大小关系上，你能得出什么结论?

20．(17届江苏初二2试)一个长方体水箱，从里面量得它的深是30cm，底面的长是25cm,宽是20cm,水箱里已盛有深为acm (a≤30)的水，现在往水箱里放入棱长为10cm的立方体铁块后，水深多少cm?

参考答案

一、选择题

1．A 2．B 3．D 4．A 5．C 6．D 7．B 8．A

二、选择题

9． 8，3 10．3 11． －3，－2，－1，0，1

12.　333 13．64　14．6 ，4 15． 16．28

三、解答题

17．x2-(a+5)x+5a-1=(x+b)(x+c)，

x2-(a+5)x+5a-1＝x2+(b+c)x+bc，

b+c=-a+5， ①

bc=5a-1 ②

①×5+②得

bc+5(6+c)=-26， bc+5(b+c)+25=-1，(b+5)(c+5)=-1．

∴　b+5=1 或 b+5=-1

c+5=-1 c+5=1

∴　b=－4 或 b+5=-－6

c+5=-－6 c+5=－4

∴a＝5

18．乙队最后一天完成240×＝180米， 丙队最后一天完成 180×=60米．

设甲队a天完成，过b天后的18时乙队完成，自乙队完成的当天零时起，再过c天后的8时丙队完成，则根据题意得：

300a=240(a+b)+180=180(a+b+c)+60，5a=4(a+b)+3 =3(a+b+c)+1．

a=4b+3， ①

即 a+b=3c-2， ②

5b+3=3c-2． ③

b=c-1． ∵b是正整数， ∴c=5，10，15，……．

若c＝5，则 b=2，a=11． 当c>5时，300a≥3600(米)，矛盾．

∴马路的长为300×11＝3 300(米)．

19．(1)△C'BD与△ABC中，BD=BC，AB=BC’，∠C’BD=60°+∠ABD=∠ABC

∴△C’BD≌△ABC， ∴C’D=AC． ①

又在△BCA与△DCB'，中，BC=DC，AC=B'C，

∠ACB=∠B'CD=60°，∴△BCA≌△DCB'，∴DB'=BA． ②

∴△C'BD≌△B'DC．

(2)由①得C'D=AC=AB'， 由②得DB'=BA=C'A，又AD=AD， ∴AC'D≌△DB'A．

(3)①S△AB'C>S△ABC'>S△ABC>S△A'BC ②S△ABC+S△ABC'=S△ACB'+S△A'BC

20．铁块体积=1 000cm3，水箱底面积=500cm2．若铁块全部浸入水中，则铁块放进后水面升高2cm．(这是因为铁块放入水中相当于增加了1 000cm3的水，而水箱底面积是 500cm2，500×2=1 000．故水面升高2cm．)故 (1)当a≥28时，放入铁块后水面高为30cm；(水可以漫出一些)

(2)当a=8时，设铁块放入后，水面高度为x cm，则由 500×8=(500-100)x，得x=10， 即水面高度为10cm，此时铁块顶部与水面相平．

(3)当8时，铁块放入后，全部浸入水中，故水面高度为(a+2)cm．

(4)当0时，铁块不能全部浸入水中，设铁块放入后水面高度为xcm，则由 (

500a=(500-100)x；得x=a，即水面高度为 a cm ，

数学竞赛初中二年级 第2试

一、选择题(每小题7分，共56分)

1．(18届江苏初二2试)已知=O，a2+b2+c2=1，则a+b+c的值等于( )．

A．1 B．－1 C.1或－1 D．O

2．(18届江苏初二2试)已知整数a、b、c、d满足abcd=25，且a>b>c>d，那么|a+b|+|c+d|等于( )．

A．O B．10 C．2 D．12

3．(18届江苏初二2试)如图，∠ABC=31°，又∠BAC的平分线与∠FCB的平分线CE相交于E点，则∠AEC为

A ．14．5° B．15．5° C．16．5° D．20°

4．(18届江苏初二2试)计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’的原则．如图2，堆栈(1)的2个连续存储单元已依次存入数据b，a，取出数据的顺序是a,b；堆栈(2)的3个连续存储单元已依次存人数据e，d，c，取出数据的顺序则是c，d,e以现在要从这两个堆栈中取出这5个数据(每次取出1个数据)，则不同顺序的取法的种数有( )．

