金融数学复习题练习题

1. 某人借款1000元，年复利率为9%，他准备利用该资金购买一张3年期，面值为1000元的国库券，每年末按息票率为8%支付利息，第三年末除支付80元利息外同时偿付1000元的债券面值，如果该债券发行价为900元，请问他做这项投资是否合适

2. 已知：1） c7daf49a500e95deffa5d8170eed9792.png 求5da850d5942865dff2d5576d6a7cd00b.png

2） 18badef0a114095f2236e6272c93ec6d.png 求5da850d5942865dff2d5576d6a7cd00b.png

由于50aeb961a05dd0c0ed0d93b26cc1d4f7.png

由于139e07238f3b0ffcd36e6bbf265f66ee.png

3. 假设银行的年贷款利率12%，某人从银行借得期限为1年，金额为100元的贷款。银行对借款人的还款方式有两种方案：一、要求借款人在年末还本付息；二、要求借款人每季度末支付一次利息年末还本。试分析两种还款方式有何区别哪一种方案对借款人有利

4. 设9cf6dacb4ffa5908ac1862fc296cb176.png，按从小到大的顺序排列b8624db0be079acaeff0522658b63bfd.png

解：由

a5151ff81a56ed905079de19b2cea4d7.png c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png 183be2015500d2e041180ae48d97da0d.png

640f6681fba310cb8e76a90dc079e49a.png c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png e044c1c5ed55ebc36c02e9abb064afd0.png

86c1c233a9a48c04410f05fa479c068f.png c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png 3e20e5c2fbb1884094ad20f1822b293d.png

18db040a7352739f5ba0f0ceeba6fc50.png c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png efe6c36b86231ba9a64f3464ed513712.png

a77c0ab7e9bbeac5897dc748989fe315.png ， e0dad4bcf73b548fcd68137157dfd150.png

c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png 327649d60e7ce07fdb098c829dc4b6c4.png

5. 两项基金X,Y以相同的金额开始，且有：（1）基金X以利息强度5%计息；（2）基金Y以每半年计息一次的名义利率j计算；（3）第8年末，基金X中的金额是基金Y中的金额的倍。求j.

6. 已知年实际利率为8%，乙向银行贷款10,000元,期限为5年，计算下列三种还款方式中利息所占的额度：

1）贷款的本金及利息积累值在第五年末一次还清；

2）每年末支付贷款利息，第五年末归还本金；

3）贷款每年年末均衡偿还（即次用年金方式偿还）。

三种还款方式乙方支付的利息相同吗 请你说明原因

7.某人在前两年中，每半年初在银行存款1000元，后3年中，每季初在银行存款2000元，每月计息一次的年名义利率为12% 计算5年末代储户的存款积累值。

8. 期末付款先由1到7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png递增付款，然后再由47425da90092a0727c15c009fac9f866.png到1的递减付款形成的变额年金称为虹式年金，试求付款期利率为865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png的虹式年金的现值和终值。

解：现值为：

f5a39f5f8dd6b7c6c35fd0bfe1bf2486.png

2f44982c18a6a3fcdcee5acb34a068e6.png

8bbbd0b1e69c81e1a2fcd9438bdce00d.png

7d6f9a4dd0f4824a7f19472039a8b793.png

同理可证终值公式。

9. 固定养老保险计划：

责任：未退休时，每月初存入一定金额（养老保险金），具体方式：

25岁—29岁，月付200元，

30岁---39岁，月付300元，

40岁—49岁，月付500元，

50岁—59岁，月付1000元，

权益：从退休时（60岁），每月初领取44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png元退休金，一直领取20年。

问题：在给定年利率99035bf3fb59d55034e2bf7a62346542.png，分别计算从25，30，40，50岁参加养老保险，60岁以后月退休金为多少

查表可得：b9a7d31161f29fbb834fb353b56a311a.png，94dee92ac3388214cb85ee13214bcc0f.png，c4fde2a7c5ad66f3f4966c4fbe0fa5f6.png，4b5ae932ed0b257959ac9a1a5d6527f6.png，b47090dff400917c21994b76a665e5e9.png。

