深圳杯数学建模A题

答卷编号（参赛学校填写）：

答卷编号（竞赛组委会填写）：

论文题目： A题：深圳人口与医疗需求预测

组 别：本科生

参赛学校：东北电力大学

报名序号：（可以不填）

参赛队员信息(必填)：

答卷编号（竞赛组委会填写）：

评阅情况（省赛评阅专家填写）：

省赛评阅1：

省赛评阅2：

省赛评阅3：

省赛评阅4：

省赛评阅5：

深圳市人口与医疗需求预测模型

摘 要

本论文针对所提出的“深圳人口与医疗需求预测”的问题，根据所给定的深圳市现有数据及其相关查阅参考资料建立起深圳具体情况的数学模型，预测深圳未来的人口增长和医疗需求。

首先，对深圳市常住人口数据进行分析，用MATLAB的scatter散点图描点可以大致看出深圳市常住人口（R）与时间（T）呈线性增长变化，于是通过多项式曲线拟合构建一阶深圳市常住人口与时间的线性方程模型。同样从非常住人口数据中初步估计模型，根据实际数据情况，对于非常住人口的变化特征，我们采用了灰色模型（Grey Model，GM），使用MATLAB对灰色模型GM（1，1）编程得到预测值，残差，级比偏差等相关数据结果。由于初步编程得出的预测模型为其累加后的方程，通过生成序列预测值及模型还原值之间的关系及之前所求的预测值模型易求的非常住人口变化特征模型。而对于之后的人口结构特征模型及病床床位需求模型均采用多项式二阶及三阶曲线拟合，所得其模型方程。

考虑到问题研究的实用性，我们选取了肺癌与胃癌作为深圳市疾病研究的对象，我们通过查找肺癌与胃癌在深圳市不同年龄段的发病率，这两种病在市级与区级医院的住院天数以及这两种级别的医院的平均年床开放日数，利用已知的病床需求函数，做出了针对深圳市不同级别医疗机构的函数表达式，通过函数表达式我们可以很轻松的看出深圳市不同类型医疗机构的床位需求。

最后以我们的模型为依托去测试深圳市各年的相关数据，都表现出来比较好的吻合性，它充分证明了我们模型的正确性。但是，由于时间仓促，模型仍有不完善地方，而且有其局限性（在较长时间内误差较大），随着时间推移，深圳外来人口比例将更低，老龄化趋势将更加显著，这显然会影响深圳市各级机构床位需求的预测，我们希望可以引入包含年龄结构的函数对其修正，而这将会成为我们以后的一个研究方向。

关键词：多项式曲线拟合、灰色预测模型、床位需求方程、人口与医疗

1．问题的重述

深圳是我国经济发展最快的城市之一，30多年来，卫生事业取得了长足发展，形成了市、区及社区医疗服务系统，较好地解决了现有人口的就医问题。

从结构来看，深圳人口的显著特点是流动人口远远超过户籍人口，且年轻人口占绝对优势。深圳流动人口主要是从事第二、三产业的企业一线工人和商业服务业人员。年轻人身体强壮，发病较少，因此深圳目前人均医疗设施虽然低于全国类似城市平均水平，但仍能满足现有人口的就医需求。然而，随着时间推移和政策的调整，深圳老年人口比例会逐渐增加，产业结构的变化也会影响外来务工人员的数量。这些都可能导致深圳市未来的医疗需求与现在有较大的差异。

未来的医疗需求与人口结构、数量和经济发展等因素相关，合理预测能使医疗设施建设正确匹配未来人口健康保障需求，是保证深圳社会经济可持续发展的重要条件。然而，现有人口社会发展模型在面对深圳情况时，却难以满足人口和医疗预测的要求。为了解决此问题，请根据深圳人口发展变化态势以及全社会医疗卫生资源投入情况（医疗设施、医护人员结构等方面）收集数据、建立针对深圳具体情况的数学模型，预测深圳未来的人口增长和医疗需求，解决下面几个问题：

1.分析深圳近十年常住人口、非常住人口变化特征，预测未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势，以此为基础预测未来全市和各区医疗床位需求；

