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2019年哈尔滨市道里区中考数学二模试卷含答案解析-

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2019 年黑龙江省哈尔滨市道里区中考数学二模试卷
一、选择题（每小题 3 分，共计 30 分） 1．下列各数中，最小的数是（

）










A．﹣ 2 B．0 C． D．3


2．下列运算正确的是（ ）
6﹣ a2 4 ．（ ）2 2+b2
A．a=a B a+b =a
．（ 3）2 2 6 ． 2
C 2ab =2a b D 3a?2a=6a
）
3．下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数是（
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
4．关于反比例函数 y=﹣ ，下列说法正确的是（ A．图象在第一、三象限
）
B．图象经过点（ 2，﹣ 8）
C．当 x＞ 0 时， y 随 x 的增大而减小 D．当 x＜ 0 时， y 随 x 的增大而增大




5．由五个完全相同的正方体组成如图的几何体，则下列说法正确的是（ ）
A．左视图与俯视图相同 C．主视图与俯视图相同


B．左视图与主视图相同 D．三种视图都相同
6．如图，沿 AC 方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，
从 AC上的一点 B 取∠ ABD=145°， BD=500米，∠ D=55°，使 A、C、E 在一条直线


上，那么开挖点 E 与 D 的距离是（ ）
第1页（共 30页）



A．500sin55 米° B．500cos35 °米 C． 500cos55 °米 D．500tan55 米°

7．如图，直线 a∥b∥c，直线 m、n 与 a、b、c 分别交于点 A、C、E 和 B、D、F，


若 AC=4，AE=10， BF= ，则 DF 的长为（
）
D．
A． B．10 C．3

8．月亮超市正在热销某种商品，其标价为每件
10 元，若这种商品打 7 折销售，
则每件可获利 1 元，设该商品每件的进价为 x 元，根据题意可列出的一元一次方

程为（
）
A．10×0.7﹣x=1 B． 10﹣x×0.7=1 C．（10﹣ x）× 0.7=1 D． 10 ﹣ x=1×

0.7

9．如图，△ ABC 为等腰直角三角形，∠ ACB=90°，将△ ABC 绕点 A 逆时针旋转
75°得到△ AB′ C，′过点 B′作 B′D⊥ CA，交 CA的延长线于点 D，若 AC=3
AD

的长为（
）


A．2
B．3 C．2 D．3
10．甲、乙两人匀速行走从同一地点到距离 1500 米处的图书馆，甲出发
5 分钟


后，乙出发并沿同一路线行走，乙的速度是甲的速度的 ．设甲、乙两人相距 s （米），甲行走的时间为 t （分），s 关于 t 的函数图象如图所示，下列说法

第2页（共 30页）

，则



①甲行走的速度是 30 米/ 分，乙的速度是 50 米/ 分；

②乙走了 7.5 分钟就追上了甲；

③当甲、乙两人到达图书馆时分别用了

50 分钟和 35 分钟；
360 米；

④甲行走 30.5 分钟或 38 分钟时，甲、乙两人相距 其中正确的个数是（


）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 11．将 102000000 用科学记数法表示为 12．在函数 y=
．






中，自变量 x 的取值范围是

．


13．计算 ﹣ 3 的结果是 ．

3﹣ 12a2+9a 分解因式的结果是 ．把多项式
14 4a



．



15．圆心角为 120°，半径为 2 的扇形，则这个扇形的面积为 16．不等式组

的解集是

．


．


17．不透明袋子中装有 2 个红球， 3 个白球和 a 个黄球，这些球除颜色外无其他 差别，若从这个袋子中随机摸出 个．




1 个球是红球的概率为



，则黄球的个数为


18．某种物品经过两次降价， 其价格为降价前的 81%，则平均每次降价的百分数 为．

19．已知等边三角形 ABC内接于圆 O，D 为直线 AB 上一点，若 AB=6，S△ BCD=3
则 OD 的长为
．





，

20．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，点 D 为 AB 中点，点 E 在 BC边上，BE=AD，