10．某人继承一笔遗产：从现在起每年初可得10000元。该继承人以10%年利率将以产收入存入银行，到第五年底，在领取第六年年金之前将遗产的权益转卖给他人，然后将前五年的存款收入取出并和转卖收入一并做一项年收益率为12%的投资项目。若每年底的投资回报是相同的，项目有效期为30年。求投资人每年的回报金额。

11． 考虑下列两种等价的期末年金：

A：首付6000元，然后每年减少100元，直到某年（k），然后保持一定付款的水平直到永远；

B：每年底固定付款5000元；

如果年利率为6%，试求k（近似整数）。

解：

方法一：价值等式：024cedf39eec335e49097ee39630ef39.png

6e275970ee70dbac5f8b924dc7ce1585.png

解得d2df62d19e19d2671af5bd68aad95ffc.png，查表得c8e303ef06ca88cb14c2eaad37730459.png

方法二：价值等式：c53abd23a54e530d86463d1f8259c158.png

注意到 8b1e82337be4dddc53ed85720a1fd7d5.png 解得1664800593eaffab0b01a61056fc8ed8.png查表得c8e303ef06ca88cb14c2eaad37730459.png

答：c8e303ef06ca88cb14c2eaad37730459.png。

12． 某人退休一次性获得退休金57cec4137b614c87cb4e24a3d003a3e0.png元，它将其中的一部分02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png用于投资回报率为31fd93d462961f7f183a87adb2bd978c.png的永久基金，另一部分用于投资回报率为363b122c528f54df4a0446b6bab05515.png的十年期的国债。已知他前十年的收入是后十年的两倍，试确定他投资于永久基金占总退休金的比例。

13． 某汽车销售商计划采取以下两种零售策略：

1） 若一次性付清车款，零售价格为2万元；或

2） 以年利率10%， 提供4年分期付款（按月付款）。

如果目前市场上，商业零售贷款月换算的年名义利率为12%，试分析两种零售策略那种对消费者更优惠

14． 十万元的投资每年底收回一万元，当不足一万元时将不足一万元的部分与最后一次的一万元一次收回。如果每半年接转一次利息的年名义利率为7%，试求收款次数和最后一次的收款金额。

15．考虑一个十年期的投资项目：第一年初投入者投入10000元，第二年初投入5000元，然后每年初只需投入维修费1000元。该项目期望从第六年底开始有收益：最初为8000元，以后每年递增1000元。用DCF法计算该投资项目的价值。特别如果贷款利率为10%，该项目是否有投资价值

16．某项10年期贷款，年利率为8%，如果还款额同时以年利率为7%在投资，求下列情况下的实际收益率：

1）到期一次还清；

2）每年还利息，到期还本金；

3）每年等额分期偿还。

17．某基金投资者：每年初投入一定本金，共投资10年。基金本身的年回报率为7%，年底支付。分别对再投资利率为5% 和8% 两种情况下，讨论投资者的实际收益率。

18．讨论下列模型假设下得再投资的实际收益率：

1）每年末（一个计息期）投资1单位资金，每年（一个计息期）的直接投资收益率为865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png；

2）投资的回报方式为：逐年（一个计息期）收回利息，结束时收回本金；

3）同时将每年的利息收入以再投资利率为363b122c528f54df4a0446b6bab05515.png进行再投资。

资金流程图如下：

19． 投资者购买以下五年期的金融产品：1）每年底得到1000元；2）每年的收入可按年利率4%再投资且当年收回利息。如果该投资者将每年的利息收入以年利率3%再投资，实际年收益率为4%。求该金融产品的购买价。

20．某投资者连续五年每年向基金存款1000元，年利率5%，同时利息收入可以年利率为4%投资。给出第十年底的累积余额表达式。

21．1万元的贷款计划20年分年度还清，每年底还款1000元。如果贷款方可以将每年的还款以年利率为5%投资，计算贷款方的实际收益率。

22．某活期存款账户年初余额为1000元，4月底存入500元，六月底和八月底分别提取200元和100元，年底余额为1236元，求该储户的年资本加权收益率。

23．某投资账户年初余额为10万元，5月1日的余额为万元，同时投资3万元，11月1日余额将为万元，同时提取万元，在下一年的1月1日又变为10万元。分别用资金加权和时间加权求投资收益率。

