[6套合集]江苏省南菁高级中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷附解析

重点高中提前招生模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上

一.选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的,请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.）

1.16的平方根是（ ）

A.4 B.－4 C.±4 D.±8

2.下列运算正确的是（ ）

A．cb5b59be5a79af10f68acd2f7163cbae.png B．a7b95286d3f0c4664c90f2771bcefcf4.png C．d350f6d507c4d03cbb61d11ea03f0a95.png D. 9a77b306311ccf898a8d2db571677476.png

3.下列美丽的图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）

word/media/image5.gif

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.如图,桌面上有一个一次性纸杯,它的俯视图应是（ ）

word/media/image6.gif

5.某学习小组为了解本城市500万成年人中大约有多少人吸烟,随机调查了50个成年人,结果其中有10个成年人吸烟.对于这个数据收集与处理的问题,下列说法正确的是（ ）

A.该调查的方式是普查 B.本地区只有40个成年人不吸烟

C.样本容量是50 D.本城市一定有100万人吸烟

6 杭州银泰百货对上周女装的销售情况进行了统计，如下表所示：

经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（ 　 ）

A．平均数 B． 众数 C．中位数 D．方差

7.两圆的半径分别为3和7,圆心距为7,则两圆的位置关系是（ ）

A. 内切 B.相交 C.外切 D.外离

8.在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,若BC＝5,则DE的长是（ ）

word/media/image9.gif A.2.5 B.5 C.10 D.15

9.如右图,一次函数y＝kx＋b的图象经过A、B两点,

则不等式kx＋b < 0的解集是（ ）

A.x ＜0 B. 0＜ x ＜１

C.x＜１ D. x ＞１

10.某剧场为希望工程义演的文艺表演有60元和100元两种票价,某团体需购买140张,其中票价为100元的票数不少于票价为60元的票数的两倍,则购买这两种票最少共需要（ ）

A.12120元 B.12140元 C.12160元 D.12200元

11.若2eeff1c69e97f09c350d9eb98e136704.png，且0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png≥292eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，则（ ）

A.7756054cd009f0b026e285b9c68bb181.png有最小值93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png B.7756054cd009f0b026e285b9c68bb181.png有最大值1

C.033b571c237d78ae1c9908427fdf52ce.png有最大值2 D.033b571c237d78ae1c9908427fdf52ce.png有最小值39c299968c6db24fdad65f19deee0e8d.png

12.在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E，F分别在线段AB，CD上），记它们的面积分别为5adfedb7947a6f280476f75fee42f453.png和b50adfbc4b889617aef95b28f9d9d956.png，现给出下列命题：

①若6bfbb34ed275a940bea5cacdc66e2074.png，则b4cac85c987307877242096b223347a3.png；

②若31d10ea0a9427e61304de27a88f8adaa.png,则DF=2AD.则（ ）

A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题

C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题

二.填空题（本大题共6小题,每小题4分,共计24分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）

13.函数eaea60a0b0a315b7071a55f31685fe16.png中,自变量x的取值范围是 .

14.农科院对甲、乙两种甜玉米各10块试验田进行试验后,得到甲、乙两个品种每公顷的平均产量相同,而甲、乙两个品种产量的方差分别为word/media/image24_1.png,word/media/image25_1.png,则产量较为稳定的品种是_____________（填“甲”或“乙”）.

15.如图,早上10点小东测得某树的影长为2m,到了下午5时又测得该树的影长为8m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度约为_________m.

word/media/image26.gif

16.已知圆锥的底面半径为1cm,母线长为1cm,则它的侧面积是 cm2.

17.如图,在平面直角坐标系中,fa19c98b3e6304db320f533d68a9b1bb.png与415290769594460e2e485922904f345d.png轴相切于原点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png,平行于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的直线交fa19c98b3e6304db320f533d68a9b1bb.png于M、8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png两点,若点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png的坐标是6b4064a12795a13d5e59108bd5ed5e7c.png,则弦M8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png的长为 .

word/media/image35.gif

18.如图,已知△OP1A1△、A1P2A2、△A2P3A3……均为等腰直角三角形,直角顶点P1、P2 、P3……在函数623b04d45c26bcf2cdf6d78be8a7895a.png（x＞0）图象上,点A1、A2、A3……在x轴的正半轴上,则点P2011的横坐标为 .

三.解答题（本大题共10小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.(本题满分16分)

（1）计算:50428203dc16ddee19e18c2282f94743.png

（2）化简50428203dc16ddee19e18c2282f94743.png

20.(本小题满分12分）

有A、B两个黑布袋,A布袋中有两个完全相同的小球,分别标有数字1和2;B布袋中有三个完全相同的小球,分别标有数字02e3c1cfd03c87011d3b438dee3b08c4.png,02e3c1cfd03c87011d3b438dee3b08c4.png和－4.小明从A布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为x,再从B布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为y,这样就确定点Q的一个坐标为(x,y).

（1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标;

（2）求点Q落在直线y=1b6b3e808a3cc205dfcbe4e119f59025.png上的概率.

21.(本题满分12分）如图,一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下,汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA＝30°和∠DCB＝60°,如果斑马线的宽度是AB＝3米,驾驶员与车头的距离是0.8米,这时汽车车头与斑马线的距离x是多少?

word/media/image42.gif

22.(本题满分12分）已知:如图,AB是⊙O的直径,C、D为⊙O上两点,CF⊥AB于点F,CE⊥AD的延长线于点E,且 CE＝CF.

（1）求证:CE是⊙O的切线;

（2）若AD＝CD＝6,求四边形ABCD的面积.

word/media/image43.gif

23.(本题满分12分）已知在图1、2、3中AC均平分∠MAN.

word/media/image44.gif

⑴ 在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,我们可得结论:AB+AD=AC;

在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则上面的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;

（2）在图3中:（只要填空,不需要证明）.

①若∠MAN=60°,∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD= AC;

②若∠MAN=α（0°＜α＜180°）,∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD= AC（用含α的三角函数表示）.

24.(本题满分12分）有六个学生分成甲、乙两组（每组三个人）,分乘两辆出租车同时从学校出发去距学校60km的博物馆参观,10分钟后到达距离学校12km处有一辆汽车出现故障,接着正常行驶的一辆车先把第一批学生送到博物馆再回头接第二批学生,同时第二批学生步行12km后停下休息10分钟恰好与回头接他们的小汽车相遇,当第二批学生到达博物馆时,恰好已到原计划时间.设汽车载人和空载时的速度分别保持不变,学生步行速度不变,汽车离开学校的路程s（千米）与汽车行驶时间t（分钟）之间的函数关系如图,假设学生上下车时间忽略不计.

