小学奥数时钟问题

时钟问题

时钟问题知识点说明

时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。

我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟上时针与分针所成的角度等等。

时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。对于正常的时钟，

具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。

分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度

时针速度：每分钟走3f745284407e4a2b198f3db1bab93436.png小格，每分钟走0.5度

注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。

要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。

例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为4245681b9cd96ea3709353fa920cc45f.png分。

模块一、时针与分针的追及与相遇问题

【例 1】 有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合?

1【解析】 在lO点时，时针所在位置为刻度10，分针所在位置为刻度12；当两针重合时，分针必须追上50个小刻度，设分针速度为“l”，有时针速度为“3f745284407e4a2b198f3db1bab93436.png”，于是需要时间：2426cd611072fde847121081f95bbb04.png．所以，再过c3394d442f5f00e8ee4af0be234d5375.png分钟，时针与分针将第一次重合．第二次重合时显然为12点整，所以再经过af5e8d27edaa83d0c7af493b70020ab9.png分钟，时针与分针第二次重合．标准的时钟，每隔4245681b9cd96ea3709353fa920cc45f.png分钟，时针与分针重合一次． 我们来熟悉一下常见钟表(机械)的构成：一般时钟的表盘大刻度有12个，即为小时数；小刻度有60个，即为分钟数．所以时针一圈需要12小时，分针一圈需要60分钟(1小时)，时针的速度为分针速度的3f745284407e4a2b198f3db1bab93436.png．如果设分针的速度为单位“l”，那么时针的速度为“3f745284407e4a2b198f3db1bab93436.png”．

【巩固】 钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合？

2【解析】 此题属于追及问题，追及路程是20格，速度差是a07a3d139c1204ca14444de3bf395483.png，所以追及时间是：ceda1f2355bfecef87e7af06743a2bce.png（分）。

【巩固】 现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？

3【解析】 根据题意可知，3点时，时针与分针成90度，第一次重合需要分针追90度，e51d6107c887edca4eea669cf8bdab19.png（分）

【例 2】 钟表的时针与分针在8点多少分第一次垂直？

1【解析】 4ae6ca9d6da47aaf6d3dd96b8048b175.png此题属于追及问题，但是追及路程是4605a0c665fee4ab00339d5ffb8f76c0f.png格（由原来的40格变为15格），速度差是a07a3d139c1204ca14444de3bf395483.png，所以追及时间是：a5b4204f68ad12dc76f76b28d63503d8.png（分）。

【例 3】 2点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？

1【解析】 根据题意可知，2点时，时针与分针成60度，第一次垂直需要90度，即分针追了90+60=150（度），5987052558ace3beacad9d80d774d686.png（分）

【例 4】 8时到9时之间时针和分针在“8”的两边，并且两针所形成的射线到“8”的距离相等．问这时是8时多少分?

1【解析】 8点整的时候，时针较分针顺时针方向多40格，设在满足题意时，时针走过x格，那么分针走过40-x格，所以时针、分针共走过x+(40-x)=40格．于是，所需时间为bbbac5410d0b4603299f3f13addb31ba.png分钟，即在8点50c9456500d136a2cca7f11a7ade87a0.png分钟为题中所求时刻．

【例 5】 现在是10点，再过多长时间，时针与分针将第一次在一条直线上？

1【解析】 时针的速度是 360÷12÷60=0.5(度/分),分针的速度是 360÷60=6(度/分),即 分针与时针的速度差是 6-0.5=5.5(度/分),10点时，分针与时针的夹角是60度， ,第一次在一条直线时，分针与时针的夹角是180度，,即 分针与时针从60度到180度经过的时间为所求。,所以 答案为 ac08e7dd117f57e3150a57a02bfd9514.png(分)

【巩固】 在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？

2【解析】 根据题意可知，9点时，时针与分针成90度，第一次在一条直线上需要分针追90度，第二次在一条直线上需要分针追270度，答案为e51d6107c887edca4eea669cf8bdab19.png（分）和33b24d9a52c2ca35c7da09ab9ca7b5ce.png（分）

【例 6】 晚上8点刚过，不一会小华开始做作业，一看钟，时针与分针正好成一条直线。做完作业再看钟，还不到9点，而且分针与时针恰好重合。小华做作业用了多长时间？

1【解析】 根据题意可知， 从在一条直线上追到重合，需要分针追180度，1c84fcda920e046ab40caeeb901af46e.png（分）

【例 7】 某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为1100，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是1100．那么此人外出多少分钟?

