天津市第四中学2020-2021学年高三上学期学情调查数学试题

天津市第四中学2020-2021学年高三上学期学情调查数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知圆的方程为ae10843c120170228b197756d2667e3e.png，则圆心坐标为（ ）

A．e45e327422ffbffd16f05923e3116173.png B．e308e458bad0543579bd64f537f664d0.png C．5a4e778b095f0ac82729b88c6fc2abaa.png D．369a154d5347e70114104fec91cf72fe.png

2．直线c44f11985861f4e45fae10b157c54e86.png和直线16fe33723d2c8c453e9b69c7c3d8eff7.png在同一坐标系中可能是（ ）

A． B． C． D．

3．“fc970a03c19f1c399915f11d560550f0.png”是“97240d14a3a7955812f54a91936dd660.png为圆方程”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

4．若直线41f5772c29273552ccfb92e8e82f76f5.png与6b5761d5869d963b41683cf5fc1d7188.png平行，则0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值为（ ）

A．93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png B．768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png C．93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png或768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png D．7ddf743a44884d9bbc8c1789b835ac41.png或1

5．过点41c6bd3c6e98cd186c053676a2985c17.png，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )

A．31eba51bf888e2a1fcad1a999867af0a.png B．31eba51bf888e2a1fcad1a999867af0a.png或5c4fbe92cd3e98e63311846779f2cc22.png

C．0fada1e817d0269b9417566d53571574.png D．0fada1e817d0269b9417566d53571574.png或5c4fbe92cd3e98e63311846779f2cc22.png

6．已知平面ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png的法向量为a2bebbe060487e0ee2461e9397914aaf.png，点36063decb90e060405593f462b009e6e.png在平面ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png内，则点b820b30d9a6655cfd185a94e1f80af20.png到平面ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png的距离为bb36f7cbf0eb980f15e0b337ce132ebb.png，则9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png＝(　　)

A．－1 B．－11

C．－1或－11 D．－21

7．若直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方向向量与平面ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png的法向量的夹角等于120°，则直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与平面ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png所成的角等于(　　)

A．120° B．30° C．60° D．60°或30°

8．已知O为坐标原点，向量9fb9d9ab2f733d2a8e473aa02c409b14.png，点fe6737f6e1f280e67b147e1fec1514ae.png.若点E在直线b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png上，且3f55579ac3835b28f41edacb240093eb.png，则点E的坐标为（ ）

A．5cd1e5266b0a283379c800ead2766294.png B．d0fd08d301b7cfbee26eed35c7bfe453.png C．996ecc128d8b8b4aff7a19584b4df62a.png D．7c9e5dd60cb1b7f48dbfa1dbe750d1ed.png

二、填空题

9．已知空间向量751b9d11fa5bf65544c2ce7732cdf58a.png，a123fd834fba4f0e6ce6209ba639b98f.png，fe735c516f9e06e10ae13b5f4c31eaf8.png中两两夹角都是c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png，且6fd616ed2f4d9d8d8aa37922ecce959c.png，b0273a84cffd3736c64e0748b85f45d9.png，d62c9b1865bf1e62a9d69269ebee1a3f.png，则30808d8ab4b59fb931921fcd4f346e20.png________．

10．不论k为何实数，直线594daeed8a334e93e4478828a54c23a0.png通过一个定点，这个定点的坐标是______.

11．直线l被两条直线9a96d6f701ce46685a297abae99a8b16.png和8edcb5b77a279a129b760de6127b07b8.png截得的线段的中点为c0e1a9f67ecec4726209057dd3dd7379.png，则直线l的方程为_________.

12．圆04d35197b8835f0e702f687f86e14fd4.png的圆心到直线cd1f398735cc9e06b61f33620c3cc3aa.png的距离为c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png，则5ba758f9b6f95cbaf66a64bc24859213.png__________．

13．已知直线ea09242a36f2c96f0bc53c0c4c6d10ef.png的方向向量是直线dffb1030c369c9bb78271bb699011b10.png的法向量，则实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值为__________

14．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于2，点E，F分别是边BC，AD的中点，则7abec4f435d402d4acb3996882178aff.png的值为_____.

