上海市十三校2016年高三3月联考数学理试题

上海市十三校2016届高三学科测试

数学（理科）试卷

考试时间 120分钟 满分150分

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1. 若行列式，则 .

2. 二项式展开式的常数项为_________.

3. 焦点在轴上，焦距为，且经过的椭圆的标准方程为 .

4. 若集合，集合，则 .

5. 在中，，，，则_ _.

6. 从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名女同学的概率是 .

7. 若不等式对任意都成立，则实数的取值范围为 .

8. 已知平面直角系中，曲线的参数方程为，现以直角坐标系的原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线的极坐标方程是__________.

9. 已知正方体的棱长为，点为棱的中点，则点到平面的距离为 .

10. 设函数的零点为、，

函数的零点为、，

则的值为 .

11. 对于数列满足：，（）,其前项和为.记满足条件的所有数列中，的最大值为, 最小值为,则 .

12. 定义在上的奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为 .

13. 已知正四面体，点、、、、、

分别是所在棱的中点，如图. 则当，，

且时，数量积的不同数值的个数为 .

14. 设函数的定义域为，记，

，若，,

且, 则的取值范围是___________________.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15. 二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（ ）.

（A）系数行列式. （B）比例式.

（C）向量与不平行.（D） 直线与不平行.

16．设为两个随机事件，如果为互斥事件，那么（ ）.

（A）是必然事件. （B）是必然事件.

（C）与是互斥事件. （D）与不是互斥事件.

17. 将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）.

（A）26, 16, 8. （B）25，17，8. （C）25，16，9. （D）24，17，9.

18. 我们称点到图形上任意一点距离的最小值为点到图形的距离. 那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是 ( ).

（A）圆. （B）椭圆. （C）双曲线的一支. （D）直线.

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19.（本题满分12分）

用铁皮制作一个容积为的无盖圆锥形容器，如图. 若圆锥的母线与底面所成的角为，求制作该容器需要多少面积的铁皮. (铁皮衔接部分忽略不计,结果精确到)

20.（本题满分14分）本大题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.

已知复数，为虚数单位，.

（1）若为实数，求的值；

（2）若复数对应的向量分别是，存在使等式成立，求实数的取值范围.

21.（本题满分14分）本大题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知是等差数列，，，数列满足，，且是等比数列.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和，并判断是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．

已知抛物线，为抛物线上的点，若直线经过点且斜率为，则称直线为点的“特征直线”. 设、为方程（）的两个实根，记.

（1）求点的“特征直线”的方程；

（2）已知点在抛物线上，点的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与轴的交于点，点为线段上的点. 求证：；

（3）已知、是抛物线上异于原点的两个不同的点，点、的“特征直线”分别为、，直线、相交于点，且与轴分别交于点、. 求证：点在线段上的充要条件为（其中为点的横坐标）.

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．

已知表示不小于的最小整数，例如.

（1）设, ,若，求实数的取值范围；

（2）设，在区间上的值域为，集合中元素的个数为，求证：；

（3）设（），，若对于，都有，求实数的取值范围.

高 三 学 科 测 试

数学（理科）

答案及评分标准

一、填空题．

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14.

二、选择题

15. 16. 17. 18.

三、解答题．

19.（本题满分12分）

解：设圆锥的底面半径为，高为，母线长为

因为母线与底面所成的角为，所以， ..........3分

又 ..........6分

所以，， ..........8分

进而得圆锥的侧面积 ..........11分

所以该容器所需铁皮的面积约为 ..........12分

20.（本题满分14分）.

解：因为为实数 ..........2分

所以 ..........4分

因为，所以， ..........7分

（2）由已知

因为

所以， ..........3分

因为，所以，

进而， ..........5分

解得. ..........7分

21.（本题满分14分）.

解：（1）因为，所以，得

所以 ..........3分

，，且，得

所以，进而 ..........6分

（2）， ..........2分

，

所以， ..........4分

， ..........6分

(或， ..........6分)

因为，，数列是递增数列，且，

所以，不存在正整数，使得. ..........8分

22.（本题满分16分）．

解：（1）由题意的斜率为1，

所以点的“特征直线”的方程为. ..........4分

(2)设点，由于双曲线所求渐进线的斜率为..........1分

所以，进而得 ..........2分

线段的方程为

所以满足 ..........3分

所对应方程为：，解得，

因为，所以，进而 ..........5分

(3)设，，则、的方程分别为

，，

解、交点可得，， ..........2分

所对应的方程为：，

得 ..........3分

必要性：因为点在线段上，所以

当时，，得，

当时，，得，

所以，进而 ..........5分

1 充分性：由，得，

当时，，得，

当时，得，得，

所以点在线段上.

综上，点在线段上的充要条件为 ..........7分

23.（本题满分18分）．

解：（1）因为在区间上单调递增，

所以 ..........2分

进而的取值集合为 ..........3分

由已知可知在上有解，因此， ..........5分

（2）当时，，

所以的取值范围为区间

进而在上函数值的个数为个， ..........2分

由于区间与没有共同的元素，

所以中元素个数为，得..........4分

因此， .........5分

（3）由于，

所以，并且当时取等号，

进而时， ..........3分

由题意对任意，恒成立. ..........4分

当，恒成立，因为，所以

当，恒成立，因为，所以

综上，实数的取值范围为. ...........8分

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/3cbd2a3380c758f5f61fb7360b4c2e3f56272510.html