AE=6，∠ AED=45°，则线段 AC的长为 ．


第3页（共 30页）



三、解答题（其中 21-22 题各 7 分， 23-24 题各 8 分， 25-27 题各 10 分，共计 60

分）


21．先化简，再求代数式


﹣ ÷
的值，其中 a=2sin60 +3tan45° °．
22．图中的每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点叫做格点， 线段 AB

和 CD的端点 A、B、C、D 均在格点上．



（ 1）在图中画出以 AB 为一边的△ ABM，点 M 在格点上，使△ ABM 的面积为 4， 且有一个角的正切值是 ；
（ 2）在图中画出以∠ DCN 为顶角的等腰三角形 DCN（非直角三角形），点 N 在格点上，请直接写出△ AMN 的面积．


23．某市“创城办 ”为了解该市市民参加社会公益活动情况，随机抽查了部分市民一个月参加社会公益活动的天数， 并用得到的数据绘制了两幅统计图， 下面给出了两幅不完整的统计图：


第4页（共 30页）



请根据图中提供的信息，回答下列问题：



（ 1）求 a 的值，并补全条形统计图；
（ 2）请直接写出在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？
（ 3）如果该市市民约有 200000 人，请你估计参加 “公益活动时间不少于 7 天”的市民有多少人．

24．在正方形 ABCD中， E、F 分别为 BC、CD的中点， AE 与 BF相交于点 G．





（ 1）如图 1，求证： AE⊥BF；
（ 2）如图 2，将△ BCF沿 BF折叠，得到△ BPF，延长 FP 交 BA 的延长线于点 Q， 若 AB=4，求 QF 的值
25．“六一 ”儿童节将至，益智玩具店准备购进甲、乙两种玩具，若购进甲种玩具

80 个，乙种玩具 40 个，需要 800 元，若购进甲种玩具 50 个，乙种玩具 30 个，需要 550 元．


（ 1）求益智玩具店购进甲、乙两种玩具每个需要多少元？
（ 2）若益智玩具店准备 1000 元全部用来购进甲， 乙两种玩具， 计划销售每个甲种玩具可获利润 4 元，销售每个乙种玩具可获利润 5 元，且销售这两种玩具的总利润不低于 600 元，那么这个玩具店需要最多购进乙种玩具多少个？

26．在⊙ O 中， AB 为直径，点 P 在 AB 的延长线上， PC 与⊙相切于点 C，点 D

为


上的点，且 = ，连接 AD．
（ 1）如图 1，求证： 2∠A﹣∠ P=90°；
（ 2）如图 2，延长 AD、PC交于点 E，若∠ E=90°，求证： PC= AD；

（ 3）如图 3，延长 AD、PC交于点 E，点 F 在 AO 上，连接 DF、CF，∠ECF=∠AFD

﹣∠ CFP，DF=2，AB=6，求线段 CF的长．


第5页（共 30页）



27．如图，在平面直角坐标系中，点

O 为坐标原点，抛物线
y=ax2﹣ 10ax+16a（a
≠ 0）交 x 轴于 A、B 两点，抛物线的顶点为 D，对称轴与 x 轴交于点 H，且 AB=2DH．（ 1）求 a 的值；

（ 2）点 P 是对称轴右侧抛物线上的点，连接 PD，PQ⊥ x 轴于点 Q，点 N 是线段PQ上的点，过点 N 作 NF⊥DH 于点 F， NE⊥ PD交直线 DH 于点 E，求线段 EF的长；

（ 3）在（ 2）的条件下，连接 DN、DQ、PB，当 DN=2QN（ NQ＞3），2∠NDQ+

∠ DNQ=90°时，作 NC⊥PB交对称轴左侧的抛物线于点 C，求点 C 的坐标．


第6页（共 30页）



2019 年黑龙江省哈尔滨市道里区中考数学二模试卷

参考答案与试题解析


一、选择题（每小题 3 分，共计 30 分）

1．下列各数中，最小的数是（

）
A．﹣ 2 B．0


C． D．3
【考点】 实数大小比较．
【分析】 根据正数大于 0， 0 大于负数，可得答案．

【解答】 解：﹣ 2＜0＜ ＜3，

故﹣ 2 最小，

故选： A．




2．下列运算正确的是（ ）
6﹣ a2 4 ．（ ）2 2+b2
A．a=a B a+b =a
3）2 ．（ 2 6 ． 2
C 2ab =2a b D 3a?2a=6a
【考点】 单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式． 【分析】 A．先判断是否为同类项，再运算；