24．某基金由两个投资人，甲年初在基金中有资金1万元，年中又投入1万元，乙年初有2万元，上半年收益率为10%，下半年收益率为20%，利用投资组合法计算甲乙应分得的收益。

25．债券A，面值为7e08e2c5d332efeeac8f83ed18a6e782.png，收益率为46ab29890ca059291328f9f309ab56cc.png，无违约风险；

债券B，面值为7985acce73b92427b64b9ac9b9115909.png，收益率为89317f252d3e68fe65f171048c31636c.png，违约概率为83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png（a2ce2d0e19ea7ec82c10e480f8475435.png），如果违约发生则到期债券的价值为0，即债券B在到期时的价值为随机变量26f521fcd1d1321e56fba1b44e9c6989.png。

问题：在什么条件（7e08e2c5d332efeeac8f83ed18a6e782.png，7985acce73b92427b64b9ac9b9115909.png，83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png，46ab29890ca059291328f9f309ab56cc.png，89317f252d3e68fe65f171048c31636c.png满足什么关系）下，债券A和债券B对投资者来说有相同的期望收益

分析：要使两债券在到期时有相同的期望收益，两债券期末的期望本利和应相同，所以应有关系：8cabcff5f13c8c7c18249fbe824b9f1a.png

即：7d8ca688fde2856f6e94d32ab9bf4530.png

26．某按月摊还的债务，年实际利率为11%，如果第三次还款中的本金量为1000元，计算第33次还款中本金部分的金额。

27．某借款人借款2000元，年利率为10%，要求两年内还清。借款人以偿债基金方式还款：每半年向基金存款一次，而且存款利率为季度挂牌利率8%，求每半年应偿债基金的存款额。并构造偿还表。

28．假设一笔贷款期限为5年，贷款利率为10%，如果贷款人计划每年末的总付款额为：1000元、2000元、3000元、4000元和5000元。试分别用分期偿还法和偿债基金利率为8%的偿债基金法计算原始贷款本金。

基本概念：

1. 实际利率、单利法 、复利法、均衡利率、单位度量期上贴现6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png次贴现值的名义贴现率、单位度量期上结转6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png次利息的名义利率、实际贴现率、标准年金、变额年金、永续年金、年金现值、永续年金的现值、年金终值、变动利率年金、支付利率原则、 经历利率原则、利息结转周期、支付周期、投资项目的收益率、内涵报酬率、

2. 利率水平是受债券或货币的供求关系影响，决定利率水平的两种理论模型：可贷资金模型和流动性偏好模型。

3. 一般情况下，在其他条件不变的情况下，收益率曲线随期限变化的规律是：期限越长，收益率越大，收益率是关于期限的单调增函数，或者说：长期利率大于短期利率。

4. 常见的用于解释利率期限结构的理论模型有 纯粹预期假设、流动性偏好假设、市场分割假设、区间（完全）偏好假设等。

5. 影响债券供给曲线的因素：经济周期、预期通货膨胀率、政府活动规律。

6. 影响债券需求曲线的主要因素有：经济周期、价格风险、流动性、预期利率、预期通货膨胀率。

7. 内涵报酬率可以用来对投资项目进行评价：当内涵报酬率大于投资者预先设定的利率时，投资项目可行。

8. 投资收益率的计算方法主要有：币值加权平均法和时间加权平均法。

9. 投资收益的分配方法主要有：投资额法（投资组合法）和投资年法

10. 当债券存在违约风险时，对风险的补偿方式有：提高收益率和降低发行价。

11. 按照利息的支付方式不同债券可分为：零息债券和附息债券。影响债券价格的主要因素有：债券的到期时间、债券的息票率、可赎回条款、通货膨胀调整、税收待遇、债券的流动性、违约风险。

12. 债券的发行方式有：溢价发行、折价发行、平价发行。

2 已知：1） c7daf49a500e95deffa5d8170eed9792.png 求5da850d5942865dff2d5576d6a7cd00b.png

