初中数学专题复习二次根式的加减及混合运算精讲精练（含答案）

二次根式的加减法，二次根式的混合运算

重点与难点：二次根式混合运算技巧.

一、知识点

（1） 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

（2） 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。合并同类二次根式与合并同类项类似。不是同类二次根式的二次根式（例如word/media/image1_1.png与word/media/image2_1.png）不能合并。

（3） 二次根式的和相乘、除，与多项式的乘除法类似，也可以运用平方差、完全平方、立方和（差）等公式来简化运算。

（4） 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式。例如：word/media/image1_1.png+word/media/image2_1.png与word/media/image1_1.png－word/media/image2_1.png互为有理化因式。

二、例题：

例1、 计算

（１）word/media/image3_1.png

解：原式＝word/media/image4_1.png

（2）word/media/image5_1.png

解：原式=word/media/image6_1.png

（3）word/media/image7_1.png

解：原式=word/media/image8_1.png

注意：同类二次根式合并时，根号前的因式可以看作二次根式的系数，只要把系数相加减。这与合并同类项是非常相似的。

例2、 二次根式混合运算：

（1）word/media/image9_1.png

解：原式=word/media/image10_1.png

注意：此题与多项式和多项式相乘类似，可仿照整式乘法进行运算，乘积中如果出现了同类二次根式，最后应当将它们合并。

（2）word/media/image11_1.png

此题可用完全平方公式计算

解法1：原式=word/media/image12_1.png

也可用平方差公式进行计算

解法2：原式=word/media/image13_1.png

=word/media/image14_1.png

注意：在进行二次根式的混合运算时，要仔细观察算式的特征，灵活运用完全平方公式、平方差公式来简化运算。

（3）word/media/image15_1.png

解：原式=word/media/image16_1.png（本题运用立方差公式进行计算）

（4）word/media/image17_1.png。

解：原式=word/media/image18_1.png。

注意：本题当然可以通过分母有理化的方法进行计算，但如能注意到分母可以在有理数范围内分解因式，而分解因式后分子与分母有相同的因式，于是通过约分大大地简化了运算。

例3、 比较下列各数的大小：word/media/image19_1.png－word/media/image20_1.png，2－word/media/image19_1.png，word/media/image21_1.png－2。

分析：比较数的大小通常有作差法和作商法两种，但对本题无论作差还是作商均太过复杂。若注意到（word/media/image19_1.png－word/media/image20_1.png）（word/media/image19_1.png+word/media/image20_1.png）=1则可以使问题得以简化。

解：∵（word/media/image19_1.png－word/media/image20_1.png）（word/media/image19_1.png+word/media/image20_1.png）=1 ∴（word/media/image19_1.png－word/media/image20_1.png）=word/media/image22_1.png

同理：2－word/media/image19_1.png=word/media/image23_1.png word/media/image21_1.png－2=word/media/image24_1.png

∵word/media/image19_1.png+word/media/image20_1.png<2+word/media/image19_1.png<word/media/image21_1.png+2

∴word/media/image22_1.png>word/media/image23_1.png>word/media/image24_1.png

即：word/media/image19_1.png－word/media/image20_1.png>2－word/media/image19_1.png>word/media/image21_1.png－2

三、训练题：

1、 下列二次根式中是同类二次根式的是________________________.

word/media/image25_1.png.

2、 计算：

（1）word/media/image26_1.png （2）word/media/image27_1.png

（3）word/media/image28_1.png （4）word/media/image29_1.png

3、 先化简，再求值：word/media/image30_1.png，其中x=12.

4、 word/media/image31_1.png如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，CD⊥AC，AB=1，BC=CD=2，求四边形ABCD的周长和面积。

5、 计算：

（1）word/media/image32_1.png （2）word/media/image33_1.png

（3）word/media/image34_1.png （4）word/media/image35_1.png

（5）word/media/image36_1.png （6）word/media/image37_1.png

（7）word/media/image38_1.png （8）word/media/image39_1.png

（9）word/media/image40_1.png

6、 分母有理化：（1）word/media/image41_1.png （2）word/media/image42_1.png

7、 比较大小：word/media/image43_1.png

答案:

1、 word/media/image44_1.pngword/media/image45_1.png是同类二次根式

2、 计算：

（1）4word/media/image46_1.png （2）5word/media/image2_1.png

（3）15word/media/image47_1.png （4）0

3、 化简得：原式=word/media/image48_1.png，将x=12代入得：原式=3

4、 提示：如右图作CE⊥AD于E，于是四边形ABCE是矩形

四边形的周长为7+word/media/image2_1.png，面积为2+word/media/image49_1.png

5、 计算：

（1）11 （2）ab （3）24+7word/media/image46_1.png （4）－5 （5）46+12word/media/image50_1.png

（6）word/media/image51_1.png （7）1 （8）3+4word/media/image52_1.png （9）word/media/image53_1.png

6、 （1） 2word/media/image54_1.png+3 （2）word/media/image55_1.png

7、 word/media/image56_1.png

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/3546355e0812a21614791711cc7931b765ce7bd3.html