B．运用完全平方公式运算即可；

C．运用积的乘方运算法则；

D．运单项式乘单项式的运算法则：用单项式与单项式相乘，把他们的系数，相

同字母分别相乘， 对于只在一个单项式里含有的字母， 则连同它的指数作为积的

一个因式．

【解答】 解： A．a6 与 a2 不是同类项，不能合并，所以此选项错误；

B．（a+b）2 =a2+2ab+b2，所以此选项错误； C．（2ab3） 2=4a2b6，所以此选项错误；
2


D.3a?2a=6a，所以此选项正确．

故选 D．



3．下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数是（
第7页（共 30页）
）



A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

【考点】 中心对称图形；轴对称图形．

【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】 解：正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；圆是轴对称图形，也是中心对称图形；

正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形．

故选 B．


4．关于反比例函数 y=﹣ ，下列说法正确的是（ A．图象在第一、三象限
）
B．图象经过点（ 2，﹣ 8）

C．当 x＞ 0 时， y 随 x 的增大而减小 D．当 x＜ 0 时， y 随 x 的增大而增大

【考点】 反比例函数的性质．


【分析】 反比例函数 y= （k≠0）中的 k＜0 时位于第二、四象限，在每个象限


内， y 随 x 的增大而增大；在不同象限内， y 随 x 的增大而增大，根据这个性质选择则可．

【解答】解：A、因为 k=﹣4＜0，所以函数图象位于二、四象限，故本选项错误；B、因为 k=﹣4≠﹣ 8×2，所以图象不过点（ 2，﹣ 8），故本选项错误；

C、因为 k=﹣ 4＜ 0，所以函数图象位于二、四象限，在每一象限内

y 随 x 的增大
而增大，故本选项错误；

D、因为 k=﹣4＜0，所以函数图象位于二、四象限，在每一象限内

y 随 x 的增大
而增大，故本选项正确；

故选 D．


5．由五个完全相同的正方体组成如图的几何体，则下列说法正确的是（

）
第8页（共 30页）



A．左视图与俯视图相同

B．左视图与主视图相同 D．三种视图都相同
C．主视图与俯视图相同


【考点】 简单组合体的三视图．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图， 从左边看得到的图形是左视图， 可

得答案．

【解答】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三

层左边一个小正方形，

从左边看第一层是两个小正方形， 第二层左边一个小正方形， 第三层左边一个小

正方形，

故选： B．


6．如图，沿 AC 方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，

从 AC上的一点 B 取∠ ABD=145°， BD=500米，∠ D=55°，使 A、C、E 在一条直线

上，那么开挖点 E 与 D 的距离是（


）
A．500sin55 米° B．500cos35 °米 C． 500cos55 米° D．500tan55 米°

【考点】 解直角三角形的应用．

【分析】由∠ ABC度数求出∠ EBD度数，进而确定出∠ E=90°，在直角三角形 BED

中，利用锐角三角函数定义即可求出

ED的长．
【解答】 解：∵∠ ABD=145°，

∴∠ EBD=35°，


第9页（共 30页）



∵∠ D=55°，

∴∠ E=90°，

在 Rt△BED中， BD=500米，∠ D=55°，

∴ ED=500cos55°米，故选 C


7．如图，直线 a∥b∥c，直线 m、n 与 a、b、c 分别交于点 A、C、E 和 B、D、F， 若 AC=4，AE=10， BF= ，则 DF 的长为（
）
A． B．10 C．3 D．
【考点】 平行线分线段成比例．
【分析】 根据平行线分线段成比例定理得到