(1)汽车载人时的速度为_______km/min;第一批学生到达博物馆用了_____分钟;原计划从学校出发到达博物馆的时间是______分钟;

(2)求汽车在回头接第二批学生途中（即空载时）的速度；

(3)假设学生在步行途中不休息且步行速度每分钟减小0.04km,汽车载人时和空载时速度不变,问能否经过合理的安排,使得学生从学校出发全部到达目的地的时间比原计划时间早10分钟？如果能,请简要说出方案,并通过计算说明;如果不能,简要说明理由.

25.(本题满分14分）如图,Rt△AOB中,∠A＝90°,以O为坐标原点建立直角坐标系,使点A在x轴正半轴上,OA＝2,AB＝8,点C为AB边的中点,抛物线的顶点是原点O,且经过C点.

（1）填空:直线OC的解析式为 _______ ;

抛物线的解析式为 _______ ;

（2）现将该抛物线沿着线段OC移动,使其顶点M始终在线段OC上（包括端点O、C）,抛物线与y轴的交点为D,与AB边的交点为E;

①是否存在这样的点D,使四边形BDOC为平行四边形？如存在,求出此时抛物线的解析式;如不存在,说明理由;

②设△BOE的面积为S,求S的取值范围.

word/media/image46.gif

数学参考答案及评分意见

一．选择题：

二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共计24分.）

13.x≥-2 14.甲

15.4 16.π 17.3 18. word/media/image47.gif

三.解答题:

19.(本题满分16分)

（1）50428203dc16ddee19e18c2282f94743.png

＝291a24814efa2661939c57367281c819c.png－1＋8－291a24814efa2661939c57367281c819c.png………………………………6分

=7……………………………………………………8分

（2）4a9b91c883b3303b89020d818d4ebdc0.png

＝4a9b91c883b3303b89020d818d4ebdc0.png×c5d8b306b9ef198ff32ef8cdca5cabad.png………………………………5分

＝a6e5d606ffeafc19b49135f95161f664.png………………………………8分

20.(本小题满分12分）

（1）

………………………………6分

或

…………………………6分

（2）落在直线y=fbcd78af9d95492f193452b4d6a1b9b6.png上的点Q有:(1,-3);(2,-4)

∴P=a79336e0e57461dc860c2d224bbc3e7b.png=7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png ………………………………12分

21.解：如图,∵CD∥AB,∴∠CAB=30°,∠CBF=60°; ……………………2分

∴∠BCA=60-30=30°,即∠BAC=∠BCA; ………………………………4分

∴BC=AB=3米; ………………………………6分

Rt△BCF中,∠CBF=3米,∠CBF=60°; ………………………………8分

∴BF= BC=1.5米; ………………………………10分

故x=BF-EF=0.7米. ………………………………12分

22.（1）连结OC.

∵CF⊥AB ,CE⊥AD,且CE=CF

∴∠CAE=∠CAB

∵ OC=OA

∴ ∠CAB＝∠OCA

∴∠CAE＝∠OCA

∴∠OCA＋∠ECA＝∠CAE＋∠ECA＝90°……………………4分

又∵OC是⊙O的半径

∴CE是⊙O的切线………………………………6分

（2）∵AD=CD

∴∠DAC=∠DCA=∠CAB

∴DC//AB

∵∠CAE＝∠OCA

∴OC//AD

∴四边形AOCD是平行四边形

∴OC=AD=6，AB＝12

重点高中提前招生模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上

一.选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的,请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.）

1.16的平方根是（ ）

A.4 B.－4 C.±4 D.±8

2.下列运算正确的是（ ）

A．cb5b59be5a79af10f68acd2f7163cbae.png B．a7b95286d3f0c4664c90f2771bcefcf4.png C．d350f6d507c4d03cbb61d11ea03f0a95.png D. 9a77b306311ccf898a8d2db571677476.png

3.下列美丽的图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）

word/media/image5.gif

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.如图,桌面上有一个一次性纸杯,它的俯视图应是（ ）

word/media/image6.gif

5.某学习小组为了解本城市500万成年人中大约有多少人吸烟,随机调查了50个成年人,结果其中有10个成年人吸烟.对于这个数据收集与处理的问题,下列说法正确的是（ ）

A.该调查的方式是普查 B.本地区只有40个成年人不吸烟

C.样本容量是50 D.本城市一定有100万人吸烟

6 杭州银泰百货对上周女装的销售情况进行了统计，如下表所示：

经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（ 　 ）

A．平均数 B． 众数 C．中位数 D．方差

7.两圆的半径分别为3和7,圆心距为7,则两圆的位置关系是（ ）

A. 内切 B.相交 C.外切 D.外离

8.在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,若BC＝5,则DE的长是（ ）

word/media/image9.gif A.2.5 B.5 C.10 D.15

9.如右图,一次函数y＝kx＋b的图象经过A、B两点,

则不等式kx＋b < 0的解集是（ ）

A.x ＜0 B. 0＜ x ＜１

C.x＜１ D. x ＞１

10.某剧场为希望工程义演的文艺表演有60元和100元两种票价,某团体需购买140张,其中票价为100元的票数不少于票价为60元的票数的两倍,则购买这两种票最少共需要（ ）

A.12120元 B.12140元 C.12160元 D.12200元

11.若2eeff1c69e97f09c350d9eb98e136704.png，且0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png≥292eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，则（ ）

A.7756054cd009f0b026e285b9c68bb181.png有最小值93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png B.7756054cd009f0b026e285b9c68bb181.png有最大值1

C.033b571c237d78ae1c9908427fdf52ce.png有最大值2 D.033b571c237d78ae1c9908427fdf52ce.png有最小值39c299968c6db24fdad65f19deee0e8d.png

12.在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E，F分别在线段AB，CD上），记它们的面积分别为5adfedb7947a6f280476f75fee42f453.png和b50adfbc4b889617aef95b28f9d9d956.png，现给出下列命题：

①若6bfbb34ed275a940bea5cacdc66e2074.png，则b4cac85c987307877242096b223347a3.png；

②若31d10ea0a9427e61304de27a88f8adaa.png,则DF=2AD.则（ ）

A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题

C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题

二.填空题（本大题共6小题,每小题4分,共计24分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）

13.函数eaea60a0b0a315b7071a55f31685fe16.png中,自变量x的取值范围是 .

14.农科院对甲、乙两种甜玉米各10块试验田进行试验后,得到甲、乙两个品种每公顷的平均产量相同,而甲、乙两个品种产量的方差分别为word/media/image24_1.png,word/media/image25_1.png,则产量较为稳定的品种是_____________（填“甲”或“乙”）.