2.根据深圳市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据，选择预测几种病（如：肺癌及其他恶性肿瘤、心肌梗塞、脑血管病、高血压、糖尿病、小儿肺炎、分娩等）在不同类型的医疗机构就医的床位需求。

2.问题的分析

对于问题一，由于深圳市的流动人口多，但户籍人口较少，针对这个情况，我们选取人口结构中的主要矛盾，即常住人口与非常住人口（即非户籍人口）进行研究。我们首先分析了深圳市近十年的常住人口，应用MATLAB的多项式曲线拟合预测深圳市未来十年的常住人口。我们用灰色模型对流动人口进行分析，通过拟合结果研究其非户籍人口变化。而对于人口结构，我们则用非户籍人口与常住人口的比例来表示。床位需求主要由各年龄段的人数以及与其相对应的住院率相对应，因此我们可以先分析出深圳市的年龄结构，然后查找与其相对应的住院率数据。

对于问题二，我们可以利用第一问得出的常住人口变化函数与人口年龄结构得出未来某一年深圳市的某一年龄段的人数。考虑到研究的实用性与可行性，我们可以以肺癌和胃癌作为研究对象，通过肺癌和胃癌的住院率与发病率，得出住院人数。同时我们需要考虑到不同类型的医疗机构的住院天数受医院设备、人员水平等因素影响，通过查找资料，我们可以得出不同类型的医疗机构治疗同一种病的住院天数。

3．模型的假设与符号说明

3.1模型的假设

1.针对研究的问题，每个年龄段发病率住院率保持不变；

2.抽样调查结果具有较高准确性；

3.深圳市各区人口所占深圳市总人口比例保持不变；

4.没有大的自然灾害等急剧影响深圳市人口结构的事件发生；

5.深圳市现行的各种人口政策保持不变；

6.深圳市各年龄段所占人数比例不变。

3.2符号说明

4.模型的准备

1.多项式曲线拟合及灰色模型知识的学习；

2.对所有给定的数据整合与分析；

3.根据所分析假设的模型所额外需求的变量查找其相关数据库；

4.查找资料，得知近几年的全市病床总数，不同年龄段肺癌和胃癌发病率

5．模型的建立与求解

5.1 问题1的模型建立与求解

5.1.1 最近十年常住人口及未来十年发展情况

由于常住人口数量受历史影响较大，不易发生较大变化，且在数据处理中发现了较强的线性关系，我们采用了一元线性拟合来简化模型。用近十年即2001至2010年的数量作为样本其数据[1]如下：

表1 深圳市2001~2010年年末常住人口数

作数据的散点图有：

图1 深圳市2001~2010年年末常住人口数

发现常住人口数几乎成直线上升。因此，可以用一次多项式

(1)

进行拟合，未来十年的预测结果为：

表2 预测深圳市2011~2020年年末常住人口数

图2 预测2011~2020年深圳市常住人口

5.1.2 非常住人口及未来十年发展情况

5.1.2.1模型的概述

非常住人口受各方面因素影响较大，采用灰色模型进行拟合。我们采用灰色GM(1,1)是因为灰色模型适用于小样本、贫信息、内在规律未充分外露的系统，按适当办法处理原始数据后得到规律性较强的生成函数。本题给出的常住人口、非常住人口数据受到难以区分的多重因素影响，且数据量较小，适用于灰色模型[2]。

灰色预测模型就是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM(1,1)模型。它是基于随机的原始时间序列，经按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近。经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间序列呈指数变化规律。因此，当原始时间序列隐含着指数变化规律时，灰色模型GM(1,1)的预测是非常成功的。

GM(1,1)的定义

设为n个元素的数列，的AGO生成数列则，其中

（2）

则定义的灰导数为

(3)

令为数列的紧邻均值数列，即

， (4)

则.于是定义GM(1,1)灰微分方程模型为

(5)

即

(6)

其中称为灰导数，称为发展系数，称为白化背景值，称为灰作用量.

将时刻代入(a)式中有

(7)

令，，，称为数据向量，为数据矩阵，为参数向量，则GM(1,1)模型可以表示为矩阵方程.