，代入数据即可得到结论．
【解答】 解：∵ AC=4， AE=10，




∴ CE=6， ∵直线 a∥ b∥c， ∴
， ，


即






∴ DF= ， 故选 A．
8．月亮超市正在热销某种商品，其标价为每件


10 元，若这种商品打 7 折销售，
则每件可获利 1 元，设该商品每件的进价为 x 元，根据题意可列出的一元一次方 程为（


）
第 10 页（共 30 页）

A．10×0.7﹣x=1 B． 10﹣x×0.7=1 C．（10﹣ x）× 0.7=1 D． 10 ﹣ x=1×
0.7
【考点】 由实际问题抽象出一元一次方程．
【分析】设该商品每件的进价为 x 元，根据题意可得，售价为 0.7× 10 元，根据
利润 =售价﹣进价，代入列方程即可．
【解答】 解：设该商品每件的进价为 x 元，
由题意得， 10× 0.7﹣x=1．
故选 A．
9．如图，△ ABC 为等腰直角三角形，∠ ACB=90°，将△ ABC 绕点 A 逆时针旋转
75°得到△ AB′ C，′过点 B′作 B′D⊥ CA，交 CA的延长线于点 D，若 AC=3
AD
的长为（
）
A．2
B．3 C．2 D．3
【考点】 旋转的性质．
【分析】 直接利用等腰直角三角形的性质得出∠ CAB=∠B=45°，再利用勾股定理
得出 AB 的长，再利用旋转的性质得出
AB′的长，再结合直角三角形的性质求出
答案．
【解答】 解：∵△ ABC为等腰直角三角形，∠ ACB=90°，
∴∠ CAB=∠B=45°，
∵ AC=BC=3 ，
∴ AB=6，
∵将△ ABC绕点 A 逆时针旋转 75°得到△ AB′C，′ ∴∠ B′AB=75，°AB′=6，
∴∠ DAB′=180﹣°75°﹣45°=60°，
∵ B′D⊥CA， ∴∠ DB′A=30，°
第 11 页（共 30 页）













，则























∴ AD= AB′=3． 故选： B．
10．甲、乙两人匀速行走从同一地点到距离 1500 米处的图书馆，甲出发


5 分钟
后，乙出发并沿同一路线行走，乙的速度是甲的速度的 ．设甲、乙两人相距 s （米），甲行走的时间为 t （分），s 关于 t 的函数图象如图所示，下列说法①甲行走的速度是 30 米/ 分，乙的速度是 50 米/ 分；

②乙走了 7.5 分钟就追上了甲；③当甲、乙两人到达图书馆时分别用了 50 分钟和 35 分钟；④甲行走 30.5 分钟或 38 分钟时，甲、乙两人相距 360 米；

其中正确的个数是（


）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

【考点】 一次函数的应用．


【分析】 ①正确．先求出甲的速度，根据


即可解决问题．
②正确．设乙走了 x 分钟就追上了甲，列出方程即可解决问题．

③正确．求出两地路程，即可解决问题．

④正确．设甲行走 y 分钟时，甲、乙两人相距 360 米，列出方程即可解决问题．


【解答】解：①正确．甲的速度 =


=30 米/ 分，乙的速度 =
×30=50 米/ 分．故
①正确，

②正确．设乙走了 x 分钟就追上了甲，则（ 50﹣ 30）x=150，x=7.5，故②正确，

③错误．由图象可知当乙到达图书馆时用了

30 分钟，
第 12 页（共 30 页）



30×50=1500 米，

1500÷30=50 分，所以甲到达图书馆时用了 50 分钟，故③错误，

④正确．设甲行走 y 分钟时，甲、乙两人相距 360 米，由题意 50（y﹣5）﹣ 30y=360，解得 y=30.5，

或 30y=1500﹣360，解得 y=38，

故④正确，

所以①②④正确，

故选 C．


二、填空题（每小题 3 分，共 30 分）


11．将 102000000 用科学记数法表示为 【考点】 科学记数法

1.02× 108


．


—

表示较大的数．



a× 10n 的形式，其中 1≤ a ＜ 10，n 为整数．确
【分析】科学记数法的表示形式为 | |
定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞ 1 时， n 是正数；当原数的绝对值＜ 1 时， n