15.如图,早上10点小东测得某树的影长为2m,到了下午5时又测得该树的影长为8m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度约为_________m.

word/media/image26.gif

16.已知圆锥的底面半径为1cm,母线长为1cm,则它的侧面积是 cm2.

17.如图,在平面直角坐标系中,fa19c98b3e6304db320f533d68a9b1bb.png与415290769594460e2e485922904f345d.png轴相切于原点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png,平行于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的直线交fa19c98b3e6304db320f533d68a9b1bb.png于M、8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png两点,若点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png的坐标是6b4064a12795a13d5e59108bd5ed5e7c.png,则弦M8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png的长为 .

word/media/image35.gif

18.如图,已知△OP1A1△、A1P2A2、△A2P3A3……均为等腰直角三角形,直角顶点P1、P2 、P3……在函数623b04d45c26bcf2cdf6d78be8a7895a.png（x＞0）图象上,点A1、A2、A3……在x轴的正半轴上,则点P2011的横坐标为 .

三.解答题（本大题共10小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.(本题满分16分)

（1）计算:50428203dc16ddee19e18c2282f94743.png

（2）化简50428203dc16ddee19e18c2282f94743.png

20.(本小题满分12分）

有A、B两个黑布袋,A布袋中有两个完全相同的小球,分别标有数字1和2;B布袋中有三个完全相同的小球,分别标有数字02e3c1cfd03c87011d3b438dee3b08c4.png,02e3c1cfd03c87011d3b438dee3b08c4.png和－4.小明从A布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为x,再从B布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为y,这样就确定点Q的一个坐标为(x,y).

（1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标;

（2）求点Q落在直线y=1b6b3e808a3cc205dfcbe4e119f59025.png上的概率.

21.(本题满分12分）如图,一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下,汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA＝30°和∠DCB＝60°,如果斑马线的宽度是AB＝3米,驾驶员与车头的距离是0.8米,这时汽车车头与斑马线的距离x是多少?

word/media/image42.gif

22.(本题满分12分）已知:如图,AB是⊙O的直径,C、D为⊙O上两点,CF⊥AB于点F,CE⊥AD的延长线于点E,且 CE＝CF.

（1）求证:CE是⊙O的切线;

（2）若AD＝CD＝6,求四边形ABCD的面积.

word/media/image43.gif

23.(本题满分12分）已知在图1、2、3中AC均平分∠MAN.

word/media/image44.gif

⑴ 在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,我们可得结论:AB+AD=AC;

在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则上面的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;

（3）在图3中:（只要填空,不需要证明）.

①若∠MAN=60°,∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD= AC;

②若∠MAN=α（0°＜α＜180°）,∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD= AC（用含α的三角函数表示）.

24.(本题满分12分）有六个学生分成甲、乙两组（每组三个人）,分乘两辆出租车同时从学校出发去距学校60km的博物馆参观,10分钟后到达距离学校12km处有一辆汽车出现故障,接着正常行驶的一辆车先把第一批学生送到博物馆再回头接第二批学生,同时第二批学生步行12km后停下休息10分钟恰好与回头接他们的小汽车相遇,当第二批学生到达博物馆时,恰好已到原计划时间.设汽车载人和空载时的速度分别保持不变,学生步行速度不变,汽车离开学校的路程s（千米）与汽车行驶时间t（分钟）之间的函数关系如图,假设学生上下车时间忽略不计.

(1)汽车载人时的速度为_______km/min;第一批学生到达博物馆用了_____分钟;原计划从学校出发到达博物馆的时间是______分钟;

(2)求汽车在回头接第二批学生途中（即空载时）的速度；

(3)假设学生在步行途中不休息且步行速度每分钟减小0.04km,汽车载人时和空载时速度不变,问能否经过合理的安排,使得学生从学校出发全部到达目的地的时间比原计划时间早10分钟？如果能,请简要说出方案,并通过计算说明;如果不能,简要说明理由.

25.(本题满分14分）如图,Rt△AOB中,∠A＝90°,以O为坐标原点建立直角坐标系,使点A在x轴正半轴上,OA＝2,AB＝8,点C为AB边的中点,抛物线的顶点是原点O,且经过C点.

（1）填空:直线OC的解析式为 _______ ;

抛物线的解析式为 _______ ;

（2）现将该抛物线沿着线段OC移动,使其顶点M始终在线段OC上（包括端点O、C）,抛物线与y轴的交点为D,与AB边的交点为E;

①是否存在这样的点D,使四边形BDOC为平行四边形？如存在,求出此时抛物线的解析式;如不存在,说明理由;

②设△BOE的面积为S,求S的取值范围.

word/media/image46.gif

数学参考答案及评分意见

一．选择题：

二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共计24分.）

13.x≥-2 14.甲

15.4 16.π 17.3 18. word/media/image47.gif

三.解答题:

19.(本题满分16分)

（1）50428203dc16ddee19e18c2282f94743.png

＝291a24814efa2661939c57367281c819c.png－1＋8－291a24814efa2661939c57367281c819c.png………………………………6分

=7……………………………………………………8分

（2）4a9b91c883b3303b89020d818d4ebdc0.png

＝4a9b91c883b3303b89020d818d4ebdc0.png×c5d8b306b9ef198ff32ef8cdca5cabad.png………………………………5分

＝a6e5d606ffeafc19b49135f95161f664.png………………………………8分

20.(本小题满分12分）

（1）

………………………………6分

或

…………………………6分

（2）落在直线y=fbcd78af9d95492f193452b4d6a1b9b6.png上的点Q有:(1,-3);(2,-4)

∴P=a79336e0e57461dc860c2d224bbc3e7b.png=7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png ………………………………12分

21.解：如图,∵CD∥AB,∴∠CAB=30°,∠CBF=60°; ……………………2分

∴∠BCA=60-30=30°,即∠BAC=∠BCA; ………………………………4分

∴BC=AB=3米; ………………………………6分

Rt△BCF中,∠CBF=3米,∠CBF=60°; ………………………………8分

∴BF= BC=1.5米; ………………………………10分

故x=BF-EF=0.7米. ………………………………12分

22.（1）连结OC.