三、解答题

15．已知直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png在415290769594460e2e485922904f345d.png轴上的截距为02e3c1cfd03c87011d3b438dee3b08c4.png，且垂直于直线5dda18ae561d40bbb2b36515503f1a7d.png．

（1）求直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方程；

（2）设直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与两坐标轴分别交于7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png、9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png两点，e9260bacb397819fe4bafcc191655ada.png内接于圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png，求圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的一般方程．

16．如图，在三棱柱0009e4dc258a3d757dba159c76dae58f.png中，cc8ea50b04cd4e0f5e4fa6425a270f51.png平面a97909a97749ed467cc843cad1e62be8.png，点D，E分别在棱0015406e37745015ae5e1e74e78420f9.png和棱86e43cc8f867b1331bc49e439e8afa17.png上，且39069e0049d3d835d96d48d0f6a582b6.png，M为棱9d417dea13f2855580c7c2c6dbc254cd.png的中点.

（1）求证：0b2d1ee07286fc099f82bc62dd4aec16.png；

（2）求平面6f5809ed16a313b2fb8a1dcebfb1b73a.png与平面c46c9142822b8db8ebb8bd05e4e273a4.png的夹角余弦值；

（3）求直线b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png与平面aeaacfb2ee9f8711322ae2bcaf94add6.png所成角的正弦值.

参考答案

1．A

【分析】

先化成标准式，即得圆心坐标.

【详解】

a00452248403a72c6dfd93080716d136.png

因此圆心坐标为e45e327422ffbffd16f05923e3116173.png.

故选：A

【点睛】

本题考查圆一般方程化为标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.

2．D

【分析】

由四个选项中的e6c5419e04a1206d2b1ba0ec48009362.png可知1ceed399f1d8fa4a79cc94a5e6c5c76c.png，分别由四个选项中e6c5419e04a1206d2b1ba0ec48009362.png的92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的符号推导c7b5cb501695b127a4a5203ecdf63d70.png的斜率和纵截距的符号可得解.

【详解】

根据题意可知，65eb60a722b0431990a62f2b2d3d2570.png，

对于7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png、9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png、92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png，由e6c5419e04a1206d2b1ba0ec48009362.png可知，e117be13e3711019f9681197ed90f543.png，所以c7b5cb501695b127a4a5203ecdf63d70.png：9e1eb57b3af952f2cb7481e83f8d6671.png的斜率为正数，故7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png、9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png、92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png不正确；

对于f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png，由e6c5419e04a1206d2b1ba0ec48009362.png可知，539fa66a54d60fdbd6278ccebed13ddd.png，此时c7b5cb501695b127a4a5203ecdf63d70.png：9e1eb57b3af952f2cb7481e83f8d6671.png符合，故f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查了根据直线方程识别图象，属于基础题.

3．A

【分析】

根据圆的一般方程表示圆的条件和充分必要条件的判断可得选项.

【详解】

方程97240d14a3a7955812f54a91936dd660.png表示圆需满足a3aaa738a834f7f4317b38a03824cb93.png或fc970a03c19f1c399915f11d560550f0.png，

所以“fc970a03c19f1c399915f11d560550f0.png”是“97240d14a3a7955812f54a91936dd660.png为圆方程”的充分不必要条件，

故选：A.

【点睛】

本题考查圆的一般方程和充分条件与必要条件的判断，属于基础题.

4．B

【分析】

根据直线平行与系数之间的关系，列出等式，求解即可.

【详解】

因为直线41f5772c29273552ccfb92e8e82f76f5.png与6b5761d5869d963b41683cf5fc1d7188.png平行

故可得2d96ae79b7d27b0d6bcbf1ec673a983f.png，且bd521703f9730b9752b37010cee9a829.png，

解得ba77036f543f07a168320c280152a8ad.png.

故选：9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png.

【点睛】

本题考查由直线的位置关系求参数值，属简单题.

5．D

【解析】

当直线过原点时，直线方程为y=fa02b68ab3ebb2cf37dabd34cdfc6b97.pngx，即4x﹣3y=0；

当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a．

则3+4=a，得a=7．

∴直线方程为x+y﹣7=0．

∴过点M（3，4）且在坐标轴上截距相等的直线方程为4x﹣3y=0或x+y﹣7=0．

故选：D

6．C

【分析】

先求出a4a94e68ae908f92c0de0373767d1143.png，由题得c3204e282b9601566430cf85e348d299.png，即723d7471ca40d77534cf0a033327c2eb.png，解方程即得解.