是负数．

【解答】 解：将 102000000 用科学记数法表示为 1.02×108．
8
故答案为： 1.02×10 ．


12．在函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 x≠﹣ ．
【考点】 函数自变量的取值范围．
【分析】 根据分母不等于 0 列式计算即可得解．

【解答】 解：由题意得， 2x+3≠ 0，


解得 x≠﹣ ．


第 13 页（共 30 页）

故答案为： x≠﹣ ．
13．计算
﹣ 3 的结果是 3﹣ ．
【考点】 实数的运算．
【分析】 原式利用立方根、平方根定义计算即可得到结果．
【解答】 解：原式 =3﹣3×
=3﹣ ，
故答案为： 3﹣
．
14．把多项式 4a3﹣ 12a2+9a 分解因式的结果是
a（2a﹣ 3） 2 ．
【分析】 原式提取 a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】 解：原式 =a（4a2﹣12a+9）=a（ 2a﹣3）2，故答案为： a（ 2a﹣3）2
15．圆心角为 120°，半径为 2 的扇形，则这个扇形的面积为 ．【考点】 扇形面积的计算．
【分析】 直接根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】 解：∵ n=120°， R=2，
∴S=
= ．
故答案为：
．
16．不等式组 的解集是 x≤2 ．
【考点】 解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】 解：解不等式 x＞ 2x﹣3，得： x＜ 3，
解不等式 4x≤3x+2，得： x≤ 2，
第 14 页（共 30 页）


































∴不等式组的解集为： x≤2，

故答案为： x≤ 2．


17．不透明袋子中装有 2 个红球， 3 个白球和 a 个黄球，这些球除颜色外无其他 差别，若从这个袋子中随机摸出 个．
1 个球是红球的概率为 ，则黄球的个数为
5

【考点】 概率公式．


【分析】设有 x 个黄球，根据红球的概率为 ，列出算式，求出黄球的个数即可．


【解答】 解：设有 x 个黄球，根据题意得：


= ，

解得： x=5，

答：黄球的个数为 5 个；

故答案为： 5．


18．某种物品经过两次降价， 其价格为降价前的 81%，则平均每次降价的百分数

为10%．

【考点】 一元二次方程的应用．

【分析】设平均每次降价的百分数为

x，根据题意列出方程，求出方程的解即可
得到结果．

【解答】 解：设平均每次降价的百分数为 x，

根据题意得：（1﹣x） 2=81%，

开方得： 1﹣ x=0.9 或 1﹣x=﹣0.9，

解得： x1=0.1=10%， x2=1.9，

则平均每次降价得百分数为 10%．

故答案为： 10%．


19．已知等边三角形 ABC内接于圆 O，D 为直线 AB 上一点，若 AB=6，S△ BCD=3 ，

则 OD的长为 2或 2


．
第 15 页（共 30 页）



【考点】 三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．

【分析】根据题意画出图形， 进而利用等边三角形的性质以及结合勾股定理分别得出 OD 的长．
【解答】 解：如图所示：过点 O 作 ON⊥ AB，连接 DO，
∵等边三角形 ABC内接于圆 O， AB=6，
∴△ ABC的高为： 3 ，则 NO= × 3 =
，
∴ S△ ABC=9 ，
∵ S△ BCD=3 ，
∴ BD= AB=2，
∵ ON⊥ AB，
∴ BN=AN=3，
∴ DN=1，
∴ DO=
=2，
当 D 点在△ ABC的外面，可得 DN=5，DO=
=2 ．
故答案为： 2或 2
．
20．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，点 D 为 AB 中点，点 E 在 BC边上，AE=6，∠ AED=45°，则线段 AC的长为 ．
【考点】 全等三角形的判定与性质；勾股定理．
第 16 页（共 30 页）
BE=AD，
























【分析】如图，作 AG⊥ ED于 G，BH⊥ED 于 H．首先证明 AG=EG=3 ，由△ ADG ≌△ BDH，推出 DH=DG=EH= ，设 AC=x， EC=y，利用勾股定理构建方程组即可解决问题．

