人教版高中数学竞赛讲座：绝对值与二次根式
发布时间：2022-12-17 19:00:33 来源：文档文库
小
中
大
字号：
竞赛讲座25－绝对值与二次根式
1．绝对值
例1（1986年扬州初一竞赛题）设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0＜p＜15.对于满足p≤x≤15的x的来说，T的最小值是多少？解由已知条件可得
T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x.
∵当p≤x≤15时，上式中在x取最大值时T最小；当x=15时，T=30-15=15，故T的最小值是15.
例2若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间.
证设两数为a、b，则|a|+|b|=|a||b|.∴|b|=|a||b|-|a|=|a|（|b|-1）.∵ab≠0，∴|a|＞0，|b|＞0.∴|b|-1=＞0，∴|b|＞1.同理可证|a|＞1.
∴a、b都不在-1与1之间.
例3设a、b是实数，证明|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.
证明当|a|-|b|≤0时，|a|-|b|≤|a+b|成立.当|a|-|b|＞0时，由于（|a|-|b|）2-|a+b|2
=（a2+b2-2|ab|）-（a2+b2+2ab）=-2（|ab|-ab）≤0，∴|a|-|b|≤|a+b|.
同理可证|a+b|≤|a|+|b|.2．根式
在根式进行化简、求值和证明的过程中，常采用配方法、乘方法、比较系数法、设参法、公式法等等，现举例如下：
（1）配方法：将二次根号内的式子配成完全平方式，将三次根号下的式子配成完全立方式.
例4(1981年宁波初中竞赛题设的整数部分为x,小数部分为y,试求的值.解
=4-=2+(2-,故x=2,y=2-,∴x+y+=4-+2+=6.例5化简解原式=
=|x+3|+|x-1|-|x-2|.
令x+3=0，x-1=0，x-2=0.得x=-3