【详解】

fbf8ec5ed379b0f973bf87efb0c7c85d.png，而c3204e282b9601566430cf85e348d299.png，

即723d7471ca40d77534cf0a033327c2eb.png，解得e28b7964a01e56385d1d9fa4da54388c.png或－11.

故选：C

【点睛】

本题主要考查点面距的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.

7．B

【分析】

因直线方向向量与平面的法向量的夹角为41b95f3a1598d5894288b9e38f524e39.png ，所以线面角为1dd1ccf85e8ef5926ff6c160f41c4772.png．

【详解】

设直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与平面ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png所成的角为7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png，则aea8bc9a651c39ecefd35838d7ef54a2.png，故选B．

【点睛】

一般地，如果直线的方向向量89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png 与平面的法向量13e018b86466da0a42b05678e6c53cbb.png的夹角为7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png，直线与平面所成的角为ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png，则0774bac459ed481af44b91b1ef05d8a0.png．

8．A

【分析】

利用空间向量共线定理及向量垂直与数量积的坐标运算关系即可得出.

【详解】

解：f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png点E在直线b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png上，则存在实数6af8e2f02f674b41b6ccf43debc252d2.png，使得f302624dc70f67acc59dee45b3a564f8.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.pngae5665cda986d8c518fad67680091d0d.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png26c783d06a6686b5af0e111402d1211b.png，解得33ab2aa764b8b7a0f86e2c1cf7db68bd.png.

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png69220edcd2417074ab97f0e9a336845c.png，

即点E的坐标为5cd1e5266b0a283379c800ead2766294.png.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查空间向量共线定理及向量垂直与数量积的关系，属于基础题.

9．10

【分析】

由afc3eb219778568c512bac257b4f84e4.png4563c56fb07ac1572bc9e0edb647f45e.png，展开后利用数量积的定义直接运算再开方即可得解.

【详解】

∵6fd616ed2f4d9d8d8aa37922ecce959c.png，b0273a84cffd3736c64e0748b85f45d9.png，d62c9b1865bf1e62a9d69269ebee1a3f.png，且5714b71d6241e0c42d86c3317a371997.png，

∴afc3eb219778568c512bac257b4f84e4.png4563c56fb07ac1572bc9e0edb647f45e.png

6c5fa8a5903d9e79ab4c8df15bd38eae.png138bcf027fe6931212afc522ef36e90d.png63f6d3e4f55ee29cd609ad4d3af2d551.png

4f83e146585062935a5c62a60bbba3ce.png，

∴d42459fd3fbfaf0bc1955793a8dec2e2.png．

故答案为：10.

【点睛】

本题主要考查了应用空间向量数量积求解模长，属于基础题.

10．(2,3)

【详解】

将直线方程变形为51362a54a0276e70e4a5c8546a79f543.png，它表示过两直线8a4daa1b950c580a1832effdd9368656.png和dd01d3aa47e3c688eaa6b59308ae2a16.png的交点的直线系，解方程组245b32ec0c03fed0e41451157bad08bb.png，得cbd4eb2e1259d52b6ab282268aa31cb2.png上述直线恒过定点f56d78b6cf5ecb27ae30561ae9551475.png，故答案为f56d78b6cf5ecb27ae30561ae9551475.png.

【方法点睛】

本题主要考查待定直线过定点问题. 属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为4e529c5894fae25389db999249e9bb4d.png的形式，根据9f71ba0e37fbf0c33e4e748bdbc59536.png 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.

11．b255641222fe4d764b35236185d9a64c.png

【分析】

先设一个交点c7f4074e60adbc732cdf4e979e9e2206.png，再表示另一个交点c6be1fc6693f007768f8a6e256616313.png，接着联立方程求出交点坐标5867e646d6aaa6b876e21391641029eb.png，最后求直线方程.