1【解析】 如下示意图，开始分针在时针左边1100位置，后来追至时针右边1100位置．

于是，分针追上了1100+1100=2200，对应1954380953ca930741e089dd032609be.png格．所需时间为65a0eb1238a21be94e84c4356d6eee21.png分钟．所以此人外出40分钟．

评注：通过上面的例子，看到有时是将格数除以94fcc794ea6d030900d6d5e2c7fd0b48.png，有时是将格数除以87b842a9e969905a8bf927c043e8bb89.png，这是因为有时格数是时针、分针共同走过的，对应速度和；有时格数是分针追上时针的，对应速度差．对于这个问题，大家还可以将题改为:“在9点多钟出去，9点多钟回来，两次的夹角都是1100”,答案还是40分钟．

【例 8】 上午9点多钟，当钟表的时针和分针重合时，钟表表示的时间是9点几分？

1【解析】 时针与分针第一次重合的经过的时间为：3376181e7fa4124c0f3bea6fa470cd8c.png（分），当钟表的时针和分针重合时，钟表表示的时间是9点1f103edc2c13d0541489cb8e9b03624a.png分

【例 9】 小红上午8点多钟开始做作业时，时针与分针正好重合在一起。10点多钟做完时，时针与分针正好又重合在一起。小红做作业用了多长时间？

1【解析】 8点多钟时,时针和分针重合的时刻为：ae8a194d4b727b2449c2ddeb4ea2bf5f.png（分）10点多钟时,时针和分针重合的时刻为：1c3d2d39ee52bedb5bf8d278ac692aa0.png（分）806b459ad7a2b75f5343172c1cf2a6ae.png，小红做作业用了b6839777d79d46403ace8c70760095d5.png时间

【例 10】 小红在9点与10点之间开始解一道数学题，当时时针和分针正好成一条直线，当小红解完这道题时，时针和分针刚好第一次重合，小红解这道题用了多少时间？

1【解析】 9点和10点之间分针和时针在一条直线上的时刻为：770aeb59dde0756379b22ad9089664d7.png（分），时针与分针第一次重合的时刻为： 3376181e7fa4124c0f3bea6fa470cd8c.png（分），所以这道题目所用的时间为：ada4437987f9376be577ed518ba65c18.png（分）

【例 11】 一部动画片放映的时间不足1时，小明发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。这部动画片放映了多长时间？

1【解析】 根据题意可知，时针恰好走到分针的位置，分针恰好走到时针的位置，它们一共走了一圈，即4164077ae98cc059ad781fcc1fff98dd.png（分）

模块二、时间标准及闹钟问题

【例 12】 王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快 30 秒.而闹钟却比标准时间每小时慢 30 秒，那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差多少秒？

1【解析】 6秒

【巩固】 小强家有一个闹钟，每时比标准时间快3分。有一天晚上10点整，小强对准了闹钟，他想第二天早晨6∶00起床，他应该将闹钟的铃定在几点几分？

2【解析】 6：24

【巩固】 小翔家有一个闹钟，每时比标准时间慢3分。有一天晚上9点整，小翔对准了闹钟，他想第二天早晨6∶30起床，于是他就将闹钟的铃定在了6∶30。这个闹钟响铃的时间是标准时间的几点几分？

3【解析】 7点

【巩固】 当时钟表示1点45分时，时针和分针所成的钝角是多少度？

4【解析】 142.5度

【例 13】 钟敏家有一个闹钟，每时比标准时间快2分。星期天上午9点整，钟敏对准了闹钟，然后定上铃，想让闹钟在11点半闹铃，提醒她帮助妈妈做饭。钟敏应当将闹钟的铃定在几点几分上？

1【解析】 闹钟与标准时间的速度比是62:60=31:30, 11点半与9点相差 150分， 根据十字交叉法，闹钟走了 150×31÷30=155(分),所以 闹钟的铃应当定在11点35分上。