由最小二乘法可以求得

(8)

GM(1,1)的白化型

对于GM(1,1)的灰微分方程（7），如果将的时刻视为连续的变量，则数列就可以视为时间的函数，记为，并让灰导数对应于导数，背景值对应于.于是得到GM(1,1)的灰微分方程对应的白微分方程为

(9)

称之为GM(1,1)的白化型.

5.1.2.2 模型的建立

此预测模型是拟合参数模型，通过原始数据累加生成，得到规律性较强的序列，用函数曲线拟合得到预测值.

建立过程如下：

1) 设原始数据序列有n个观察值，，通过累加生成新序列，利用新生成的序列拟合函数曲线.

2) 利用拟合出的函数求出新生序列的预测值序列.

3) 利用累减还原，得到灰色预测值序列（共n+m个，m个未来预测值）.将序列分为和，其中反映的确定性增长趋势，反映的平稳周期变化趋势.

4) 对序列的确定增长趋势进行预测.

5.1.2.2 模型的求解

整理得深圳市2001年~2010年非常住人口数：

表3 深圳市2001~2010年年末非常住人口数

根据上述数据建立含有10个观察值的原始数据序列：

使用Matlab软件对进行一次累加，得到新数列。

表4 GM(1,1)算法拟合值及误差

拟合函数： (10)

由残差、相对误差、级比偏差可知此模型精度较高，可用于预测2011~2020年非常住人口数。

表5 2011年~2020年非常住人口预测值

图3 预测2011~2020年深圳市非常住人口

5.1.3 人口结构的发展趋势

对于人口结构，我们用非户籍人口与常住人口的比例来表示。

表6 深圳市2001~2010年年末人口结构

其散点图为：

图4 深圳市2001~2010年年末人口结构

图5 预测深圳市2011~2020年年末人口结构

表7 预测深圳市2011~2020年年末人口结构

通过MATLAB进行二阶拟合，得到的人口变化特征模型为：

（11）

通过上图分析我们可知人口结构在短时间内是不存在大规模的变化，因此未来10年该市的人口结构将大致不变。

5.1.4 全市医疗床位的需求

5.1.4.1 各年龄段所占人数比

通过附件计算我们得出各年龄段所人数如下表：

表8 深圳市各年龄段人数

图6 深圳市各年龄段人数所占比例

通过表和图我们可以看到，该市人口老龄化的加快。而人口老龄化的到来将导致该市人口的患病率激增，从而导致床位的快速增长。

5.1.4.2 全市医疗床位的需求：

通过查找资料，我们得知近几年的全市病床总数[3]：

表9 深圳市各年病床总数

利用MALTAB数学软件对已知数据建立三次拟合模型模型方程分别为 （12）

通过编程我们得出如下图形：

图7：预测深圳市各年病床总数

表10 预测深圳市各年病床总数

5.2 问题2的模型建立与求解

考虑到模型的实用情况，我们选取了在人群中发病率较高的肺癌和胃癌作为预测对象。

假设深圳市各年龄段所占比例不变，依2010年为基准，其具体比值如下：

表11 不同年龄段所占总人口比值

查阅文献可得不同年龄段肺癌和胃癌发病率如下表：

表12 不同年龄段肺癌发病率

表13 不同年龄段胃癌发病率

针对以上数据，由第一问得出深圳未来人口变化情况为。设为肺癌患病人数，为胃癌患病人数。因为某种疾病的患病人数等于该所有年龄段的人数与它们所对应的患病率乘积之和，则由图5的人口年龄结构得每种疾病的患病人数如下（单位：万）：

（13）

（14）

查阅资料，不同疾病在不同类型的医院的住院天数如表十一所示：

表14 肺癌和胃癌在不同级别医院住院天数

则由上表可知，肺癌在市级医院平均住院天数为56天，在区级医院平均住院天数为85天；胃癌在市级医院平均住院天数为50天，在区级医院平均住院天数为82天[4, 5]。

