一元三次方程的解法

一元三次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为3的整式方程叫做一元三次方程，一元三次方程的一般形式是ax3+bx2+cx+d=0（a，b，c，d∈R且a≠0），下面来讨论一下一元三次方程求解的问题。

已知一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0，求方程的根。

解：令b3de6d4db7a9cd23cba51a62de479ead.png，得cbd8e02b1ebf4b385bb7c109e7fe7203.png①

令f330c04d3076db872cd4b8beac3dc80c.png，得52eebe985b5acaa933490c20fa1faa8d.png②

经过换元，将原方程化为一元三次方程的特殊形式（35644541895301b76e94c22eec85c8b6.png），现在求方程②的根，

令y=u+v，两边立方得bf88bb1b6bc066ebeb0b74555ac4b161.png

9c1a9757667c41b3e8bf822f248beeb2.png

由②③式可得，10eff44eac3df72c7abf4dc28fe130f9.png

由④⑤式可知u3和v3为方程54629058d7d76a20c6cf195804f1d8e5.png的两根，

a511a8628de8fa1ef1eb44c21a0a09a8.png

21911039c870f57ee189f3f0c5166c0f.png

令9167a2534fd6863ede97ae2143bf320b.png，则8132c76f41af48ce3fc35e26e136b0df.png，a289ae3bd27968376a486fa3a86c5c6c.png为1的立方根，ec2d7c026d88c5a09c634c631b24b6d0.png，848f1423352ca27dfb8feb438afa8187.png

则cbd8e02b1ebf4b385bb7c109e7fe7203.png的根表示为

bbd162bc464496af308f9e392c111592.png

由⑥可知，

1 当7d0b91f51041d54dd68a8fb58e7cb5b9.png时，方程有1个实根和2个共轭复根；

2 当9f312c94311e2fbf9d72c5afd3c0e8ee.png时，a，b是相等的两个实数，方程有3个实根，其中有1个二重实根；

3 当cd34843faf468084897fc7d3470c1be8.png时，方程有3个不相等实根。

以上解法为在卡尔丹公式基础上进一步研究得出，常用的一元三次方程解法除卡尔丹公式法外，还有盛金公式法。

下面通过几个例题具体的使用卡尔丹公式进行解题。

例题1：解方程x3-6x2+10x-8=0

解：令b3de6d4db7a9cd23cba51a62de479ead.png=y+2，得y3-2y-4=0

f236bd7d864335cdbaa710b82cac577f.png

5e93a9a98743d96affc8a06951ce2d8a.png

39afae525942c542e603857dd3c29546.png

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png原方程的解为b4f7315e450651ea34c333a0b93c9a9e.png

例题2：解方程x3-12x+16=0

解：226a04f3d628f9a386e21e9aac90b50c.png

8eba442fe4b1174c9bfc7bba8a5faa63.png

8e26f63ffc725b13b289b48c03fac5b8.png

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png原方程的解为66262e033014a83c978191ba0bfea7b4.png

例题3：解方程x3-6x-4=0

解：4ffe4837c411daeaf9805c5a1898c592.png

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png方程有3个不相等实根

7191fc0ffb23e527348a253eb1f72726.png

令765189afb260ce3ed81c38472091c285.png

1191ed2f53012974a19bd23cbe67cea3.png

4bba33fe0ec5ef06c3680ae1c7e27ef3.png

a89cd3b1f1d1e9a82ea2dfaa11038564.png

57a805346eaf3074b78255eb9727d2e7.png

1f1698e824c5762bbba3b2426df05664.png

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png原方程的解为098b1fdb061eb2e3d9d39f71f201b30b.png

以上三个例题分别为方程根的三种情况，解一元三次方程的通法即先将方程化为特殊形式，再判断789c25f5ee3264e25aabf12fdf9bb2ad.png的值属于哪一种情况，根据公式求解即可。

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