【详解】

设直线l与e6c5419e04a1206d2b1ba0ec48009362.png的交点为c7f4074e60adbc732cdf4e979e9e2206.png，直线l与c7b5cb501695b127a4a5203ecdf63d70.png的交点为B.由已知条件，得直线l与c7b5cb501695b127a4a5203ecdf63d70.png的交点为c6be1fc6693f007768f8a6e256616313.png.

联立95c551e389dfcee5b5eff8d1192d80b5.png

即66d23ac3a874669990f63e4200658044.png解得b2e63d24e7a94b81af19ecdfcd72689b.png即5867e646d6aaa6b876e21391641029eb.png.

所以直线l的方程为b1ef4b5c520ad3b81118090777bca856.png，即b255641222fe4d764b35236185d9a64c.png.

故答案为：b255641222fe4d764b35236185d9a64c.png

【点睛】

本题考查中点坐标公式，直线的交点，直线的方程，是中档题.

12．cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png

【解析】

分析：将圆04d35197b8835f0e702f687f86e14fd4.png化为标准方程，求出圆心，根据点到直线距离公式可得结果.

详解：5c6fcd805c0df3bcde56395015c83040.png的标准方程为6bb87ca783d5ea5d76e44ca9e27b70e6.png，

则圆心为63141f7a4711379b43b5ad8c061d6c00.png，圆心63141f7a4711379b43b5ad8c061d6c00.png到直线cd1f398735cc9e06b61f33620c3cc3aa.png的距离为

ba4bfe08167a4f7a3225caea59db3efc.png，解得ded681eaa02d11064c9a469dd1b3e04c.png，故答案为0.

点睛：本题主要考查圆的一般方程化为标准方程，由圆的标准方程求圆心，以及得到直线距离公式，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.

13．f578804a2bbd6304d080a44ad7dc83d1.png

【分析】

转化问题为两直线垂直,则8ba4e002f32bd7dd1aadc735f0587a14.png,进而求解即可.

【详解】

由题,因为直线ea09242a36f2c96f0bc53c0c4c6d10ef.png的方向向量是直线dffb1030c369c9bb78271bb699011b10.png的法向量,

所以两直线垂直,则8ba4e002f32bd7dd1aadc735f0587a14.png,

即ef97fd21160396eb69fcec3e1df90e21.png,

所以951563775162ae509db543098f57ff2d.png,

故答案为:f578804a2bbd6304d080a44ad7dc83d1.png

【点睛】

本题考查由两直线垂直求参数,考查转化思想.

14．1

【分析】

结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果.

【详解】

因为点3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png,800618943025315f869e4e1f09471012.png分别是边f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png,e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png的中点,

则f34f3f21a84fb0589e7c5ff391c240c5.png,又因为空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于2,所以原式4c41e8b0fabd6b54d9bfdbd48c3d5806.png.

故答案为:c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png

【点睛】

本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.

15．（1）05e271885f5861d1bbad2a9f09cf2ccd.png；（2）4e46de13bcc6cfe721b8274f34b3ad86.png

【分析】

（1）由垂直关系得直线斜率，从而可得直线的斜截式方程；

（2）设出圆的一般方程为6855aa4a76a27e711587b788b428b1cd.png．求出6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png两点坐标，b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png中点是圆心，b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png是圆的直径由此可求得70d4bca35e1fac17ebcff37a13968ff1.png．

【详解】

解：（1）设直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方程为a8ff7c0c98f1bd94c590003911800d91.png．

∵直线5dda18ae561d40bbb2b36515503f1a7d.png的斜率为93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，所以直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的斜率f15db92fb88fcb2dcae9c32b3c54d991.png．

则直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方程为05e271885f5861d1bbad2a9f09cf2ccd.png．

（2）设圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的一般方程为6855aa4a76a27e711587b788b428b1cd.png．

由于e9260bacb397819fe4bafcc191655ada.png是直角三角形，

所以圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的圆心92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png是线段b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的中点，半径为dcf0f0465d3c8a5f0d9c2f07cd45bdc2.png；

由819f4af9043518aa49eab9da5f4e5ccc.png，e6ac77364f663f305a7667622ec2216f.png得93ff866895a9857fb3d07c6c7670befd.png，d6067bd27e62d749c803ba2c972e96b9.png；