∵CF⊥AB ,CE⊥AD,且CE=CF

∴∠CAE=∠CAB

∵ OC=OA

∴ ∠CAB＝∠OCA

∴∠CAE＝∠OCA

∴∠OCA＋∠ECA＝∠CAE＋∠ECA＝90°……………………4分

又∵OC是⊙O的半径

∴CE是⊙O的切线………………………………6分

（2）∵AD=CD

∴∠DAC=∠DCA=∠CAB

∴DC//AB

∵∠CAE＝∠OCA

∴OC//AD

∴四边形AOCD是平行四边形

∴OC=AD=6，AB＝12

重点高中提前招生模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上

一.选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的,请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.）

1.16的平方根是（ ）

A.4 B.－4 C.±4 D.±8

2.下列运算正确的是（ ）

A．cb5b59be5a79af10f68acd2f7163cbae.png B．a7b95286d3f0c4664c90f2771bcefcf4.png C．d350f6d507c4d03cbb61d11ea03f0a95.png D. 9a77b306311ccf898a8d2db571677476.png

3.下列美丽的图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）

word/media/image5.gif

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.如图,桌面上有一个一次性纸杯,它的俯视图应是（ ）

word/media/image6.gif

5.某学习小组为了解本城市500万成年人中大约有多少人吸烟,随机调查了50个成年人,结果其中有10个成年人吸烟.对于这个数据收集与处理的问题,下列说法正确的是（ ）

A.该调查的方式是普查 B.本地区只有40个成年人不吸烟

C.样本容量是50 D.本城市一定有100万人吸烟

6 杭州银泰百货对上周女装的销售情况进行了统计，如下表所示：

经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（ 　 ）

A．平均数 B． 众数 C．中位数 D．方差

7.两圆的半径分别为3和7,圆心距为7,则两圆的位置关系是（ ）

A. 内切 B.相交 C.外切 D.外离

8.在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,若BC＝5,则DE的长是（ ）

word/media/image9.gif A.2.5 B.5 C.10 D.15

9.如右图,一次函数y＝kx＋b的图象经过A、B两点,

则不等式kx＋b < 0的解集是（ ）

A.x ＜0 B. 0＜ x ＜１

C.x＜１ D. x ＞１

10.某剧场为希望工程义演的文艺表演有60元和100元两种票价,某团体需购买140张,其中票价为100元的票数不少于票价为60元的票数的两倍,则购买这两种票最少共需要（ ）

A.12120元 B.12140元 C.12160元 D.12200元

11.若2eeff1c69e97f09c350d9eb98e136704.png，且0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png≥292eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，则（ ）

A.7756054cd009f0b026e285b9c68bb181.png有最小值93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png B.7756054cd009f0b026e285b9c68bb181.png有最大值1

C.033b571c237d78ae1c9908427fdf52ce.png有最大值2 D.033b571c237d78ae1c9908427fdf52ce.png有最小值39c299968c6db24fdad65f19deee0e8d.png

12.在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E，F分别在线段AB，CD上），记它们的面积分别为5adfedb7947a6f280476f75fee42f453.png和b50adfbc4b889617aef95b28f9d9d956.png，现给出下列命题：

①若6bfbb34ed275a940bea5cacdc66e2074.png，则b4cac85c987307877242096b223347a3.png；

②若31d10ea0a9427e61304de27a88f8adaa.png,则DF=2AD.则（ ）

A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题

C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题

二.填空题（本大题共6小题,每小题4分,共计24分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）

13.函数eaea60a0b0a315b7071a55f31685fe16.png中,自变量x的取值范围是 .

14.农科院对甲、乙两种甜玉米各10块试验田进行试验后,得到甲、乙两个品种每公顷的平均产量相同,而甲、乙两个品种产量的方差分别为word/media/image24_1.png,word/media/image25_1.png,则产量较为稳定的品种是_____________（填“甲”或“乙”）.

15.如图,早上10点小东测得某树的影长为2m,到了下午5时又测得该树的影长为8m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度约为_________m.

word/media/image26.gif

16.已知圆锥的底面半径为1cm,母线长为1cm,则它的侧面积是 cm2.

17.如图,在平面直角坐标系中,fa19c98b3e6304db320f533d68a9b1bb.png与415290769594460e2e485922904f345d.png轴相切于原点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png,平行于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的直线交fa19c98b3e6304db320f533d68a9b1bb.png于M、8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png两点,若点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png的坐标是6b4064a12795a13d5e59108bd5ed5e7c.png,则弦M8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png的长为 .

word/media/image35.gif

18.如图,已知△OP1A1△、A1P2A2、△A2P3A3……均为等腰直角三角形,直角顶点P1、P2 、P3……在函数623b04d45c26bcf2cdf6d78be8a7895a.png（x＞0）图象上,点A1、A2、A3……在x轴的正半轴上,则点P2011的横坐标为 .

三.解答题（本大题共10小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.(本题满分16分)

（1）计算:50428203dc16ddee19e18c2282f94743.png

（2）化简50428203dc16ddee19e18c2282f94743.png

20.(本小题满分12分）

有A、B两个黑布袋,A布袋中有两个完全相同的小球,分别标有数字1和2;B布袋中有三个完全相同的小球,分别标有数字02e3c1cfd03c87011d3b438dee3b08c4.png,02e3c1cfd03c87011d3b438dee3b08c4.png和－4.小明从A布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为x,再从B布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为y,这样就确定点Q的一个坐标为(x,y).

（1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标;

（2）求点Q落在直线y=1b6b3e808a3cc205dfcbe4e119f59025.png上的概率.

21.(本题满分12分）如图,一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下,汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA＝30°和∠DCB＝60°,如果斑马线的宽度是AB＝3米,驾驶员与车头的距离是0.8米,这时汽车车头与斑马线的距离x是多少?

word/media/image42.gif

22.(本题满分12分）已知:如图,AB是⊙O的直径,C、D为⊙O上两点,CF⊥AB于点F,CE⊥AD的延长线于点E,且 CE＝CF.

（1）求证:CE是⊙O的切线;

（2）若AD＝CD＝6,求四边形ABCD的面积.

word/media/image43.gif

23.(本题满分12分）已知在图1、2、3中AC均平分∠MAN.

word/media/image44.gif

⑴ 在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,我们可得结论:AB+AD=AC;

在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则上面的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;

（4）在图3中:（只要填空,不需要证明）.

①若∠MAN=60°,∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD= AC;

②若∠MAN=α（0°＜α＜180°）,∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD= AC（用含α的三角函数表示）.

24.(本题满分12分）有六个学生分成甲、乙两组（每组三个人）,分乘两辆出租车同时从学校出发去距学校60km的博物馆参观,10分钟后到达距离学校12km处有一辆汽车出现故障,接着正常行驶的一辆车先把第一批学生送到博物馆再回头接第二批学生,同时第二批学生步行12km后停下休息10分钟恰好与回头接他们的小汽车相遇,当第二批学生到达博物馆时,恰好已到原计划时间.设汽车载人和空载时的速度分别保持不变,学生步行速度不变,汽车离开学校的路程s（千米）与汽车行驶时间t（分钟）之间的函数关系如图,假设学生上下车时间忽略不计.