2） 18badef0a114095f2236e6272c93ec6d.png 求5da850d5942865dff2d5576d6a7cd00b.png

由于50aeb961a05dd0c0ed0d93b26cc1d4f7.png

由于139e07238f3b0ffcd36e6bbf265f66ee.png

4 设9cf6dacb4ffa5908ac1862fc296cb176.png，按从小到大的顺序排列b8624db0be079acaeff0522658b63bfd.png

解：由

a5151ff81a56ed905079de19b2cea4d7.png c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png 183be2015500d2e041180ae48d97da0d.png

640f6681fba310cb8e76a90dc079e49a.png c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png e044c1c5ed55ebc36c02e9abb064afd0.png

86c1c233a9a48c04410f05fa479c068f.png c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png 3e20e5c2fbb1884094ad20f1822b293d.png

18db040a7352739f5ba0f0ceeba6fc50.png c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png efe6c36b86231ba9a64f3464ed513712.png

669feca033bb551bfd850a8e319a3b50.png关于6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png单调减，而f163f2586dba180893f333eeded03fa2.png关于6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png单调增，又由于 e0dad4bcf73b548fcd68137157dfd150.png

c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png 327649d60e7ce07fdb098c829dc4b6c4.png

10. 期末付款先由1到7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png递增付款，然后再由47425da90092a0727c15c009fac9f866.png到1的递减付款形成的变额年金称为虹式年金，试求付款期利率为865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png的虹式年金的现值和终值。

解：现值为：

f5a39f5f8dd6b7c6c35fd0bfe1bf2486.png

2f44982c18a6a3fcdcee5acb34a068e6.png

8bbbd0b1e69c81e1a2fcd9438bdce00d.png

7d6f9a4dd0f4824a7f19472039a8b793.png

同理可证终值公式。

11． 考虑下列两种等价的期末年金：

A：首付6000元，然后每年减少100元，直到某年（k），然后保持一定付款的水平直到永远；

B：每年底固定付款5000元；

如果年利率为6%，试求k（近似整数）。

解：

方法一：价值等式：024cedf39eec335e49097ee39630ef39.png

6e275970ee70dbac5f8b924dc7ce1585.png

解得d2df62d19e19d2671af5bd68aad95ffc.png，查表得c8e303ef06ca88cb14c2eaad37730459.png

方法二：价值等式：c53abd23a54e530d86463d1f8259c158.png

注意到 8b1e82337be4dddc53ed85720a1fd7d5.png 解得1664800593eaffab0b01a61056fc8ed8.png 查表得c8e303ef06ca88cb14c2eaad37730459.png

答：c8e303ef06ca88cb14c2eaad37730459.png。

5 两项基金X,Y以相同的金额开始，且有：（1）基金X以利息强度5%计息；（2）基金Y以每半年计息一次的名义利率j计算；（3）第8年末，基金X中的金额是基金Y中的金额的倍。求j.

解：设两基金开始金额为单位1。

a) 第八年末基金X的累计终值为：ab273c7a2bd890c9b1553fe4888a6edb.png

b) 第八年末基金Y的累计终值为：7079c9805bb1c53193adcd479a40d1a5.png

由6319c399d8abb3fed5a3b4c912da61e3.png，541f195415ba6b6118d4dc1d50aced7c.png

解方程求出363b122c528f54df4a0446b6bab05515.png即可。

6 已知年实际利率为8%，乙向银行贷款10,000元,期限为5年，计算下列三种还款方式中利息所占的额度：

1）贷款的本金及利息积累值在第五年末一次还清；

2）每年末支付贷款利息，第五年末归还本金；

3）贷款每年年末均衡偿还（即次用年金方式偿还）。

三种还款方式乙方支付的利息相同吗 请你说明原因

解：本题从投资者的还款角度来考虑，不考虑还款人的机会成本。并假定贷款利率和年实际利率相同。

1）一次还清，期末累计值为：3d675670d8d8f1d4daacf6ec6cd2c68c.png

利息金额为：4adefc803bdeb3836a688042d9bdb15c.png元

2）每年支付的贷款利息为：100001677ae50dcf2dd587fb8fbd2f079dcfa.png元

5年支付的总利息金额：4000元

3）每次偿还金额：27ce68e0a673360b82711651249f20d2.png

总的还款金额a8e1287a0d1d94b5d970b51a5ffbd7b2.png=

利息金额为：元

为什么会不一样呢

28．假设一笔贷款期限为5年，贷款利率为10%，如果贷款人计划每年末的总付款额为：1000元、2000元、3000元、4000元和5000元。试分别用分期偿还法和偿债基金利率为8%的偿债基金法计算原始贷款本金。