【例 14】 小翔家有一个闹钟，每时比标准时间慢2分。有一天晚上9点整，小翔对准了闹钟，他想第二天早晨6∶40起床，于是他就将闹钟的铃定在了6∶40。这个闹钟响铃的时间是标准时间的几点几分？

1【解析】 闹钟与标准时间的速度比是 58:60=29:30 晚上9点与次日早晨6点40分相差580分， 即 标准时间过了 580×30÷29=600(分),所以 标准时间是7点。

【例 15】 有一个时钟每时快20秒，它在3月1日中午12时准确，下一次准确的时间是什么时间？

1【解析】 时钟与标准时间的速度差是 20秒/时，因为经过12小时，时钟的指针回到起始的位置，所以到下一次准确时间时，时钟走了 12×3600÷20=2160(小时) 即 90天， 所以 下一次准确的时间是5月30日中午12时。

【例 16】 小明家有两个旧挂钟，一个每天快20分，另一个每天慢30分。现在将这两个旧挂钟同时调到标准时间，它们至少要经过多少天才能再次同时显示标准时间？

1【解析】 快的挂钟与标准时间的速度差是 20分/天,慢的挂钟与标准时间的速度差是 30分/天,快的每标准一次需要 12×60÷30=24(天),慢的每标准一次需要 12×60÷20=36(天),24与36的最小公倍数是 72,所以 它们至少要经过72天才能再次同时显示标准时间。

【例 17】 某科学家设计了只怪钟，这只怪钟每昼夜10时，每时100分（如右图所示）。当这只钟显示5点时，实际上是中午12点；当这只钟显示6点75分时，实际上是什么时间？

1【解析】 标准钟一昼夜是24×60=1440（分）,怪钟一昼夜是100×10=1000（分）,怪钟从5点到6点75分，经过175分，根据十字交叉法，1440×175÷1000=252（分）,即4点12分。

【例 18】 手表比闹钟每时快60秒，闹钟比标准时间每时慢60秒。8点整将手表对准，12点整手表显示的时间是几点几分几秒？

1【解析】 按题意，闹钟走3600秒手表走3660秒，而在标准时间的一小时中，闹钟走了3540秒。所以在标准时间的一小时中手表走3660÷3600×3599 = 3599（秒）即手表每小时慢1秒，所以12点时手表显示的时间是11点59分56秒。

【例 19】 某人有一块手表和一个闹钟，手表比闹钟每时慢30秒，而闹钟比标准时间每时快30秒。问：这块手表一昼夜比标准时间差多少秒？

1【解析】 根据题意可知，标准时间经过60分，闹钟走了60.5分，根据十字交叉法，可求闹钟走60分，标准时间走了60×60÷60.5分，而手表走了59.5分，再根据十字交叉法，可求一昼夜手表走了59.5×24×60÷（60×60÷60.5）分，所以答案为24×60-59.5×24×60÷（60×60÷60.5）=0.1（分）0.1分=6秒

【例 20】 一个快钟每时比标准时间快1分，一个慢钟每时比标准时间慢3分。将两个钟同时调到标准时间，结果在24时内，快钟显示9点整时，慢钟恰好显示8点整。此时的标准时间是多少？

1【解析】 根据题意可知，标准时间过60分钟，快钟走了61分钟，慢钟走了57分钟，即标准时间每60分钟，快钟比慢钟多走4分钟，60÷4=15（小时）经过15小时快钟比标准时间快15分钟，所以现在的标准时间是8点45分。

【例 21】 小明上午 8点要到学校上课，可是家里的闹钟早晨 6点10分就停了，他上足发条但忘了对表就急急忙忙上学去了，到学校一看还提前了10分。中午12点放学，小明回到家一看钟才11点整。如果小明上学、下学在路上用的时间相同，那么，他家的闹钟停了多少分？

1【解析】 根据题意可知，小明从上学到放学一共经过的时间是290分钟（11点减去6点10分）,在校时间为250分钟（8点到12点，再加上提前到的10分钟）所以上下学共经过290-250=40（分钟），即从家到学校需要20分钟，所以从家出来的时间为7：30（8：00-10分-20分）即他家的闹钟停了1小时20分钟，即80分钟。

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