(1)汽车载人时的速度为_______km/min;第一批学生到达博物馆用了_____分钟;原计划从学校出发到达博物馆的时间是______分钟;

(2)求汽车在回头接第二批学生途中（即空载时）的速度；

(3)假设学生在步行途中不休息且步行速度每分钟减小0.04km,汽车载人时和空载时速度不变,问能否经过合理的安排,使得学生从学校出发全部到达目的地的时间比原计划时间早10分钟？如果能,请简要说出方案,并通过计算说明;如果不能,简要说明理由.

25.(本题满分14分）如图,Rt△AOB中,∠A＝90°,以O为坐标原点建立直角坐标系,使点A在x轴正半轴上,OA＝2,AB＝8,点C为AB边的中点,抛物线的顶点是原点O,且经过C点.

（1）填空:直线OC的解析式为 _______ ;

抛物线的解析式为 _______ ;

（2）现将该抛物线沿着线段OC移动,使其顶点M始终在线段OC上（包括端点O、C）,抛物线与y轴的交点为D,与AB边的交点为E;

①是否存在这样的点D,使四边形BDOC为平行四边形？如存在,求出此时抛物线的解析式;如不存在,说明理由;

②设△BOE的面积为S,求S的取值范围.

word/media/image46.gif

数学参考答案及评分意见

一．选择题：

二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共计24分.）

13.x≥-2 14.甲

15.4 16.π 17.3 18. word/media/image47.gif

三.解答题:

19.(本题满分16分)

（1）50428203dc16ddee19e18c2282f94743.png

＝291a24814efa2661939c57367281c819c.png－1＋8－291a24814efa2661939c57367281c819c.png………………………………6分

=7……………………………………………………8分

（2）4a9b91c883b3303b89020d818d4ebdc0.png

＝4a9b91c883b3303b89020d818d4ebdc0.png×c5d8b306b9ef198ff32ef8cdca5cabad.png………………………………5分

＝a6e5d606ffeafc19b49135f95161f664.png………………………………8分

20.(本小题满分12分）

（1）

………………………………6分

或

…………………………6分

（2）落在直线y=fbcd78af9d95492f193452b4d6a1b9b6.png上的点Q有:(1,-3);(2,-4)

∴P=a79336e0e57461dc860c2d224bbc3e7b.png=7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png ………………………………12分

21.解：如图,∵CD∥AB,∴∠CAB=30°,∠CBF=60°; ……………………2分

∴∠BCA=60-30=30°,即∠BAC=∠BCA; ………………………………4分

∴BC=AB=3米; ………………………………6分

Rt△BCF中,∠CBF=3米,∠CBF=60°; ………………………………8分

∴BF= BC=1.5米; ………………………………10分

故x=BF-EF=0.7米. ………………………………12分

22.（1）连结OC.

∵CF⊥AB ,CE⊥AD,且CE=CF

∴∠CAE=∠CAB

∵ OC=OA

∴ ∠CAB＝∠OCA

∴∠CAE＝∠OCA

∴∠OCA＋∠ECA＝∠CAE＋∠ECA＝90°……………………4分

又∵OC是⊙O的半径

∴CE是⊙O的切线………………………………6分

（2）∵AD=CD

∴∠DAC=∠DCA=∠CAB

∴DC//AB

∵∠CAE＝∠OCA

∴OC//AD

∴四边形AOCD是平行四边形

∴OC=AD=6，AB＝12

中学自主招生数学试卷

一．选择题（满分24分，每小题3分）

1．下列计算正确的是（　　）

A．﹣＝ B．（）﹣1＝﹣ C．÷＝2 D．3﹣＝3

2．一组数据：2，3，3，4，若添加一个数据3，则发生变化的统计量是（　　）

A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

3．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．

4．如果关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，则a满足的条件是（　　）

A．a≠5 B．a≥1 C．a＞1且a≠5 D．a≥1且a≠5

5．如图，AB是半圆O的直径，C是OB的中点，过点C作CD⊥AB，交半圆于点D，则与的长度的比为（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5

6．如图：长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为（　　）

A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm

7．游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的2倍，设男孩有x人，女孩有y人，则下列方程组正确的是（　　）

A． B．

C． D．

8．如图，一次函数y1＝ax+b和反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，则使y1＞y2成立的x取值范围是（　　）

A．﹣2＜x＜0或0＜x＜4 B．x＜﹣2或0＜x＜4

C．x＜﹣2或x＞4 D．﹣2＜x＜0或x＞4

二．填空题（满分24分，每小题3分）

9．分解因式：x2﹣9x＝　 　．

10．袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有　 　个．

11．已知关于x，y的方程组的解满足x+y＝5，则k的值为　 　．

12．一个扇形的弧长是，它的面积是，这个扇形的圆心角度数是　 　．

13．如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA＝5，弦AC＝8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE．设∠BEC＝α，则sinα的值为　 　．

14．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是　 　．

15．已知△ABC的边BC＝4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是　 　．

16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AD为BC边上的高，动点P在AD上，从点A出发，沿A→D方向运动，设AP＝x，△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，y＝S1+S2，则y与x的关系式是　 　．

三．解答题

17．（6分）解不等式组并写出它的整数解．

18．（6分）解分式方程：﹣1＝．

19．（6分）在边长为1的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC为格点三角形（顶点是网格线的交点）．

（1）画出△ABC先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到的△A1B1C1；

（2）以点O为位似中心，在第一象限画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1．

20．（6分）重庆市物价局发出通知，从2011年2月18日起降低部分抗生素药品和神经系统类药品最高零售价格，共涉及162个品种，某药房对售出的抗生素药品A、B、C、D、E的销量进行统计，绘制成如下统计图：

（1）补全折线统计图；

（2）计算2月份售出各类抗生素销量的极差为　 　；

（3）2月份王老师到药房买了抗生素类药D、E各一盒，若D中有两盒是降价药，E中有一盒是降价药，请用画树状图或列表法求出他买到两盒都是降价药的概率．

21．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）若AB＝6，BC＝10，求EF的长．

22．（6分）在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造．

（1）原计划今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是多少千米？

（2）到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值．2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1：2，且里程数之比为2：1．为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入．经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%（a＞0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．

四．解答题

23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是的中点，延长AD至点E，使得AB＝BE．

（1）求证：△ACF∽△EBF；

（2）若BE＝10，tanE＝，求CF的长．

24．（8分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y＝﹣x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y＝的图象经过点M，N．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．

25．（10分）某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．

（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？

（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？

26．（10分）如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，点F（2，0），点E在第一象限，△OEF为等边三角形，连接AE，BE