设肺癌在市级医院的病床需求为，在区级医院的病床需求为，则由第一问得知，理想的病床需求为：

则 (注：查阅资料知大城市年床开放日数为317天，区级则为237天，C为深圳市得肺癌的人数），,则（注：E单位万人，为年份，结果取整）

（15）

（16）

表15 预测肺癌在市级医院的病床需求

表16 预测胃癌在市级医院的病床需求

设肺癌在区级医院的病床需求为，胃癌在区级医院的病床需求为，则同理可得，，，则 (注：F单位万人，为年份，结果取整）

（17）

（18）

表17 预测肺癌在区级医院的病床需求

表18 预测胃癌在区级医院的病床需求

6．模型结果的分析与检验

1.模型建造中没有考虑到年龄结构的变化，而深圳市年龄结构是趋向老龄化方向的，老年人体质弱，易生病住院，因此实际得出的床位数小于实际需求的床位数。

2.模型没有体现出深圳不同区的人口变化函数，而只是假设其人口总量对深圳总 人口量保持不变，实际上每个区的发展不同，人口变化也不同。

3.本模型只适应于预测短期，不适应于长期(灰色模型G(1，1)只能用于短期的数据的估计)。

4.本模型还是比较合理的， 相比其它同类模型而言， 本模型立意新颖， 结构简单， 易于理解，同时具有很强的操作性，值得政府部门参考。

5.本模型巧妙的忽略了问题的次要矛盾，即年龄结构，各区所占比例，虽然丧失 了一些精确度，但是相对于其它繁琐的模型而言，还是利大于弊的。

6.从提高准确性与普遍性的角度考虑，还可以引入关于年龄结构的拟合函数以及 各区独立的人口发展函数。

7．模型的推广与改进方向

由于我们的模型是建立在各种假设之上，我们所得的各种结果与实际存在不可避免的差距。应该把深圳市的产业结构，资源容纳，以及经济危机所引起的人口数量变化考虑进去，用层次分析法考虑各个因素对人口数量带来的不同程度的影响，从而使数量预测更加接近真实值更精确。

8．模型的优缺点

1.模型建造中没有考虑到年龄结构的变化，而深圳市年龄结构是趋向老龄化方向的，老年人体质弱，易生病住院，因此实际得出的床位数小于实际需求的床位数。

2.模型没有体现出深圳不同区的人口变化函数，而只是假设其人口总量对深圳总人口量保持不变，实际上每个区的发展不同，人口变化也不同。

3.本模型只适应于预测短期，不适应于长期。

4.本模型还是比较合理的，相比其它同类模型而言，本模型立意新颖，结构简单，易于理解，同时具有很强的操作性，值得政府部门参考。

5.本模型巧妙的忽略了问题的次要矛盾，即年龄结构，各区所占比例，虽然丧失了一些精确度，但是相对于其它繁琐的模型而言，还是利大于弊的

6.从提高准确性与普遍性的角度考虑，还可以引入关于年龄结构的拟合函数以及各区独立的人口发展函数。

参考文献

[1]<HTTP://WWW.SZHPFPC.GOV.CN/VIEW?FID=VIEW&ID=1&OID=MENUNEWS&NTYP=A10B032>.

[2] 唐丽芳、贾冬青、孟庆鹏. 《用MATLAB实现灰色预测GM(1,1)模型》 [J]. 沧州师范专科学校学报, 2008, 24:35.

[3] 陈兴宝、郑恩群、陈洁. 上海市不同级别医院平均住院天数分析 [J]. 上海医科大学,

[4] 饶克勤、陈育德. 关于制定卫生资源配置标准的几点建议 [J]. 1999年03期39页.

[5] 饶克勤、陈育德. 关于制定卫生资源配置标准的几点建议 [J]. 1999年03期40页.

