专题立方和差公式和差的立方公式

专题二 立方和（差）公式、和（差）的立方公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 ；

（2）完全平方公式 。

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 ；

（2）立方差公式 ；

（3）三数和平方公式 ；

（4）两数和立方公式 ；

（5）两数差立方公式 。

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。

反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。

例1 计算：

（1）；

（2）；

（3）。

分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算.

解：（1）原式=；

（2）原式=；

（3）原式=。

说明：第（1）、（2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公式计算；若将第二个因式中“”改成“”则利用公式计算；若将第二个因式 中“”改成“”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算。

例2 计算：

（1）；

（2）；

（3）；

分析：利用乘法的交换律、积的乘方，找出满足立方和（差）的两个因式，是计算的关键.

解：（1）原式；

（2）解法一：原式；

解法二：原式

；

（3）原式

。

说明：第（2）、（3）题往往先用立方和（差）公式计算简捷.相反，如第（2）题的第二种解法就比较麻烦.

例3因式分解：

（1）；

（2）；

（3）。

分析：对照立方和（差）公式，正确找出对应的是解题关键，然后再利用立方公式分解因式。

解：（1）原式；

（2）原式

（3）原式

。

说明：我们可尝试一下，第(3)题先用立方差公式分解就比较复杂，会导致有的同学分解不彻底。

例４设,试求的值。

分析：对于立方和公式，我们不难把它变成：

，即，再应用两数和、两数积解题较为方便。

解：。

说明：立方和（差）与和（差）的立方之间可以相互转化。

例5 如果的三边满足，试判断的

形状。

分析：直接看不出三角形边之间的关系，可把左边的多项式分解因式，变形后再找出三角形三边之间的关系。

解：因为，

所以，

即，

，

所以或，

因此是等腰三角形或直角三角形.

说明：此类题型，通常是把等式一边化为零，另一边利用因式分解进行恒等变形.

练习

1.计算：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）。

2.计算：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）。

3．分解因式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）。

4．化简：

。

5．若，求证：。

6．（1）已知，求的值；

（2）已知：，求的值.

7．已知两个正方体，其棱长之总和为48cm，体积之和为28cm3，求两个正方体的棱长.

8. 已知，求的值。

9. 已知，求的值。

10.已知实数满足，，求的值。

答案：

1．（1） ；（2）；（3）；（4）。

2．（1）； （2）；

（3）；（4）。

3、（1）； （2）；

（3）；（4）。

4．2

5．提示： 。

6．（1）-8（2）1

7．两个正方体的棱长分别为1cm和3cm.

10.

（兴化市第一中学 张俊）

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/4233e4d3876fb84ae45c3b3567ec102de3bddf5b.html