2019－2019年度南昌市高三第一次模拟测试卷数 学(理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答．若在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
参考公式：
锥体体积公式V＝Sh，其中S为底面积，h为高．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数z＝在复平面上对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．函数y＝－1的图像关于x轴对称的图像大致是
3．函数y＝
的定义域为M，N＝{x|log2(x－1)<1}，则如图所示阴影部分所表示的集合是
A．{x|－2≤x＜1} B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1<x≤2} D．{x|x＜2}
4．若α∈(0，)，且sin2α＋cos 2α＝
，则tan α的值等于
A. B.
C.
D.
5．若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8－S3＝10，则S11的值为
A．12 B．18 C．22 D．44
6．某项测试成绩满分为10分，现随机抽取30名学生参加测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为me，平均值为，众数为mo，则
A．me＝mo＝
B．me＝mo<
C．me<m0<
D．mo<me<
7．程序框图，如图所示，
已知曲线E的方程为ax2＋by2＝ab(a，b∈R)，若该程序输出的结果为s，则
A．当s＝1时，E是椭圆 B．当s＝－1时，E是双曲线
C．当s＝0时，E是抛物线 D．当s＝0时，E是一个点
8．已知a、b、c是三条不同的直线，命题“a∥b且a⊥c⇒b⊥c”是正确的，如果把a、b、c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知函数f(x)＝|lg(x－1)|－()x有两个零点x1，x2，则有
A．x1x2<1 B．x1x2<x1＋x2
C．x1x2＝x1＋x2 D．x1x2>x1＋x2
10．已知△ABC外接圆半径R＝，且∠ABC＝120°，BC＝10，边BC在x轴上且y轴垂直平分BC边，则过点A且以B，C为焦点的双曲线方程为
A.－
＝1 B.
－
＝1 C.
－
＝1 D.
－
＝1
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．若“x2－2x－8>0”是“x<m”的必要不充分条件，则m最大值为________．
12．设n＝6sinxdx，则二项式(x－
)n的展开式中，x2项的系数为________．
13．已知关于x的方程x2＋2px－(q2－2)＝0(p，q∈R)无实根，则p＋q的取值范围是________．
14．在区间[－6,6]内任取一个元素x0，抛物线x2＝4y在x＝x0处的切线的倾斜角为α，则α∈[，
]的概率为________．
三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分．
15．(1)(不等式选讲选做题)若关于x的不等式|x－1|＋|x＋m|>3的解集为R，则实数m的取值范围是________．
(2)(坐标系与参数方程选做题)已知抛物线C1的参数方程为(t为参数)，圆C2的极坐标方程为ρ＝r(r>0)，若斜率为1的直线经过抛物线C1的焦点，且与圆C2相切，则r＝________.
四、解答题：本大题共6个题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分12分)
已知向量p＝(－cos 2x，a)，q＝(a,2－sin 2x)，函数f(x)＝p·q－5(a∈R，a≠0)
(1)求函数f(x)(x∈R)的值域；
(2)当a＝2时，若对任意的t∈R，函数y＝f(x)，x∈(t，t＋b]的图像与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定b的值(不必证明)，并求函数y＝f(x)的在[0，b]上单调递增区间．
17．(本小题满分12分)
已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn为数列{}的前n项和，若Tn≤λan＋1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．
18．(本小题满分12分)
南昌市教育局组织中学生足球比赛，共有实力相当的8支代表队(含有一中代表队，二中代表队)参加比赛，比赛规则如下：
第一轮：抽签分成四组，每组两队进行比赛，胜队进入第二轮，第二轮：将四队分成两组，每组两队进行比赛，胜队进入第三轮，第三轮：两队进行决赛，胜队获得冠军。
现记ξ＝0表示整个比赛中一中代表队与二中代表队没有相遇，ξ＝i表示恰好在第i轮比赛时一中代表队，二中代表队相遇(i＝1,2,3)．
(1)求ξ的分布列；
(2)求Eξ.