附 件

1、深圳市近十年常住人口变化特征编程：

t=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]

r=[724.57 746.62 778.27 800.8 827.75 871.1 912.37 954.28 995.01 1037.2]

[xishu,wucha]=polyfit(t,r,1)

subplot(121)

plot(t,r,'b*')

r1=polyval(xishu,t)

subplot(122)

plot(t,r1,'b*-')

结果：

t =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

r =

1.0e+003 *

0.7246 0.7466 0.7783 0.8008 0.8277 0.8711 0.9124 0.9543 0.9950 1.0372

xishu =

35.2152 671.1133

wucha =

R: [2x2 double]

df: 8

normr: 35.5472

r1 =

1.0e+003 *

0.7063 0.7415 0.7768 0.8120 0.8472 0.8824 0.9176 0.9528 0.9881 1.0233

人口预测预测编程：

p=[35.2152 671.1133]

t=[11 12 13 14 15 16 17 18 19 20]

x=polyval(p,t)

plot(t,x,'b*-')

结果：p =

35.2152 671.1133

t =

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

x =

1.0e+003 *

1.0585 1.0937 1.1289 1.1641 1.1993 1.2346 1.2698 1.3050 1.3402 1.3754

2深圳市近十年非常住人口变化特征编程：

（1）灰色预测模型

clc,clear

x0=[724.57 746.62 778.27 800.8 827.75 871.1 912.37 954.28 995.01 1037.2]'

n=length(x0)

lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n)

range=min(max(lamda'))

x1=cumsum(x0)

B=[-0.5*(x1(1:n-1)+x1(2:n)),ones(n-1,1)]

Y=x0(2:n)

u=B\Y

x=dsolve('Dx+a*x=b','x(0)=x0')

x=subs(x,{'a','b','x0'},{u(1),u(2),x0(1)})

yuce1=subs(x,'t',[0:n-1])

y=vpa(x,6)

yuce=[x0(1),diff(yuce1)]

epsilon=x0'-yuce

delta=abs(epsilon./x0')

rho=1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda'

编程结果：

x0 =1.0e+003 *

0.7246 0.7466 0.7783 0.8008 0.8277 0.8711 0.9124 0.9543 0.9950 1.0372

n = 10

lamda =0.9705 0.9593 0.9719 0.9674 0.9502 0.9548 0.9561 0.9591 0.9593

range =0.9719

x1 = 1.0e+003 *

0.7246

1.4712

2.2495

3.0503

3.8780

4.7491

5.6615

6.6158

7.6108

8.6480

B =

1.0e+003 *

-1.0979 0.0010

-1.8603 0.0010

-2.6499 0.0010

-3.4641 0.0010

-4.3136 0.0010

-5.2053 0.0010

-6.1386 0.0010

-7.1133 0.0010

-8.1294 0.0010

Y =

1.0e+003 *

0.7466

0.7783

0.8008

0.8277

0.8711

0.9124

0.9543

0.9950

1.0372

u =

-0.0420

693.9403

x =

b/a+exp(-a*t)*(-b+x0*a)/a

x =

-100007334214977142784/6049594663541889+10439068902033968929673/604959466354188900*exp(6049594663541889/144115188075855872*t)

yuce1 =

1.0e+003 *

0.7246 1.4643 2.2358 3.0404 3.8795 4.7545 5.6670 6.6187 7.6111 8.6462

y =

-16531.2+17255.8*exp(.419775e-1*t)

yuce =

1.0e+003 *

0.7246 0.7398 0.7715 0.8046 0.8391 0.8750 0.9125 0.9517 0.9925 1.0350

epsilon =

0 6.8458 6.7809 -3.7636 -11.3061 -3.9272 -0.1705 2.6179 2.5492 2.1914

delta =

0 0.0092 0.0087 0.0047 0.0137 0.0045 0.0002 0.0027 0.0026 0.0021

rho =

-0.0121 -0.0005 -0.0135 -0.0089 0.0090 0.0043 0.0029 -0.0002 -0.0005

（2）由上得出的非常住人口变化函数编程：

function y=g(t)

a=-100007334214977142784/6049594663541889

b=10439068902033968929673/604959466354188900

c=6049594663541889/144115188075855872

g(t)=b*(exp(c*t)-exp(c*(t-1)))

t=[1:1:10]

g(t)

plot(t,g(t))

结果：t =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ans =

1.0e+003 *

0.7094 0.7398 0.7715 0.8046 0.8391 0.8750 0.9125 0.9517 0.9925 1.0350

g =

1.0e+003 *

0.7094 0.7398 0.7715 0.8046 0.8391 0.8750 0.9125 0.9517 0.9925 1.0350

预测编程：

t=[10:1:20]

g(t)

plot(t,g(t))

