导 数
主要内容导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．
考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．
§14. 导 数 知识要点
1. 导数（导函数的简称）的定义：设是函数
定义域的一点，如果自变量
在
处有增量
，则函数值
也引起相应的增量
；比值
称为函数
在点
到
之间的平均变化率；如果极限
存在，则称函数
在点
处可导，并把这个极限叫做
在
处的导数，记作
或
，即
=
.
注：①是增量，我们也称为“改变量”，因为
可正，可负，但不为零.
②以知函数定义域为
，
的定义域为
，则
与
关系为
.
2. 函数在点
处连续与点
处可导的关系：
⑴函数在点
处连续是
在点
处可导的必要不充分条件.
可以证明，如果在点
处可导，那么
点
处连续.
事实上，令，则
相当于
.
于是
⑵如果
点
处连续，那么
在点
处可导，是不成立的.
例：在点
处连续，但在点
处不可导，因为
，当
＞0时，
；当
＜0时，
，故
不存在.
注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3. 导数的几何意义：
函数在点
处的导数的几何意义就是曲线
在点
处的切线的斜率，也就是说，曲线
在点P
处的切线的斜率是
，切线方程为
4. 求导数的四则运算法则：
（
为常数）
注：①必须是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.
例如：设，
，则
在
处均不可导，但它们和
在
处均可导.
5. 复合函数的求导法则：或
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
6. 函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果
＞0，则
为增函数；如果
＜0，则
为减函数.
⑵常数的判定方法；
如果函数在区间
内恒有
=0，则
为常数.
注：①是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如
在
上并不是都有
，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样
是f（x）递减的充分非必要条件.
②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.
7. 极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有
＜
，则
是函数
的极大值，极小值同理）
当函数在点
处连续时，
①如果在附近的左侧
＞0，右侧
＜0，那么
是极大值；
②如果在附近的左侧
＜0，右侧
＞0，那么
是极小值.
也就是说是极值点的充分条件是
点两侧导数异号，而不是
=0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.
注①： 若点是可导函数
的极值点，则
=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点
是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.
例如：函数，
使
=0，但
不是极值点.
②例如：函数，在点
处不可导，但点
是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.
注：函数的极值点一定有意义.
9. 几种常见的函数导数：
I.（
为常数）
（
）
II.
III. 求导的常见方法：
①常用结论：.
②形如或
两边同取自然对数，可转化求代数和形式.
③无理函数或形如这类函数，如
取自然对数之后可变形为
，对两边求导可得
.
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