【解答】 解：如图，作 AG⊥ ED于 G，BH⊥ED于 H．
∵ AD=BD=BE， BH⊥DE，
∴ HD=HE，
∵∠ AGE=90°，∠ AEG=45°，
∴∠ GAE=∠GEA=45°，
∵ AE=6，
∴ GA=GE=3 ，
在△ ADG和△ BDH 中，
，
∴△ ADG≌△ BDH，
∴ DH=DG=EH= ，
在 Rt△ADG中， AD=
=2 ，
∴ AB=4 ，设 AC=x，EC=y，
则有
，解得 ．
∴AC=
．
故答案为
．
三、解答题（其中 21-22 题各 7 分， 23-24 题各 8 分，第 17 页（共 30 页）
题各 10 分，共计 60























25-27





分）

21．先化简，再求代数式



﹣÷
的值，其中 a=2sin60 °3tan45 °．
+

【考点】 分式的化简求值；特殊角的三角函数值． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简， 进行计算即可．
【解答】 解：原式 =﹣ = = =



再求出 a 的值，代入原式

×



﹣






，


a=2sin60 °3tan45 °=2×
当 + 原式==



3×1= + ．

3 时， +

= =

22．图中的每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点叫做格点， 线段 AB

和 CD的端点 A、B、C、D 均在格点上．



（ 1）在图中画出以 AB 为一边的△ ABM，点 M 在格点上，使△ ABM 的面积为 4， 且有一个角的正切值是 ；
（ 2）在图中画出以∠ DCN 为顶角的等腰三角形 DCN（非直角三角形），点 N 在格点上，请直接写出△ AMN 的面积．


【考点】 作图 —应用与设计作图；等腰三角形的判定；解直角三角形．

【分析】（1）根据网格可得 AB=4，因此所作三角形高应为 2，再根据∠ BAM 的正切值为 确定 M 的位置；


第 18 页（共 30 页）



（ 2）以 C 为端点画 CN=DC即可．

【解答】 解：（1）如图所示，△ ABM 即为所求；


；


（ 2）如图所示，△ DCN的面积为： 4× 4﹣


2×2﹣ 2× 4﹣ 2×4=6．
23．某市“创城办 ”为了解该市市民参加社会公益活动情况，随机抽查了部分市民一个月参加社会公益活动的天数， 并用得到的数据绘制了两幅统计图， 下面给出了两幅不完整的统计图：


请根据图中提供的信息，回答下列问题：



（ 1）求 a 的值，并补全条形统计图；
（ 2）请直接写出在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？
（ 3）如果该市市民约有 200000 人，请你估计参加 “公益活动时间不少于 7 天”的市民有多少人．


【考点】 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数；众数． 【分析】（1）用 1 减去其他天数所占的百分比即可得到 a 的值，进而可补全条形

（ 3）用总人数乘以参加 “公益活动时间不少于 7 天”人数所占的百分比即可求出


统计图；
（ 2）根据众数和中位数的定义即可求出答案；
第 19 页（共 30 页）



答案．

【解答】 解：（1）扇形统计图中 a=1﹣40%﹣ 20%﹣25%﹣5%=10%，

被调查的总人数 =240÷40%=600（人），所以 8 天的人数 =600×10%=60（人）；补全统计图如图所示：






（ 2）众数是 5，中位数是 6；
（ 3） 200000×（ 25%+10%+5%）=80000（人）．
所以估计参加 “公益活动时间不少于 7 天”的市民有 80000 人．
24．在正方形 ABCD中， E、F 分别为 BC、CD的中点， AE 与 BF相交于点 G．





（ 1）如图 1，求证： AE⊥BF；
（ 2）如图 2，将△ BCF沿 BF折叠，得到△ BPF，延长 FP 交 BA 的延长线于点 Q，
若 AB=4，求 QF 的值
【考点】 正方形的性质；翻折变换（折叠问题） ．