（1）求点E的坐标；

（2）当BE所在的直线将△OEF的面积分为3：1时，求S△AEB的面积；

（3）取线段AB的中点P，连接PE，OP，当△OEP是以OE为腰的等腰三角形时，则b＝　 　（直接写出b的值）

参考答案

一．选择题

1．解：（A）原式＝﹣，故A错误；

（B）原式＝＝，故B错误；

（D）原式＝2，故D错误；

故选：C．

2．解：原数据的2、3、3、4的平均数为＝3，中位数为＝3，众数为3，方差为×[（2﹣3）2+（3﹣3）2×2+（4﹣3）2]＝0.5；

新数据2、3、3、3、4的平均数为＝3，中位数为3，众数为3，方差为×[（2﹣3）2+（3﹣3）2×3+（4﹣3）2]＝0.4；

∴添加一个数据3，方差发生变化，

故选：D．

3．解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．

故选：B．

4．解：由题意知，△＝（﹣4）2﹣4×（a﹣5）×（﹣1）≥0，且a﹣5≠0，

解得：a≥1且a≠5，

故选：D．

5．解：连接OD，

∵AB是半圆O的直径，C是OB的中点，

∴OD＝2OC，

∵CD⊥AB，

∴∠DOB＝60°，

∴∠AOD＝120°，

∴与的长度的比为，

故选：A．

6．解：设DE＝xcm，则BE＝DE＝x，AE＝AB﹣BE＝10﹣x，

在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2，

即x2＝（10﹣x）2+16．

解得：x＝5.8．

故选：C．

7．解：设男孩x人，女孩有y人，根据题意得出：

，

解得：，

故选：C．

8．解：观察函数图象可发现：当x＜﹣2或0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，

∴使y1＞y2成立的x取值范围是x＜﹣2或0＜x＜4．

故选：B．

二．填空题

9．解：原式＝x•x﹣9•x＝x（x﹣9），

故答案为：x（x﹣9）．

10．解：∵袋中装有6个黑球和n个白球，

∴袋中一共有球（6+n）个，

∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为，

∴＝，

解得：n＝2．

故答案为：2．

11．解：，

②×2﹣①，得3x＝9k+9，解得x＝3k+3，

把x＝3k+3代入①，得3k+3+2y＝k﹣1，解得y＝﹣k﹣2，

∵x+y＝5，

∴3k+3﹣k﹣2＝5，

解得k＝2．

故答案为：2

12．解：设扇形的半径为r，圆心角为n°．

由题意： •π•r＝π，

∴r＝4，

∴＝π，

∴n＝120，

故答案为120°

13．解：连结BC，如图，

∵AB是半圆的直径，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，AC＝8，AB＝10，

∴BC＝＝6，

∵OD⊥AC，

∴AE＝CE＝AC＝4，

在Rt△BCE中，

BE＝＝2，

∴sinα＝＝＝．

故答案为：．

14．解：如图，过点O作OC⊥AB的延长线于点C，

则AC＝4，OC＝2，

在Rt△ACO中，AO＝，

∴sin∠OAB＝．

故答案为：．

15．解：如图：连接BO，CO，

∵△ABC的边BC＝4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，

∴△OBC是等边三角形，

∴∠BOC＝60°，

∴∠A＝30°．

若点A在劣弧BC上时，∠A＝150°．

∴∠A＝30°或150°．

故答案为：30°或150°．

16．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AD为BC边上的高，AP＝x，

∴∠BAD＝∠CAD＝45°，BC＝4，AD＝2，

∴AP＝PE＝x，PD＝AD﹣AP＝2﹣x，

∴y＝S1+S2＝+（2﹣x）•x＝﹣x2+3x

故答案为：y═﹣x2+3x．

三．解答题

17．解：，

由①得：x≥﹣1，

由②得：x＜2，

∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2，

则不等式组的整数解为﹣1，0，1．

18．解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2）得：

（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝16

解得：x＝﹣2，

检验：当x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0，

∴x＝﹣2是原方程的增根，原方程无解．

19．解：（1）△A1B1C1；如图所示．

（2）△A2B2C2如图所示．

20．解：（1）2月份销售抗生素的总数是：6÷30%＝20（盒），

则E类的销售盒数是：20×10%＝2（盒），

则A类销售的盒数是：20﹣5﹣6﹣3﹣2＝4（盒），

；

（2）极差是：6﹣2＝4（盒）；

（3）若D中有两盒是降价药都用D表示，另一盒不降价的记作D1，E中有一盒是降价药记作E，另一盒记作E1，

则共有20种情况，他买到两盒都是降价药的有6种情况，则概率是：＝．

21．证明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，

∴四边形AECD是平行四边形，

∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，

∴AE＝CE＝BC，

∴四边形AECD是菱形；

（2）过A作AH⊥BC于点H，

∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，

∴AC＝，

∵，

∴AH＝，

∵点E是BC的中点，BC＝10，四边形AECD是菱形，

∴CD＝CE＝5，

∵S▱AECD＝CE•AH＝CD•EF，

∴EF＝AH＝．

法二：连接ED交AC于O，

由题意得：AC＝8，计算得ED＝6．

．

计算得5EF＝6✘4，

EF＝．

22．解：（1）设道路硬化的里程数是x千米，则道路拓宽的里程数是（50﹣x）千米，

根据题意得：x≥4（50﹣x），

解得：x≥40．

答：原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是40千米．

（2）设2017年通过政府投人780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数分别为2x千米、x千米，

