人教版九年级上册数学课本知识点归纳

第二十一章二次根式

一、二次根式

1. 二次根式：把形如詔（a_0）的式子叫做二次根式，“表 示二次根号。

2.最简二次根式：若二次根式满足：①被开方数不含分母;② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 这样的二次根式叫做最简 二次根式。

3.化简：化二次根式为最简二次根式（1）如果被开方数是分数 (包括小数）或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的

形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整 式，先将他分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

4.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后，如果 被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

5.代数式：运用基本运算符号，把数和表示数的字母连起来的 式子，叫代数式。

6.二次根式的性质

(1)（心)2 =a(a 一0)

「 a(a≥0）

(2)Qa2 = a =Y

J - a(a"）

（3） ab = 。 a ・。b(a 一0，b 一 0）（乘法）

ja 芈（a”，b”）

（4） ’ b b （除法)

二、二次根式混合运算

1.二次根式加减时，可以把二次根式化成最简二次根式,再把 被开方数相同的最简二次根式进行合并。

2.二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样,先乘方，再 乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。

第二十二章一元二次方程

一、 一元二次方程

1、 一元二次方程

含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整 式方程叫做一元二次方程.

2、 一元二次方程的一般形式ax bx O（^^ O)，其中ax2叫做二 次项,a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；C叫 做常数项.

二、 降次-——-解一元二次方程

1.降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程（不管用

什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次 ）

2、 直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做

2

直接开平方法。直接开平方法适用于解形如 χ2=b或（Xa） =b的一元

二次方程。根据平方根的定义可知，X a是b的平方根，当b_0时，

x b ， X —a八b ,当b<0时,方程没有实数根。

3、配方法：配方法的理论根据是完全平方公式

2 2 2

a —2ab b ^a b），把公式中的a看做未知数X，并用X代替,则有

2 2 2

X 士 2bx b =(X 士 b）。

配方法解一元二次方程的步骤是：①移项、②配方 (写成平方形 式）、③用直接开方法降次、④解两个一元一次方程、⑤判断 2个根 是不是实数根.

4、公式法：公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。

2

一元二次方程aX bX 0(a HO)的求根公式：

当b2—4ac>0时，方程有两个实数根。

当b2—4ac=0时,方程有两个相等实数根.

当b —4ac V 0时，方程没有实数根。

5、因式分解法：先将一元二次方程因式分解，化成两个一次式

的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次， 这种解叫因式分解法。这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用

的方法。

三、一元二次方程根的判别式

2

根的判别式：一元二次方程 aX bχ∙c = O(a = O)中,b2-4ac叫做

2

一元二次方程aX bX 0(a HO)的根的判别式,通常用 f 来表示，

即八b2 -4ac

四、一元二次方程根与系数的关系

2

如果方程ax bx °（a O）的两个实数根是O χ2 ,由求根公式

第二十三章旋转

一、 旋转

1、 定义:把一个图形绕某一点 0转动一个角度的图形变换叫做 旋转，其中0叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、 性质

(1) 对应点到旋转中心的距离相等.

(2) 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

⑶旋转前后的图形全等.

二、 中心对称

1、 定义：把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的 图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做 中心对称图形， 这个点就是它的对称中心.

2、 性质

（1） 关于中心对称的两个图形是全等形。

（2) 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心， 并且被对称中心平分。

（3) 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线

上）且相等。

3、 判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这 一点平分,那么这两个图形关于这一点对称.

4、 中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转 180°，如果旋 转后的图形能够和原来的图形互相重合, 那么这个图形叫做中心对称 图形，这个店就是它的对称中心.

5、 关于原点对称的点的特征:两个点关于原点对称时，它们的

坐标的符号相反，即点P（X，y）关于原点的对称点为 P （—X，—y）

6、 关于X轴对称的点的特征:两个点关于 X轴对称时,它们的 坐标中，X相等，y的符号相反，即点P（x,y）关于X轴的对称点 为 P （x，-y )。

7、 关于y轴对称的点的特征：两个点关于 y轴对称时，它们的 坐标中，y相等,X的符号相反，即点P（x,y）关于y轴的对称点 为 P （-X，y ）.

第二十四章圆

一、圆的相关概念

1、圆的定义：在一个个平面内，线段OA绕它 固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之 旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O叫做圆 心,线段OA叫做半径

2、圆的几何表示：以点 O为圆心的圆记作“。O',读作“圆O'

、弦、弧等与圆有关的定义

（1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.

（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。（如途

中的CD 直径等于半径的2倍. （ Q ]

(3） 半圆:圆的任意一条直径的两个端点

B

分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（4） 弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称

弧。弧用符号“^"表示，以A， B为端点的弧记作“証"，读作“圆 弧AB'或“弧AB'。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示)； 小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）

三、 垂径定理及其推论

1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 弧。

推论1： （1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条 弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的 另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

四、 圆的对称性

1、 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都 是它的对称轴。

2、 圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

五、 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角

2、 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等， 所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦 或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都 分别相等。

六、 圆周角定理及其推论

1、 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2、 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一 半。

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的 圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径.

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三 角形是直角三角形。

七、 点和圆的位置关系

设。O的半径是r ,点P到圆心O的距离为d，则有：

d〈r=点P在。O内；

d=r=点P在。O上；

d>r二点P在。O夕卜。

八、 过三点的圆

1、 过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、 三角形的外接圆:经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的 外接圆。

3、 三角形的外心:三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂 直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心.

4、 圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)：圆内接四边形对 角互补。

九、 反证法

先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判 定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证 法。

十、直线与圆的位置关系

直线和圆有三种位置关系，具体如下：

(1） 相交:直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交,这 时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点；

（2） 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切,这 时直线叫做圆的切线，

(3） 相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。 如果O O的半径为r ，圆心O到直线I的距离为d,那么: 直线I与O O相交=d〈r；

直线I与O O相切U d=r；

直线I与O O相离二d>r；

十^一、切线的判定和性质

1、 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线.

2、 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

十二、切线长定理

1、 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的 线段的长叫做这点到圆的切线长。

2、 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相 等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

十三、三角形的内切圆

1、 三角形的内切圆:与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆.

2、 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角 平分线的交点,它叫做三角形的内心。

十四、圆和圆的位置关系

1、圆和圆的位置关系：如果两个圆没有公共点，那么就说这两 个圆相离，相离分为外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为 外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

2、圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距

3、 圆和圆位置关系的性质与判定

设两圆的半径分别为 R和r，圆心距为d,那么

两圆外离=d>R+r

两圆外切=d=R+r

两圆相交=R-r（ R≥r）

两圆内切二d=R-r（ R>r）

两圆内含二d〈R—r( R>r)

4、 两圆相切、相交的重要性质:如果两圆相切，那么切点一定 在连心线上,它们是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线；相交的两 个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

十五、正多边形和圆

1、 正多边形的定义:各边相等，各角也相等的多边形叫做正多 边形。

2、 正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就 可以做出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接 圆。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/3272c0bd2d60ddccda38376baf1ffc4ffe47e293.html