【分析】（1）首先证明△ ABE≌△ BCF，再利用角的关系求得∠ BGE=90°，即可证

明 AE⊥ BF；

（ 2）由△ BCF沿 BF 对折，得到△ BPF可得 FP=FC，∠ PFB=∠ BFC，∠FPB=90，在

利用角的关系求出 QF=QB，设设 QF=x，在 Rt△BPQ中，利用勾股定理可建立关

于 x 的方程解方程求出 x 的值即可．


第 20 页（共 30 页）



【解答】（1）证明：

∵ E， F 分别是正方形 ABCD边 BC，CD的中点，



∴ CF=BE，
在△ ABE和△ BCF中，
∴ Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），


∴∠ BAE=∠CBF，
又∵∠ BAE+∠BEA=90°， ∴∠ CBF+∠BEA=90°，

∴∠ BGE=90°，



∴ AE⊥BF； （ 2）解：
∵将△ BCF沿 BF 折叠，得到△ BPF， ∴ FP=FC，∠ PFB=∠BFC，∠

FPB=90°， ∵ CD∥AB，
∴∠ CFB=∠ABF，


∴∠ ABF=∠PFB，
∴ QF=QB，
设 QF=x，PB=BC=AB=4，CF=PF=2， ∴ QB=x， PQ=x﹣ 2，

在 Rt△BPQ中，

∴ x2=（ x﹣2）2+42，

解得： x=5，

即 QF=5．


25．“六一 ”儿童节将至，益智玩具店准备购进甲、乙两种玩具，若购进甲种玩具

80 个，乙种玩具 40 个，需要 800 元，若购进甲种玩具 50 个，乙种玩具 30 个，需要 550 元．


第 21 页（共 30 页）




（ 1）求益智玩具店购进甲、乙两种玩具每个需要多少元？
（ 2）若益智玩具店准备 1000 元全部用来购进甲， 乙两种玩具， 计划销售每个甲种玩具可获利润 4 元，销售每个乙种玩具可获利润 5 元，且销售这两种玩具的总利润不低于 600 元，那么这个玩具店需要最多购进乙种玩具多少个？

【考点】 一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．

【分析】（1）设甲种玩具每个 x 元，乙种玩具每个 y 元，根据：①甲种玩具


80
个费用 +乙种玩具 40 个的费用 =800 元，②甲种玩具 50 个费用 +乙种玩具 30 个费 用 =550 元，列方程组求解即可；


（ 2）设购进乙种玩具 a 个，则购进甲种玩具


=200﹣2a（个），根据销
售这两种玩具的总利润不低于


600 元建立不等式求出其解即可．
【解答】 解：（1）设甲种玩具每个 x 元，乙种玩具每个 y 元， 根据题意，得： 解得：
，

，


答：甲种玩具每个 5 元，乙种玩具每个 10 元．


（ 2）设购进乙种玩具 a 个，则甲种玩具


=200﹣ 2a（个），
根据题意，得： 4+5a≥600，


解得： a≤66 ，


∵ a 是正整数，




∴ a 的最大值为 66，
答：这个玩具店需要最多购进乙种玩具 66 个．
26．在⊙ O 中， AB 为直径，点 P 在 AB 的延长线上， PC 与⊙相切于点 C，点 D

为


上的点，且 = ，连接 AD．
（ 1）如图 1，求证： 2∠A﹣∠ P=90°；
（ 2）如图 2，延长 AD、PC交于点 E，若∠ E=90°，求证： PC= AD；

（ 3）如图 3，延长 AD、PC交于点 E，点 F 在 AO 上，连接 DF、CF，∠ECF=∠AFD

﹣∠ CFP，DF=2，AB=6，求线段 CF的长．

第 22 页（共 30 页）



【考点】 圆的综合题．

【分析】（1）先由切线得出∠ POC=90°﹣∠ P，再由两弧相等得出∠ AOD=∠ POC，

最后用三角形的内角和为 180°即可得出结论；

（ 2）先判断出 OC∥ AD 得出∠ POC=∠ A，借助（1）结论求出∠ P=30°，得

出 PC= OC，再判断出四边形 AOCD是平行四边形，即可得出结论；
（ 3）先由切线的性质和折叠的性质∠ECF=∠ NHF，再结合已知得出∠ GFH=∠
NHF，用 CD∥AB，得出∠ DCH=90°，即 DH 是⊙ O 的直径，进而得出∠ FGH是直