2x+x＝45，

x＝15，

2x＝30，

设每千米的道路硬化和道路拓宽的经费分别为y万元、2y万元，

30y+15×2y＝780，

y＝13，

2y＝26，

2018年1至5月：道路硬化的里程为40千米，道路拓宽的里程为10千米，

由题意得：13（1+a%）•40（1+5a%）+26（1+5a%）•10（1+8a%）＝780（1+10a%），

设a%＝m，则520（1+m）（1+5m）+260（1+5m）（1+8m）＝780（1+10m），

10m2﹣m＝0，

m1＝，m2＝0（舍），

∴a＝10．

四．解答题

23．（1）证明：∵点D是的中点，

∴∠CAD＝∠BAE．

∵AB＝BE，

∴∠BAE＝∠E，

∴∠CAF＝∠E．

又∵∠AFC＝∠EFB，

∴△ACF∽△EBF；

（2）解：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°．

∵△ACF∽△EBF，

∴∠EBF＝∠ACF＝90°．

∵BE＝10，tanE＝，

∴BF＝BE•tanE＝．

∵∠CAF＝∠E，

∴AC＝3CF．

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝BE＝10，AC＝3CF，BC＝CF+，

∴AB2＝AC2+BC2，即102＝9CF2+（CF+）2，

解得：CF＝或CF＝﹣（舍去）．

∴CF的长为．

24．解：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，

∴OA＝BC＝2，

将y＝2代入y＝﹣x+3得：x＝2，

∴M（2，2），

将x＝4代入y＝﹣x+3得：y＝1，

∴N（4，1），

把M的坐标代入y＝得：k＝4，

∴反比例函数的解析式是y＝；

（2）由题意可得：

S四边形BMON＝S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON

＝4×2﹣×2×2﹣×4×1

＝4；

∵△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，

∴OP×AM＝4，

∵AM＝2，

∴OP＝4，

∴点P的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．

25．解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，

解得：，

即：函数的表达式为：y＝﹣20x+500，（25＞x≥6）；

（2）设：该品种蜜柚定价为x元时，每天销售获得的利润w最大，

则：w＝y（x﹣6）＝﹣20（x﹣25）（x﹣6），

∵﹣20＜0，故w有最大值，

当x＝﹣＝＝15.5时，w的最大值为1805元；

（3）当x＝15.5时，y＝190，

50×190＜12000，

故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；

设：应定销售价为x元时，既能销售完又能获得最大利润w，

由题意得：50（500﹣20x）≥12000，解得：x≤13，

w＝﹣20（x﹣25）（x﹣6），

当x＝13时，w＝1680，

此时，既能销售完又能获得最大利润．

26．解：（1）如图1，过E作EC⊥x轴于C，

∵点F（2，0），

∴OF＝2，

∵△OEF为等边三角形，

∴OC＝OF＝1，

Rt△OEC中，∠EOC＝60°，

∴∠OEC＝30°，

∴EC＝，

∴E（1，）；

（2）当BE所在的直线将△OEF的面积分为3：1时，存在两种情况：

①如图2，S△OED：S△EDF＝3：1，即OD：DF＝3：1，

∴D（，0），

∵E（1，），

∴ED的解析式为：y＝﹣2x+3，

∴B（0，3），A（3，0），

∴OB＝OA＝3，

∴S△AEB＝S△AOB﹣S△EOB﹣S△AOE＝×3×3﹣×3×1﹣×3×＝﹣﹣＝9﹣；

②S△OED：S△EDF＝1：3，即OD：DF＝1：3，

∴D（，0），

∵E（1，），

∴ED的解析式为：y＝2x﹣，

∴B（0，﹣），

∵点B在y轴正半轴上，

∴此种情况不符合题意；

综上，S△AEB的面积是9﹣；

（3）存在两种情况：

①如图3，OE＝EP，过E作ED⊥y轴于D，作EM⊥AB于M，作EG⊥OP于G，

∵△AOB是等腰直角三角形，P是AB的中点，

∴OP⊥AB，

∴∠EGP＝∠GPM＝∠EMP＝90°，

∴四边形EGPM是矩形，

∵OE＝EP，

∴EM＝PG＝OP＝AB＝，

∴S△AOB＝S△BOE+S△AOE+S△ABE，

＝++，

b＝2+2．

②如图4，当OE＝OP时，则OE＝OP＝2，

∵△AOB是等腰直角三角形，P是AB的中点，

∴AB＝2OP＝4，

∴OB＝2，即b＝2，

故答案为：2+2或2．

中学自主招生数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共24分）每小题只有一个正确选项.

1．在实数0，﹣，，|﹣2|中，最小的是（　　）

A． B．﹣ C．0 D．|﹣2|

2．下列运算正确的是（　　）

A．﹣（﹣x+1）＝x+1 B．

C． D．（a﹣b）2＝a2﹣b2

3．下列四个多项式，哪一个是2x2+5x﹣3的因式（　　）

A．2x﹣1 B．2x﹣3 C．x﹣1 D．x﹣3

4．如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（　　）

A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D．2m+6

5．关于x的方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况描述正确的是（　　）

A．k为任何实数，方程都没有实数根

B．k为任何实数，方程都有两个实数根

C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根

D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种

6．某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛得分情况用图表示如下：

对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是（　　）

A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差

B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数

C．甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数

D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定

7．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（　　）

A．6折 B．7折 C．8折 D．9折

8．一个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是（　　）

A． B．

C． D．

9．下列说法中

①一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等

②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2

③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形

④Rt△ABC中，∠C＝90°，两直角边a、b分别是方程x2﹣7x+7＝0的两个根，则AB边上的中线长为

正确命题有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

10．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　）

A．2 B．2+ C．2 D．2+

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共24分）

11．化简：÷＝　 　．

12．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝　 　度．

13从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是　 　．

14．已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ，EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝80°，则∠EGC的度数为　 　．

15．以数轴上的原点O为圆心，3为半径的扇形中，圆心角∠AOB＝90°，另一个扇形是以点P为圆心，5为半径，圆心角∠CPD＝60°，点P在数轴上表示实数a，如图．如果两个扇形的圆弧部分（和）相交，那么实数a的取值范围是　 　．

16．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标是　 　．

三、（本大题共3个小题，每小题各6分，共18分）

17．先化简，再求值：（﹣2），其中x＝2．

18．分别按下列要求解答：

（1）在图1中．作出⊙O关于直线l成轴对称的图形；

（2）在图2中．作出△ABC关于点P成中心对称的图形．

19．某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．

（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？

（2）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算？

四、（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）

20．根据全国人口普查结果显示：某市常住人口总数由第五次的400万人增加到第六次的450万人，常住人口的学历状况统计图如下（部分信息未给出）：

解答下列问题：

（1）计算第六次人口普查小学学历的人数，并把条形统计图补充完整；

（2）第六次人口普查结果与第五次相比，该市常住人口中高中学历人数增长的百分比是多少？

21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．

（1）若AC＝6，AB＝10，求⊙O的半径；

（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

22．如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．

（1）求证：AD＝AE；

（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．

23．设，，，…，．若，求S（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．

六、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

24．在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．

（1）当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；

（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；

（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．

25．在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一动点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．

（1）若点E与点P重合，求k的值；

（2）连接OE、OF、EF．请将△OEF的面积用k表示出来；

（3）是否存在点E使△OEF 的面积为△PEF面积的2倍？若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共24分）每小题只有一个正确选项.