19．(本小题满分12分)
如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，EF与AC交于点O，PA，NC都垂直于平面ABCD，且PA＝AB＝4，NC＝2，M是线段PA上的一动点．
(1)求证：平面PAC⊥平面NEF；
(2)若PC∥ 平面MEF，试求PM∶MA的值；
(3)当M的是PA中点时，求二面角M－EF－N的余弦值．
20．(本小题满分13分)
椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为.点P(1，
)、A、B在椭圆E上，且
＋
＝m
(m∈R)．
(1)求椭圆E的方程及直线AB的斜率；
(2)求证：当△PAB的面积取得最大值时，原点O是△PAB的重心．
21．(本小题满分14分)
已知函数f(x)＝(m，n∈R)在x＝1处取到极值2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝ax－lnx.若对任意的x1∈[，2]，总存在唯一的x2∈[
，e](e为自然对数的底)，使得g(x2)＝f(x1)，求实数a的取值范围．
2019学年度南昌市高三第一次模拟测试卷
数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10题，每小题5分，共50分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11． 12．60 13．
14．
三、选做题（本题共5分）
15.①； ②
四、解答题（本大题共6小题，共75分）
16. 解：(1)
………………………………………………………2分
因为，所以
当时，
所以的值域为
………………………………………………………4分
同理，当时，
的值域为
……………………………………6分
（2）当时，
的最小正周期为
可知，
的值为
．…………………8分
由，得
……10分
因为，所以
，
函数在
上的单调递增区间为
………………………………12分
17. 解：（1）设公差为。由已知得
………………………3分
解得或
(舍去) 所以
，故
………………………………6分
（2）因为
所以………………………9分
因为对
恒成立。即，
，对
恒成立。
又
所以实数的最小值为
………………………………………………………………12分
18. 解:(1) ……………………………………….2分
……………………………………4分
…………………………………………………….6分
……………………………….9分
(2)………………………………………….12分
19. 解：法1：（1）连结
，
∵平面
，
平面
，
∴，……………………… 1分
又∵，
，
∴平面
，…………………. 2分
又∵，
分别是
、
的中点，
∴，………………………….3分
∴平面
，又
平面
，
∴平面平面
；……………4分
（2）连结，
∵平面
，平面
平面
，
∴，
∴，故
………………………………………8分
（3）∵平面
，
平面
，∴
，
在等腰三角形中，点
为
的中点，∴
，
∴为所求二面角
的平面角， ……………………………9分
∵点是
的中点，∴
，
所以在矩形中，
可求得，
，
，………………………10分
在中，由余弦定理可求得
，
∴二面角的余弦值为
．……………………………………12分
法2：（1）同法1；
（2）建立如图所示的直角坐标系，则，
，
，
，
∴，
，
设点的坐标为
，平面
的法向量为
，则
，
所以，即
，令
，则
，
，
故，
∵平面
，∴
，即
，解得
，
故，即点
为线段
上靠近
的四等分点；
故…………………………………………………………………8分
（3），则
，设平面
的法向量为
，
则
，即
，………9分
令，则
，
，
即，……………………………10分
当是
中点时，
，
则，
∴，
∴二面角的余弦值为
．……12分
20. 解：（1）由=
及
解得a2=4，b2=3，
椭圆方程为；…………………………………………………………2分
设A（x1,y1）、B（x2,y2）， 由得
（x1+x2-2，y1+y2-3）=m（1，），即
又，
，两式相减得
; ………………………6分
（2）设AB的方程为 y=，代入椭圆方程得：x2-tx+t2-3=0，
△=3(4-t2)，|AB|=，
点P到直线AB的距离为d=，
S△PAB ==
（-2<t<2）. ……………….10分
令f(t) =3(2-t)3(2+t)，则f’(t)=-12(2-t)2(t+1)，由f’(t)=0得t=-1或2（舍），
当-2<t<-1时，f’(t)>0，当-1<t<2时f’(t)<0，所以当t=-1时，f(t)有最大值81，
即△PAB的面积的最大值是；
根据韦达定理得 x1+x2=t=-1，而x1+x2=2+m，所以2+m=-1，得m=-3，
于是x1+x2+1=3+m=0，y1+y2+=3+
+
=0，
因此△PAB的重心坐标为(0，0)．……………………………………………………13分
21. 解: （1）…………………………2分
由在
处取到极值2，故
，
即
,
解得，经检验，此时
在
处取得极值.故
……5分
（2）由（1）知，故
在
上单调递增，在
上单调递减,由
，故
的值域为
…………………………7分
依题意，记
（ⅰ）当时，
，
在
上单调递减，
依题意由，得
，……………………………………………………8分
（ⅱ）当时，
当
时，
，当
时，
依题意得：或
，解得
，…………………………10分
（ⅲ）当时，
，此时
，
在
上单调递增依题意得
即
此不等式组无解 ……………………………………11分.
综上，所求取值范围为
………………………………………………14分
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/3d19c204cd22bcd126fff705cc17552706225e2f.html
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