A5种 B6种 C．10种 D．12种

5．(18届江苏初二2试)如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连结DE．

记△ADE的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是( )．

A．Ll=L2 B．L1>L2 C．L2>L1 D．无法确定

6．(18届江苏初二2试)直角三角形的三条边长分别为x-y，x，x+y，这里x>y>0，则x：y为 ( )．

A．4:1 B．4：3 C．3：2 D．2：1

7．(18届江苏初二2试)如图，长方形内的阴影部分是由四个半圆围成的图形，则阴影部分的面积 ( )

A．π(b2－a2) B．π(b2－a2) C．π(2ab－b2) D．π(2ab－b2)

8．(18届江苏初二2试)在冬季篮球赛中，选手王霞在第六、第七、第八、第九场比赛

中分别得了23分、14分、11分和20分．她的前九场的平均成绩

高于前五场的平均成绩，如果她的前十场的平均成绩高于l8分，

那么她的第十场的成绩至少为( )．

A．27分 B．29分 C．31分 D．33分

二、填空题(每题7分，共56分)

9．(18届江苏初二2试)已知4x2-3x+1=a(x-1)2+b(x-1)+c对任意数x成立，则4a+2b+c =

10．(18届江苏初二2试)直线上有n个点，我们进行如下的操作：每相邻两点间插入1个点，经过3次操作，直线上有 个点．

11．(18届江苏初二2试)如图，四边形ABCD中，∠C=90°，∠D=150°，BC= CD=DA，则∠A= 度，∠B= 度．

12．(18届江苏初二2试)不同的3个质数a，b，c满足abbc+a=2000，则abc=

l3．(18届江苏初二2试)在图(1)中取阴影等边三角形各边的中点，连成一个等边三角形，将其挖去，得到图(2)；对图(2)中的每个阴影等边三角形仿照先前的做法，得到图(3)，如此继续．如果图(1)的等边三角形面积为1，则第n个图形中所有阴影三角形面积的和为 ．

14．(18届江苏初二2试)如图，四边形ABDC中，△EDC是由△ABC绕顶点C旋转40°所得，顶点A恰好转到AB上一点E的位置，则∠1+∠2= 度．

15．(18届江苏初二2试)超市送货员将9袋桔子送往甲、乙、丙3家客户．这9袋桔子的重量(千克数)分别为22，25，28，31，34，36，38，40，45．客户丙家只送了1袋．回来后，送货员记不清送往客户丙家的是多重的l袋，但是他记得送往客户甲家的重量是送往客户乙家的重量的2倍，则送往客户丙家的1袋桔子重量(千克数)为 ．

16．(18届江苏初二2试)将奇数依顺序排列成如图所示的三角形数阵，从上到下称为行．图中

数11为第3行、从左向右数的第2个数；数29为第4行、第6个数．那么，

2003为第 行、第 个数．

三、解答题(每题12分，共48分)

17．(18届江苏初二2试)如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BP⊥AD，垂足为P．

已知AB=5，BP=2，AC=9．试说明∠ABC=3∠ACB．

18．(18届江苏初二2试)宁工养殖场从1999年到2003年五年中，年产值逐年增加；头三年平均年产值180万元；后三年平均年产值260万元；头两年产值之差为70万元；后两年产值之差为50万元；最高年产值和最低年产值的平均值为220万元．

根据上述数据，请你确定1999年到2003年各年的产值．

19．(18届江苏初二2试)将1，2，3，…，37排列成一行a1，a2，…，a37，其中al=37，a2=l，并使a1+a2+…+ak能被ak+l整除(k=1，2，3，…，36)．

(1)求a37 (2)求a3．

20．(18届江苏初二2试)设m=12+22+32+…+20032．今天是星期一，若算第一天，则第m天是星期几?

