万有引力与航天专题4、 宇宙速度的理解与计算

考点一　宇宙速度的理解与计算

1．第一宇宙速度又叫环绕速度．

推导过程为：由mg＝word/media/image1.gif＝word/media/image2.gif得：

v1＝word/media/image3.gif＝word/media/image4.gif＝7.9km/s.

2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．

3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．

注意　(1)两种周期——自转周期和公转周期的不同．

(2)两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度．

(3)两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同．

(4)第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．

(5)第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．

例题1.一宇航员站在某星球表面上，以水平速度v0抛出一物体，抛出点离星球表面高h，经时间t物体落到星球表面，已知该星球半径为R，忽略星球的自转，下列说法正确的是（ A C ）

A．该星球的质量为word/media/image5.gif B．该星球的质量为word/media/image6.gif

C．该星球的第一宇宙速度为word/media/image7.gif D．该星球的第一宇宙速度为word/media/image8.gif

例题2.“伽利略”木星探测器，从1989年10月进入太空起，历经6年，行程37亿千米，终于到达木星周围．此后在t秒内绕木星运行N圈后，对木星及其卫星进行考察，最后坠入木星大气层烧毁．设这N圈都是绕木星在同一个圆周上运行，其运行速率为v，探测器上的照相机正对木星拍摄整个木星时的视角为θ(如图5所示)，设木星为一球体．求：

(1)木星探测器在上述圆形轨道上运行时的轨道半径；

(2)木星的第一宇宙速度．

答案　(1) word/media/image10.gif　(2) word/media/image11.gif

解析　(1)设木星探测器在题述圆形轨道运行时，轨道半径为r，由v＝word/media/image12.gif

可得：r＝word/media/image13.gif 由题意可知，T＝word/media/image14.gif 联立解得r＝word/media/image10.gif

(2)探测器在圆形轨道上运行时，万有引力提供向心力，

Gword/media/image15.gif＝mword/media/image16.gif. 设木星的第一宇宙速度为v0，有，Gword/media/image17.gif＝m′word/media/image18.gif

联立解得：v0＝word/media/image19.gifv 由题意可知R＝rsinword/media/image20.gif， 解得：v0＝word/media/image11.gif.

练习1-1：[第一宇宙速度的理解与计算]某人在一星球表面上以速度v0竖直上抛一物体，经过时间t后物体落回手中．已知星球半径为R，那么沿星球表面将物体抛出，要使物体不再落回星球表面，抛射速度至少为(　B　)

A. word/media/image21.gif B. word/media/image22.gif C. word/media/image23.gif D. word/media/image24.gif

解析　要使物体不再落回星球表面，抛射速度必须达到星球的第一宇宙速度，满足v＝word/media/image3.gif＝word/media/image4.gif，而由竖直上抛规律知v0＝word/media/image25.gifgt，所以v＝word/media/image22.gif，B对．

练习1-2：[宇宙速度的理解与计算]2011年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星．已知火星的质量约为地球质量的word/media/image26.gif，火星的半径约为地球半径的word/media/image25.gif.下列关于火星探测器的说法中正确的是(　CD　)

A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可

B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以

C．发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度

D．火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的word/media/image27.gif

解析　根据三个宇宙速度的意义，可知选项A、B错误，选项C正确；已知M火＝word/media/image28.gif，R火＝word/media/image29.gif，则word/media/image30.gif＝word/media/image31.gif∶word/media/image32.gif＝word/media/image27.gif.

练习1-3：(2014·福建·14)若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的(　C　)

A. word/media/image33.gif倍 B. word/media/image34.gif倍 C. word/media/image35.gif倍 D. word/media/image36.gif倍

解析　卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由行星对卫星的万有引力提供．设地球质量为M，半径为R，根据word/media/image2.gif＝word/media/image37.gif得地球卫星的环绕速度为v＝word/media/image3.gif，同理该“宜居”行星卫星的环绕速度v′＝word/media/image38.gif，故v′为地球卫星环绕速度的word/media/image35.gif倍．选项C正确．

练习1-4：2012年，天文学家首次在太阳系外找到一个和地球尺寸大体相同的系外行星P，这个行星围绕某恒星Q做匀速圆周运动．测得P的公转周期为T，公转轨道半径为r.已知引力常量为G，则(　A　)

A．恒星Q的质量约为word/media/image39.gif B．行星P的质量约为word/media/image39.gif

C．以7.9km/s的速度从地球发射的探测器可以到达该行星表面

D．以11.2km/s的速度从地球发射的探测器可以到达该行星表面

解析　根据万有引力提供向心力，以行星P为研究对象有Gword/media/image40.gif＝mword/media/image41.gifr，得M＝word/media/image39.gif，选项A正确；根据万有引力提供向心力只能求得中心天体的质量，因此根据题目所给信息不能求出行星P的质量，选项B错误；如果发射探测器到达该系外行星，需要克服太阳对探测器的万有引力，脱离太阳系的束缚，所以需要发射速度大于第三宇宙速度，选项C、D错误．

练习1-5：2007年10月24日18时05分，我国成功发射了“嫦娥一号”探月卫星，11月5日进入月球轨道后，经历3次轨道调整，进入工作轨道。若卫星在地球表面的重力为G1，在月球表面的重力为G2，已知地球半径为R1，月球半径为R2，地球表面处的重力加速度为g，则 ( A C )

A．月球表面处的重力加速度g月为word/media/image42.gif B．月球的质量与地球的质量之比为word/media/image43.gif

C．卫星在距月球表面轨道上做匀速圆周运动的周期T月为word/media/image44.gif

D．月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为word/media/image45.gif

练习1-6：在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ。若卫星的发射速度为，第一宇宙速度为，在同步轨道Ⅱ上的运行速度为，则 （ AD ）

A．>>

B．若卫星的发射速度为2，卫星最终围绕地球运行的轨道半径将变大

C．在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度等于在Q点的速度

D．卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ

练习1-7：美国“火星探路者”宇宙飞船经过4亿多千米的航行，成功地登陆火星并释放了一个机器人在火星探察．“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗天体各有一颗靠近其表面飞行的卫星，并测得两颗卫星的环绕周期相等，以下说法正确的是(AD)

A．天体A、B的密度一定相等 B．天体A、B的质量一定相等

C．两颗卫星的线速度一定相等 D．天体A、B表面上物体重力加速度与天体半径成正比

练习1-8：我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量为地球质量的1/81，月球的半径约为地球半径的1/4，地球上的第一宇宙速度约为7.9km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为（ B ）

A.0.4km/s B.1.8km/s C.11km/s D.36km/s

练习1-9：研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时。假设这种趋势会持续下去，地球的其它条件都不变，则未来与现在相比(   D    )

A．地球的第一宇宙速度变小 B．地球赤道处的重力加速度变小

C．地球同步卫星距地面的高度变小 D．地球同步卫星的线速度变小

练习1-10：已知一颗人造卫星在半径为R的某行星上空绕该行星做匀速圆周运动，经过时间t ，卫星运动的弧长为S ，卫星与行星的中心连线扫过的角度是θ弧度，( 已知万有引力常量为G ) 求:

(1) 人造卫星距该行星表面的高度h

(2) 该行星的质量M

(3) 该行星的第一宇宙速度v1

解：（1）s = rθ（1分）　h= r－R （1分） h =S /θ－R（2分）

（2）v=s/t （1分）word/media/image50.gif（1分） word/media/image51.gif（2分）

（3）word/media/image52.gif（2分） word/media/image53.gif（2分）

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/411e1c394b7302768e9951e79b89680202d86b4c.html