故9d5cc88f113efb7fee81e3f98216ec02.png，解得111bb025692e5ba52c23eae1d47b2035.png，0cfb8968b0c74b8d306958deb9bb5799.png，585e98bb309e9cc387615c117a196f11.png．

则圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的一般方程为：4e46de13bcc6cfe721b8274f34b3ad86.png．

【点睛】

本题考查两直线位置关系，考查求圆的一般方程．求圆的方程可以先确定圆心坐标和半径，利用一般方程与圆心坐标、半径的关系确定方程中的系数．

16．

（1）证明见解析；（2）dfa9c2943ed27b92909daa95a2b1fc29.png；（3）227e9e6ea96659f752771b4ec095b788.png.

【分析】

首先根据题意建立适当的空间直角坐标系，写出各相关点的坐标.

（1）利用直线的方向向量的数量积为零即可证明；

（2）先求得两平面的一组法向量的坐标，利用两平面的法向量所成的角的余弦值公式求得，注意平面与平面所成的角的概念，得到两平面所成的角的余弦值；

（3）利用直线的方向向量与平面的法向量所成的角的余弦的绝对值即为线面所成角的正弦值求得．

【详解】

解：依题意，以92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png为原点，分别以b74be34b18ca11e8bacd2a13d826c696.png0d1b16fa47c6e8abad21de7f490a37ff.png5804fa6d3c2e6a67485ccf209ad16a88.png的方向为0e503e6ba8df74a61723be29415bcdc5.pngc46431b391bc0011efc9e91508d9dcf7.pngfbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png轴，建系如图，

得d1574d8ae583b0bcf4d2bc612bf80ec7.png，be05d025752199f6ecfd4a9dd220c678.png，f747339507ca4ce7eaeb40d74c75a8a1.png，fe14d87d5d870e56c37b8a38649c2d00.png，

08302683144c02da9f01deae97e7d118.png，cc83581feab1c4b0f90faa4df517c514.png，ac189ae6ad1d92ee4e9bdfa46cd1ac7d.png，0239de8ef1d11ab652bcf3faca7eb2f6.png，2bae3c770ad78579f9f8cea48d0d1dd1.png．

（1）证明：依题意，ba03292b7770673368142a06d2fe915c.png，4b767ceb39f779c8bb9a2175f06c2289.png，

从而f4ded2bbcac59aa1cdc632ddf4ed3e51.png，

所以0b2d1ee07286fc099f82bc62dd4aec16.png．

（2）解：依题意，59facd20e3923c3b63ac5827beb2a87d.png是平面e44e82b291053bd46dcf3544b99a1995.png的一个法向量，

9044c8178cdb0e155b86eff8176fe60a.png，be407e84c4be874d874916350aecbda9.png．

设6ed43118af6f394230b28e5f230d469c.png为平面aeaacfb2ee9f8711322ae2bcaf94add6.png的法向量，

则3420bbf31f3786eff004fe6588738a89.png，即9a30d552cb5ea7e69776d289e0afa43f.png，取ab5b82563d39d548255b329276feda5d.png．

因此有ca26c340034d298a27af90865ff3f9c0.png，

所求平面6f5809ed16a313b2fb8a1dcebfb1b73a.png与平面c46c9142822b8db8ebb8bd05e4e273a4.png的夹角余弦值为dfa9c2943ed27b92909daa95a2b1fc29.png．

（3）解：依题意，08e034f52b895a884a5c70f3734b07d5.png．

由（２）知ab5b82563d39d548255b329276feda5d.png为平面aeaacfb2ee9f8711322ae2bcaf94add6.png的一个法向量，

于是90970b7ee128783abfdedb50a8195031.png．

所以，b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png与平面aeaacfb2ee9f8711322ae2bcaf94add6.png所成角的正弦值为227e9e6ea96659f752771b4ec095b788.png．

【点睛】

本题考查利用空间向量证明线线垂直，求面面所成的角和线面所成的角的有关问题，属中档题，关键是掌握平面的法向量的求法和向量夹角的余弦值公式，准确进行向量的数量积的坐标运算余弦值．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/37b2ff75690203d8ce2f0066f5335a8103d26600.html