1 5．设送往客户乙家的桔子重量为x千克．则送往客户甲家的桔子重量为2x、千克．桔子的总千克数为22+25+28+3 1+34+36+38+40+45=299．

因此，送往客户丙的重量(千克数)=299-3x=3(99一x)+2，所以它被3除余2．在这9袋中重量数(千克)除以3余2的只有38．故送往客户丙家的桔子是38千克的1袋．

初中数学竞赛初二年级第1试

2004年12月5日上午8：30—10：30

一、选择题(每小题7分，共56分)以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内。

1．已知，，的平均数为5, , ,的平均数为7，则，，的平均数为( )

(A)31 (B) (C) (D)17

2．在凸四边形ABCD中，AB＝BC＝BD，∠ABC＝70°。则∠ADC等于(　　　)

(A)145° (B)150° (C)155° (D)160°

3．如图，△ABC为等边三角形，且BM＝CN，AM与BN相交于点P，则∠APN(　　)

(A)等于70° (B)等于60° (C)等于50° (D)大小不确定“

4．如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等．图(1)、图(2)所示的的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置(　　)

(A)3个球 (B)4个球 (C)5个球 (D)6个球

5．已知一列数，，，…，，…中，，,，…，，…。则的个位数字是(　　)

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

6．在0，1，2，3，…，100这101个整数中，能被2或3整除的数一共有(　　)

(A)85个 (B)68个 (C)34个 (D)17个

7．如果每1秒钟说一个数，那么说1012个数需要多少时间?下面的估计最接近的是(　　)

(A)32年 (B)320年 (C)3千2百年 (D)3万2千年

8．如图是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑有若干种涂法．约定沿正方形ABCD的对称轴翻折能重合的图案或绕正方形ABCD中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如就视为同一种图案，则不同的涂法有(　　)

(A)4种 (B)6种 (C)8种 (D)12种

二、填空题(每小题7分，共84分)

9．一个多边形的对角线的条数等于边数的5倍，则这个多边形是　　　　边形。

10．多项式被除，余数为2，则　　　　。

11．已知143＝2744，153＝3375，则　　　　的3次方等于2 924 207。

12．一个摩托车手旅程速度为40千米／时，旅程速度为50千米／时，则他的全旅程的平均速度为　　　　　。

13．盒子里有l0个球，每个球上写有1—10中的1个数字，不同的球上数字不同，其中两个球上的数的和可能是3，4，…，19。现从盒中随意取两个球，这两个球上的数的和，最有可能出现的是　　　　。

14．，，c为△ABC的三边，且，则△ABC的形状为　　　　　　。

15．如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，CE与DB相交于点F，则∠AFD＝　　　　度。

16．若有理数、(≠0)的积、商、差相等，即，则　　　，　　　。

17．如图，横向或纵向的两个相邻格点的距离都是1．若六边形(可以是凸的或凹的)的顶点都在格点上，且面积为6，画出三个形状不同的这样的六边形．

18．有3堆硬币，每枚硬币的面值相同。小李从第1堆取出和第2堆一样多的硬币放入第2堆；又从第2堆中取出和第3堆一样多的硬币放入第3堆；最后从第3堆中取出和现存的第l堆一样多的硬币放入第l堆，这样每堆有16枚硬币，则原来第l堆有硬币　　　　枚，第2堆有硬币　　　　枚，第3堆有硬币　　　　枚

19．七位数，这里数码，，，，，是0或l，所有这样的七位数的和是　　　　。

20．甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答．以后在抢答过程中若甲答对1题，就可提6个问题，乙答对1题就可提5个问题，丙答对l题就可提4个问题，供另两人枪答．抢答结束后，总共有16个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是　　　　　　　　　　　　　　　．

江苏省第十九届初中数学竞赛初二年级第1试

参考答案及评分标准

一、选择题

二、填空题

9．十三 10．－2 11．143 12．千米／时(或填约46.15千米／时)

13．11 14．等腰三角形 15．60 16．－，－1

17．注　符合条件的六边形有许多。填对1个给2分，填对2个给4分。

18．22，14，12 19．67 555 552

20．(1，2，2)或(0，3，1)　注　填对1个只给4分。

初中数学竞赛试卷初二年级第2试

一、选择题(每小题7分，共56分)以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确的答案的英文字母填写在题后的圆括号内。