结果：

t =

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

a =

-1.6531e+004

b =

1.7256e+004

c =

0.0420

y =

1.0e+003 *

Columns 1 through 10

1.0794 1.1257 1.1739 1.2242 1.2767 1.3315 1.3885 1.4481 1.5101 1.5749

Column 11

1.6424

ans =

1.0e+003 *

Columns 1 through 10

1.0794 1.1257 1.1739 1.2242 1.2767 1.3315 1.3885 1.4481 1.5101 1.5749

Column 11

1.6424

a =

-1.6531e+004

b =

1.7256e+004

c =

0.0420

y =

1.0e+003 *

Columns 1 through 10

1.0794 1.1257 1.1739 1.2242 1.2767 1.3315 1.3885 1.4481 1.5101 1.5749

Column 11

3、非户籍人口与常住人口的函数比值作为人口结构的发展趋势编程：

fc=[592.53 607.17 627.34 635.67 645.82 674.27 699.99 726.21 753.56 786.17]

c=[724.57 746.62 778.27 800.8 827.75 871.1 912.37 954.28 995.01 1037.2]

u=fc./c

t=[1:10]

[xishu,wucha]=polyfit(t,u,2)

subplot(121)

plot(t,u,'b*')

r1=polyval(xishu,t)

subplot(122)

plot(t,r1,'b*-')

结果：

fc =

592.5300 607.1700 627.3400 635.6700 645.8200 674.2700 699.9900 726.2100 753.5600 786.1700

c =

1.0e+003 *

0.7246 0.7466 0.7783 0.8008 0.8277 0.8711 0.9124 0.9543 0.9950 1.0372

u =

0.8178 0.8132 0.8061 0.7938 0.7802 0.7740 0.7672 0.7610 0.7573 0.7580

t =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

xishu =

0.0005 -0.0129 0.8349

wucha =

R: [3x3 double]

df: 7

normr: 0.0094

r1 =

0.8225 0.8111 0.8007 0.7912 0.7827 0.7752 0.7687 0.7631 0.7585 0.7549

预测程序：

p=[ 0.0005 -0.0129 0.8349]

t=[11 12 13 14 15 16 17 18 19 20]

x=polyval(p,t)

plot(t,x,'b*-')

结果：p =

0.0005 -0.0129 0.8349

t =

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

x =

0.7521 0.7517 0.7523 0.7539 0.7565 0.7601 0.7647 0.7703

4.

床位需求：

t=[1 2 3 4 5 6 7 8 9]

s=[11159 12404 13588 15069 16824 17553 18086 19913 21399]

[xishu,wucha]=polyfit(t,s,3)

subplot(121)

plot(t,s,'b*')

s1=polyval(xishu,t)

subplot(122)

plot(t,s1,'b*-')

t1=[11 12 13 14 15 16 17 18 19]

s2=polyval(xishu,t1)

plot(t1,s2,'b*-')

结果：

t =

1 2 3 4 5 6 7 8 9

s =

11159 12404 13588 15069 16824 17553 18086 19913 21399

xishu =

1.0e+003 *

0.0084 -0.1330 1.8511 9.2897

wucha =

R: [4x4 double]

df: 5

normr: 853.3093

s1 =

1.0e+004 *

1.1016 1.2527 1.3873 1.5103 1.6269 1.7421 1.8609 1.9883 2.1294

t1 =

11 12 13 14 15 16 17 18 19

s2 =

1.0e+004 *

2.4727 2.6850 2.9311 3.2161 3.5449 3.9226 4.3543 4.8450 5.3996

预测：

p=[8.4 -133 1851.1 9289.7]

t=[10 12 13 14 15 16 17 18 19 20]

x=polyval(p,t)

plot(t,x,'b*-')

结果：

p =

1.0e+003 *

0.0084 -0.1330 1.8511 9.2897

t =

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

x =

1.0e+004 *

2.2901 2.6866 2.9332 3.2187 3.5481 3.9266 4.3591 4.8506 5.4063 6.0312

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/3986f7fa195f312b3169a5c3.html