1．（3分）在实数0，﹣，，|﹣2|中，最小的是（　　）

A． B．﹣ C．0 D．|﹣2|

【解答】解：|﹣2|＝2，

∵四个数中只有﹣，﹣为负数，

∴应从﹣，﹣中选；

∵|﹣|＞|﹣|，

∴﹣＜﹣．

故选：B．

2．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．﹣（﹣x+1）＝x+1 B．

C． D．（a﹣b）2＝a2﹣b2

【解答】解：A、﹣（﹣x+1）＝x﹣1，故本选项错误；

B、＝3﹣故本选项错误；

C、|﹣2|＝2﹣故本选项正确；

D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2故本选项错误；

故选：C．

3．（3分）下列四个多项式，哪一个是2x2+5x﹣3的因式（　　）

A．2x﹣1 B．2x﹣3 C．x﹣1 D．x﹣3

【解答】解：∵2x2+5x﹣3

＝（2x﹣1）（x+3），

2x﹣1与x+3是多项式的因式，

故选：A．

4．（3分）如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（　　）

A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D．2m+6

【解答】解：依题意得剩余部分为

（m+3）2﹣m2＝（m+3+m）（m+3﹣m）＝3（2m+3）＝6m+9，

而拼成的矩形一边长为3，

∴另一边长是＝2m+3．

故选：C．

5．（3分）关于x的方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况描述正确的是（　　）

A．k为任何实数，方程都没有实数根

B．k为任何实数，方程都有两个实数根

C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根

D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种

【解答】解：△＝k2﹣4（k﹣1）

＝k2﹣4k+4

＝（k﹣2）2，

∵（k﹣2）2，≥0，即△≥0，

∴原方程有两个实数根，当k＝2时，方程有两个相等的实数根．

故选：B．

6．（3分）某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛得分情况用图表示如下：

对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是（　　）

A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差

B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数

C．甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数

D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定

【解答】解：A、由图可知甲、乙运动员第一场比赛得分相同，第十二场比赛得分甲运动员比乙运动员得分高，所以甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，故A选项正确；

B、由图可知甲运动员得分始终大于乙运动员得分，所以甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故B选项正确；

C、由图可知甲运动员得分始终大于乙运动员得分，所以甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数，故C选项正确；

D、由图可知甲运动员得分数据波动性较大，乙运动员得分数据波动性较小，乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，故D选项错误．

故选：D．

7．（3分）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（　　）

A．6折 B．7折 C．8折 D．9折

【解答】解：设可打x折，则有1200×﹣800≥800×5%，

解得x≥7．

即最多打7折．

故选：B．

8．（3分）一个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是（　　）

A． B．

C． D．

【解答】解：因为x+y＝k（矩形的面积是一定值），

整理得y＝﹣x+k，

由此可知y是x的一次函数，图象经过第一、二、四象限，x、y都不能为0，且x＞0，y＞0，图象位于第一象限，

所以只有A符合要求．

故选：A．

9．（3分）下列说法中

①一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等

②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2

③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形

④Rt△ABC中，∠C＝90°，两直角边a、b分别是方程x2﹣7x+7＝0的两个根，则AB边上的中线长为

正确命题有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【解答】解：①一个角的两边垂直于另一个角的两边，这两个角互补或相等，所以①错误．

②数据1，2，2，4，5，7，中位数是（2+4）＝3，其中2出现的次数最多，众数是2，所以②正确．

③等腰梯形只是轴对称图形，而不是中心对称图形，所以③错误．

④根据根与系数的关系有：a+b＝7，ab＝7，

∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝49﹣14＝35，

即：AB2＝35，

AB＝

∴AB边上的中线的长为．所以④正确．

故选：C．

10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　）

A．2 B．2+ C．2 D．2+

【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．

∵PE⊥AB，AB＝2，半径为2，

∴AE＝AB＝，PA＝2，

根据勾股定理得：PE＝＝1，

∵点A在直线y＝x上，

∴∠AOC＝45°，

∵∠DCO＝90°，

∴∠ODC＝45°，

∴△OCD是等腰直角三角形，

∴OC＝CD＝2，

∴∠PDE＝∠ODC＝45°，

∴∠DPE＝∠PDE＝45°，

∴DE＝PE＝1，

∴PD＝．

∵⊙P的圆心是（2，a），

∴a＝PD+DC＝2+．

故选：B．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共24分）

11．（3分）化简：÷＝　　．

【解答】解：原式＝•＝．

故答案为：

12．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝　15　度．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°，

∵CG＝CD，

∴∠CDG＝30°，∠FDE＝150°，

∵DF＝DE，

∴∠E＝15°．

故答案为：15．

13．（3分）从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是　　．

【解答】解：

共有6种情况，在第四象限的情况数有2种，

所以概率为．

故答案为：．

14．（3分）已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ，EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝80°，则∠EGC的度数为　80°　．

【解答】解：由翻折可得∠B′＝∠B＝60°，

∴∠A＝∠B′＝60°，

∵∠AFD＝∠GFB′，

∴△ADF∽△B′GF，

∴∠ADF＝∠B′GF，

∵∠EGC＝∠FGB′，

∴∠EGC＝∠ADF＝80°．

故答案为：80°．

15．（3分）以数轴上的原点O为圆心，3为半径的扇形中，圆心角∠AOB＝90°，另一个扇形是以点P为圆心，5为半径，圆心角∠CPD＝60°，点P在数轴上表示实数a，如图．如果两个扇形的圆弧部分（和）相交，那么实数a的取值范围是　﹣4≤a≤﹣2　．

【解答】解：当A、D两点重合时，PO＝PD﹣OD＝5﹣3＝2，此时P点坐标为a＝﹣2，

当B在弧CD时，由勾股定理得，PO＝＝＝4，此时P点坐标为a＝﹣4，

则实数a的取值范围是﹣4≤a≤﹣2．

故答案为：﹣4≤a≤﹣2．

16．（3分）如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标是　（2，0）或（4，0）或（2，0）或（﹣2，0）．　．

【解答】解：（1）当点P在x轴正半轴上，

①以OA为腰时，

∵A的坐标是（2，2），

∴∠AOP＝45°，OA＝2，

∴P的坐标是（4，0）或（2，0）；

②以OA为底边时，

∵点A的坐标是（2，2），

∴当点P的坐标为：（2，0）时，OP＝AP；

（2）当点P在x轴负半轴上，

③以OA为腰时，

∵A的坐标是（2，2），

∴OA＝2，

∴OA＝OP＝2，

∴P的坐标是（﹣2，0）．

故答案为：（2，0）或（4，0）或（2，0）或（﹣2，0）．

三、（本大题共3个小题，每小题各6分，共18分）

17．（6分）先化简，再求值：（﹣2），其中x＝2．

【解答】解：原式＝＝×＝，

当x＝2时，原式＝﹣＝﹣1．

18．（6分）分别按下列要求解答：