1．(19届江苏初二2试)数学大师陈省身于2004年12月3日在天津逝世，陈省身教授在微分几何等领域做出了杰出的贡献，是获得沃尔夫奖的惟一华人，他曾经指出，平面几何中有两个重要定理，一个是勾股定理，另一个是三角形内角和定理，后者表明平面三角形可以千变万化，但是三个内角的和是不变量，下列几个关于不变量的叙述：

(1)边长确定的平行四边形ABCD，当A变化时，其任意一组对角之和是不变的；

(2)当多边形的边数不断增加时，它的外角和不变；

(3)当△ABC绕顶点A旋转时，△ABC各内角的大小不变；

(4)在放大镜下观察，含角α的图形放大时，角α的大小不变；

(5)当圆的半径变化时，圆的周长与半径的比值不变；

(6)当圆的半径变化时，圆的周长与面积的比值不变。

其中错误的叙述有 ( )

(A) 2个 (B) 3个 (C) 4个 (D) 5个

2．(19届江苏初二2试)某种细胞在分裂过程中，每个细胞一次分裂为2个，1个细胞第一次分裂为2个，第2次继续分裂为4个，第3次继续分裂为8个，……则第50次分裂后的细胞的个数最接近( )

（A） 1015 (B) 1012 (C) 108 (D) 105

3．(19届江苏初二2试)如图，在五边形ABCDE中，BC∥AD，BD∥AE，AB∥EC，

图中与△ABC面积相等的三角形有 ( )

（A） 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个

4．(19届江苏初二2试)如图，四边形ABCD是正方形，直线l1,l2,l3分别通过

A，B，C三点，且l1∥l2∥l3,若l1与l2的距离为5，l2与l3的

距离为7，则正方形ABCD的面积等于 ( )

（A） 70 (B) 74 (C) 144 (D) 148

5．(19届江苏初二2试)长方形台球桌ABCD上，一球从AB边上某处P击出，分别撞击球桌的边BC、DA各1次后，又回到出发点P处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等(例如图∠α=∠β)若AB=3，BC=4，则此球所走路线的总长度(不计球的大小)为 ( )

（A） 不确定 (B) 12 (C) 11 (D) 10

6．(19届江苏初二2试)代数式2x2-6xy+5y2,其中x、y 可取任意整数，则该代数式不大于10的值有( )

（A） 6个 (B) 7个 (C) 8个 (D) 10个

7．(19届江苏初二2试)在2004，2005，2006，2007这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是( )

(A) 2004 (B) 2005 (C) 2006 (D)2007

8．(19届江苏初二2试)已知关于x的不等式组的整数解有且仅有4个：-1，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对(a,b)的个数有 ( )

(A)1 (B)2 (C) 4 (D)6

二、填空题(每小题7分，共56分)

9．(19届江苏初二2试)在公路沿线有若干个黄沙供应站，每两个黄沙供应站之间有一个建筑工地，一辆载着黄沙的卡车从公司出发，到达第1个黄沙供应站装上沙，使车上的黄沙增加1倍，到达第1个建筑工地卸下黄沙2吨，以后每到达黄沙供应站装沙，使车上黄沙增加1倍，每到达建筑工地卸下黄沙2吨，这样到达第3个建筑工地将黄沙下好卸光，则卡车上原来装有黄沙 吨

10．(19届江苏初二2试)有20个队参加比赛，每队和其他各队都只比赛1场，

每场比赛裁定有1队胜，即没有平手，获胜1场得1分，败者

得零分，则其中任意8个队的得分和最多是 分。

11．(19届江苏初二2试)在如图所示的梯形等式表中，第n行的等式是

。

12．(19届江苏初二2试)普通骰子是各面点数分别为1，2，3，4，5，6的正方体，

现有甲、乙两个普通骰子，将甲骰子每一面的点数分别与乙骰子每一面的点数相加，得到的如表1，从中可看出和2，3，4，…12各自出现的次数。(表中数据表示骰子点数)

