2013中考数学精选例题解析：函数与一元二次方程

2 013中考数学精选例题解析

函数与一元二次方程

知识考点：

1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系；

2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与轴的交点情况；

3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。

精典例题：

【例1】已抛物线（为实数）。

（1）为何值时，抛物线与轴有两个交点？

（2）如果抛物线与轴相交于A、B两点，与轴交于点C，且△ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。

分析：抛物线与轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根应满足的条件。

略解：（1）由已知有，解得且

（2）由得C（0，－1）

又∵

∴

∴或

∴或

【例2】已知抛物线。

（1）求证：不论为任何实数，抛物线与轴有两个不同的交点，且这两个点都在轴的正半轴上；

（2）设抛物线与轴交于点A，与轴交于B、C两点，当△ABC的面积为48平方单位时，求的值。

（3）在（2）的条件下，以BC为直径作⊙M，问⊙M是否经过抛物线的顶点P？

解析：（1），由，可得证。

（2）

＝

又∵

∴

解得或（舍去）

∴

（3），顶点（5，－9），

∵

∴⊙M不经过抛物线的顶点P。

评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。

探索与创新：

【问题】如图，抛物线，其中、、分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边。

（1）求证：该抛物线与轴必有两个交点；

（2）设有直线与抛物线交于点E、F，与轴交于点M，抛物线与轴交于点N，若抛物线的对称轴为，△MNE与△MNF的面积之比为5∶1，求证：△ABC是等边三角形；

（2）当时，设抛物线与轴交于点P、Q，问是否存在过P、Q两点且与轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由。

解析：（1）

∵，

∴

（2）由得

由得：

设E（，），F（，），那么：，

由∶＝5∶1得：

∴或

由知应舍去。

由解得

∴，即

∴ 或（舍去）

∴

∴△ABC是等边三角形。

（3），即

∴或（舍去）

∴，此时抛物线的对称轴是，与轴的两交点坐标为P（，0），Q（，0）

设过P、Q两点的圆与轴的切点坐标为（0，），由切割线定理有：

∴

故所求圆的圆心坐标为（2，－1）或（2，1）

评注：本题（1）（2）问与函数图像无关，而第（3）问需要用前两问的结论，解题时千万要认真分析前因后果。同时，如果后一问的解答需要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出来，倘能会用前一题的结论来解答后一问题，也是得分的一种策略。

跟踪训练：

一、选择题：

1、已知抛物线与轴两交点在轴同侧，它们的距离的平方等于，则的值为（ ）

A、－2 B、12 C、24 D、－2或24

2、已知二次函数（≠0）与一次函数（≠0）的图像交于点A（－2，4），B（8，2），如图所示，则能使成立的的取值范围是（ ）

A、 B、 C、 D、或

3、如图，抛物线与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，则下列关系：①；②；③；④其中正确的有（ ）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

4、设函数的图像如图所示，它与轴交于A、B两点，线段OA与OB的比为1∶3，则的值为（ ）

A、或2 B、 C、1 D、2

二、填空题：

1、已知抛物线与轴交于两点A（，0），B（，0），且，则＝ 。

2、抛物线与轴的两交点坐标分别是A（，0），B（，0），且，则的值为 。

3、若抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，且∠ACB＝900，则＝ 。

4、已知二次函数与轴交点的横坐标为、，则对于下列结论：①当时，；②当时，；③方程＝0有两个不相等的实数根、；④，；⑤，其中所有正确的结论是 （只填写顺号）。

三、解答题：

1、已知二次函数（≠0）的图像过点E（2，3），对称轴为，它的图像与轴交于两点A（，0），B（，0），且，。

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在（1）中抛物线上是否存在点P，使△POA的面积等于△EOB的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

2、已知抛物线与轴交于点A（，0），B（，0）两点，与轴交于点C，且，，若点A关于轴的对称点是点D。

（1）求过点C、B、D的抛物线解析式；

（2）若P是（1）中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且△HBD与△CBD的面积相等，求直线PH的解析式；

3、已知抛物线交轴于点A（，0），B（，0）两点，交轴于点C，且，。

（1）求抛物线的解析式；

（2）在轴的下方是否存在着抛物线上的点，使∠APB为锐角、钝角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。

参考答案

一、选择题：CDBD

二、填空题：

1、2；2、；3、3；4、①③④

三、解答题：

1、（1）；（2）存在，P（，－9）或（，－9）

2、（1）；（2）

3、（1）；（2）当时∠APB为锐角，当或时∠APB为钝角。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/38240d4014791711cc791789.html