解：分期偿还法计算的还款金额：

9d34e41167ddc37a5c19cfd5d519408f.png

0f6f27b801d10bb03d53937eba3613e4.png

3fa0c48cd9dccadedcb1ff37563c8a73.png（元）

偿债基金法：假设原始贷款额为8ea3e3a86081c246f7588d7830c9a974.png，则每年的利息金额为670e15db6c32de7443c3ac5d1a4a077a.png，每年向偿债基金的存款额为66170e0b10de09b8aae9a4989234b4ca.png，这些储蓄额按偿债基金利率363b122c528f54df4a0446b6bab05515.png的累积值应为原始贷款本金，所以有

302a384781d7342525b15b6a373466aa.png

e9ccb93841209c5c157b433bf5af5c54.png，d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，代入解得： 89e895a25a94a9645e2f45a0915893d8.png（元）

但是上述计算有问题，因为贷款人第一年支付的总金额（1000元）不足以偿还当期的利息金额（元）这是需要将不足支付利息的部分（=）按10% 的贷款利率本金化。相当于在第一年末还过1000元后，本金额又增加了元。

假设原始贷款额为b2d51142f7784b4b1e06359ce7ae1858.png，第一年末还1000元后的贷款净额为：

f8243555ae470eec94f1a17e6864f07a.png，所以以后4年，每年向偿债基金的存款额已分别为：

15dda84489f30f3184afa8bfa703457b.png，89149780cf6884f9114aa00081b4c2fe.png，651a1c3737ce07f85fb3a4f1790d6c2c.png，145a159fc6749cf1c4b895483223e502.png，而这些存款案偿债基金利率363b122c528f54df4a0446b6bab05515.png积累的期末值应为d748e209c28a70d71adff098dde47f2c.png，即：fb7ce7a7b1cd048312954cd64939de2e.png

e9ccb93841209c5c157b433bf5af5c54.png，d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，代入解得：e6fb898881bdf23b155a82a48d0598bf.png（元）

所以 d719f444786c63d97c85f221eaa87087.png元。

7. 某人借款1000元，年复利率为9%，他准备利用该资金购买一张3年期，面值为1000元的国库券，每年末按息票率为8%支付利息，第三年末除支付80元利息外同时偿付1000元的债券面值，如果该债券发行价为900元，请问他做这项投资是否合适

解：设在券的收益率为865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png 则有

7bc5e7e0850a11eec41c839e5c2a34a1.png

求出865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png与借款利率9%比较。大于9%可行，小于9%不可行。

19． 投资者购买以下五年期的金融产品：1）每年底得到1000元；2）每年的收入可按年利率4%再投资且当年收回利息。如果该投资者将每年的利息收入以年利率3%再投资，实际年收益率为4%。求该金融产品的购买价。

解：资金时间图：

设该金融产品的购买价为44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png，则有

1e1471830a7404ff736797923e619cf9.png

解的：340e08af6865ef461e9778ac5f7d5433.png

答：金融产品的购买价为元。

20．某投资者连续五年每年向基金存款1000元，年利率5%，同时利息收入可以年利率为4%投资。给出第十年底的累积余额表达式。

解：资金时间图为：

十年低的累计终值为：

001e8531447862a4835b56881b2388d6.png+8fa123750827bdbd24e9293f0c3b6167.png+65b85b5cb0794ce475e8b9438c2f2034.png+6353e434effc2f434945ed779f8221be.png+7e87b062374e72f5ec5e6c0ad88e27e9.png

=5000+50f7b29f7142ee23f6803e9163a7cbda63.png

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