表1 表2

现在设计丙、丁两个特殊的正方体骰子，要求将丙骰子每面的点数分别与丁骰子每面的点数相加后，所得的和仍是2，3，4，…，12，且同一种和出现的次数与甲、乙两个普通骰子完全相同，即2出现1次，3出现2次，…，12出现1次，已知丙、丁两个骰子各面的最大点数分别为4和8，且它们各面的点数都是正整数。请在表2中分别填入丙、丁两个骰子各面的点数(可用点或数字表示)

13．(19届江苏初二2试)如图，将四根木条用螺钉连接，构成一个四边形ABCD(在A、B、C、D处都是活动的)。现固定AB不动，改变四边形的形状，当点C在AB的延长线上时，∠C=90°，当点D在BA的延长线上时，点C在线段AD上，已知AB=6cm，DC=15cm，则AD= cm，BC= cm.。

14．(19届江苏初二2试)一个长方体的长、宽、高都是质数，长、宽的积比高大8，长与宽的差比高小9，这个长方体的体积是 。

15.(19届江苏初二2试)如图，两个矩形ABCD和EFGH相交，EH、DC相交于点M，EF、DA相交于点P，FG、AB相交于点N，GH、BC相交于点Q，且MN∥DA，PQ∥EH。已知MN=10，PQ=9，矩形EFGH的周长等于34，则矩形ABCD的周长等 。

16．(19届江苏初二2试)一个纸质的正方形“仙人掌”，假设“仙人掌”在不断地

生长，新长的叶子是“缺角的正方形”，这些“正方形”的中心

在先前正方形的角上，它们的边长是先前正方形的一半(如图所示)

若第一个正方形的边长是1，则生长到第4次后，所得正方形的

面积是 。

三、解答题

17．(19届江苏初二2试)长边与短边之比为2：1的长方形为“标准长方形”。约定用短边分别为a1、a2、a3、a4、a5(其中a1＜a2＜a3＜a4＜a5的5个不同“标准长方形”拼成的大长方形记为(a1、a2、a3、a4、a5)，如图，短边长分别为1，2，2.5，4.5，7的“标准长方形”拼成的大长方形记为(1，2，2.5，4.5，7)，解答下列问题：

(1)写出长方形(1，2，5，a4，a5)中a4和a5可取的值及相应的面积不同的长方形(用上述长方形的记法表示出来)，并画出其中两个符合要求的长方形示意图。

(2)所有这些长方形(1，2，5，a4，a5)的面积的最大值是多少？

18．(19届江苏初二2试)A、B、C、D、E五人到商店去买东西，每人都花费了整数元，他们一共花了56元，A、B花费的差额(即两人所花钱的差的绝对值，下同)是19元，B、C花费的差额是7元，C、D花费的差额是5元，DE花费的差额是4元，E、A花费的差额是11元，问E花费了几元？为什么？

19．(19届江苏初二2试)当x=20时，一个关于x的二次三项式的值等于694，若该二次三项式的各项系数及常数项都是绝对值小于10的整数，求满足条件的所有二次三项式。

20．(19届江苏初二2试)《时代数学学习》杂志编辑部为了更好地提高杂志质量，邀请了20位同学围坐在会议桌旁召开座谈会，会上备有足量的各期杂志供大家任意选取，每人可取任意多本，座谈会结束时，统计一下每人所取杂志的本数，发现总有一些座位连在一起的人(可以1人或可含全部)，他们所取的杂志的本数的和是20的整数倍。为什么？

第十五届江苏省初中数学竞赛参考答案初二年级第一试

一、1．C 2．A 3．C 4．B 5．A 6．A 7．(1)C；(2)C 8．A

二、9．4 0 l 0． 11．1 6 1 2．8或2 1 3．2 1 4．

1 5．1 00 1 6．1 9． 1 7．(1)24cm2；(2)2a-5． 1 8．8．1 9．(4 9 9．5 0 1),(-5 01,-4 9 9)． 2 0．6 6 7．

第十五届江苏省初中数学竞赛参考答案初二年级第二试

一、1．C． 2．D．

3．C．设铅笔每支为x元，橡皮擦每块为y元，日记本每本为z元，则

20z+3y+2z=3 2， ①

39x+5y+3z=5 8．②

①×2-②得 x+y+z=6． 5(x+y+z)=3 O．应选(C)．

4．C．我们用O表示开的状态，F表示关的状态，则各种不同的状态有000O，000F，00FO，0F0O，FDD0，FOF0，0FOF，F00F共8种状态，应选(C)．

8．C．选取1 6个互不相等的实数，有无穷多种不同的情况，不可能一一列举检验．由于选择题的选项中有且只有一个是正确的．所以，可以从特殊情形进行剖析．如取前1 6个自然数，把它们按自然顺序排成

图(2)，交换最大数和最小数的位置得到图(3)．

(1)

(2)

(3)

易得图(2)中x=4，y=4，显然x=y；图(3)中，x=8，y=5，显然x>y．因此一般情况下有x≥y．应选(C)．

事实上当x≠y时，x=aij，y=amk，如果它们在同一行或同一列，显然x>y．否则它们所在的行、列的交点是aik，由x、y的意义得到：yik．从而能够证明x≥y．

二、9．3 9 9 8．因为两个质数的和为奇数，故必有一个质数是奇数，另一个质数是偶数．而2是唯一的偶质数，所以另一个质数是1 9 9 9，它们的乘积为2×1 9 9 9=3 9 9 8．

1O．1．由已知得b一a=2ab，代入求值式得

11．O． a+b=5，a=5-b

c2=(5-b)·b+b-9=-(b-3)2， c=O．

1 2．6；-3．原式可化为|x+2|+|1-x|+|y-5|+|1+y|=9，

|x+2|+|1-x|≥3，当-2≤x≤1时等号成立，

|y-5 |+|y+1|≥6，当-1≤y≤5时等号成立．

x+y的最大值=1+5=6，x+y的最小值=-3．

1 3．30．如图， BD=2CD， S3=8， BG：GE=4：1．

0≤x≤4，0≤y≤7，x、y都是整数且 3x+1 3y尽可能接近l00

当x=4时，y=0，材料利用率9 2％，

当x=3时，y=2，材料利用率9 5％，

当x=2时，y=4，材料利用率9 8％，

当x=1时，y=5，材料利用率8 8％，

当x=0时，y=7，材料利用率9 1％．

可见将1米长的金属线材，截成长为23厘米的线材2根，截成长1 3厘米的线材4根，这时材料的利用率最高，最高利用率为98％．

1 9．情形1 这个面上出现数1．

设其余三个数为a，b,c,因为a+b，b+c，c+a互不相同，且依题设加1之和不小于1 O，这样a+b，b+ c，c+a这三个数至少要不小于9，1 O，11．故 (a+b)+(b+c)+(c+a)≥9+1O+11，即 a+b+c≥1 5，

加上1之后，四个数之和≥1 6．

情形2 这个面上不出现数1．

显然依题意不能同时出现2，3，4，因为2+3+4=9<10．

于是，这些数至少有2，3，5，6，2+3+5+6=1 6．

故4数之和的最小值为1 6．具体分布如图．

2 O．因为所求数是7 2的倍数，所以所求数一定既是9的倍数，又是8的倍数．

是9的倍数，． 1+2+8+7+x+y+6=2 4+x+y是9的倍数，且O≤x+y≤1 8，

x+y等于3或1 2

又 所求数是8的倍数，xy6必须是8的倍数．

y6必须是4的倍数． y只能是1，3，5，7，或9．

当y=1时，x=2，2 1 6是8的倍数．

当y=3时，x=O或9，3 6不是8的倍数，9 36是8的倍数，

当y=5时，x=7，但7 5 6不是8的倍数，

当y=7时，x=5，5 7 6是8的倍数，

当y=9时，x=3，但3 9 6不是8的倍数．

． 符合条件的7位数是1 2 8 7 2 1 6，1 2 8 7 93 6，1 2 87 5 7 6．……

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