角，再用

等角的余角相等得出∠ FHG=∠ FHD，进而用角平分线定理得出 HG=3GF，在直角

三角形 DGH中，用勾股定理求出 GF，HG，即可求出 HD 即可．

【解答】 解：（1）如图 1，


连接 OC，OD，

∵ PC是⊙ O 的切线， ∴∠ OCP=90°， ∴∠


POC=90°﹣∠ P，
∵

= ，
∴∠ AOD=∠POC， ∴∠ AOD=90°﹣∠ P，

∵ OA=OD，

第 23 页（共 30 页）

∴∠ A=∠ ADO
∴∠ AOD+∠A+∠ADO=180°，
∴ 90°﹣∠ P+2∠A=180°， ∴ 2∠ A﹣∠ P=90°， （ 2）如图 2，
连接 OC，CD，
∵ PC是⊙ O 的切线， ∴∠ PCO=90°，
∵∠ E=90°，
∴∠ PCO=∠E， ∴ OC∥AC，
∴∠ POC=∠A，
在 Rt△POC中，∠ P+∠ POC=90°， ∴∠ A+∠ P=90°，
由（ 1）知， 2∠ A﹣∠ P=90°，
∴∠ P=30°，
∴ PC= OC
∵ = ，
∴ CD∥AB， ∵ OC∥AE，
∴四边形 AOCD是平行四边形，
∴ OC=AD， ∴ PC= AD；
（ 3）如图 3，过点 C 作 CH⊥AB 于 M ，连接 CD，第 24 页（共 30 页）
，DH，延长 DF，PH 相交于





















FH





点 N，连接 CG，HG，


∵ CH⊥AB，

∴∠ FCH=∠FHC，∠ CFB=∠ HFB，

∵∠ ECF=∠ AFD﹣∠ CFP，

∴∠ GFH=∠ECH，

∵ PC，PH 于⊙ O 相切，

∴∠ PCH=∠PHC，
∴∠ PCH+∠FCH=∠PHC+∠FHC，

∴∠ PCF=∠PHF， ∴∠ ECF=∠ NHF， ∵∠ GFH=∠ECH，

∴∠ GFH=∠NHF，

∴

，
∴ CD∥AB， ∴∠ CMA=90°， ∴∠ DCH=90°，

∴ DH 是⊙ O 的直径，


∵DH是⊙O 直径， ∴∠ DHN=90°，


∴∠ DGH=90°
∴∠ FHG=90°﹣∠ GFH=90°﹣∠ FHN，
第 25 页（共 30 页）



∴∠ FHD=90°﹣∠ FHN，

∴∠ FHG=∠FHD，


∴


，
∵ AB=DH=6，FD=2 ∴


，
∴ HG=3GF，


在 Rt△DGH中， HG+DG=HD，
∴ 9GF+（2+GF）
2222 2




， =36
∴GF= ， ∴FH=


= GF= ．
∵ CH⊥HB，


∴ CF=FH=


．
27．如图，在平面直角坐标系中，点

O 为坐标原点，抛物线
y=ax2﹣ 10ax+16a（a
≠ 0）交 x 轴于 A、B 两点，抛物线的顶点为 D，对称轴与 x 轴交于点 H，且 AB=2DH．（ 1）求 a 的值；

（ 2）点 P 是对称轴右侧抛物线上的点，连接 PD，PQ⊥ x 轴于点 Q，点 N 是线段PQ上的点，过点 N 作 NF⊥DH 于点 F， NE⊥ PD交直线 DH 于点 E，求线段 EF的

长；

（ 3）在（ 2）的条件下，连接 DN、DQ、PB，当 DN=2QN（ NQ＞3），2∠NDQ+

∠ DNQ=90°时，作 NC⊥PB交对称轴左侧的抛物线于点 C，求点 C 的坐标．


【考点】 二次函数综合题．

第 26 页（共 30 页）



【分析】（1）根据 y=ax2﹣10ax+16a 可以求得当 y=0 时， x 的值，从而可以求得

点 A、B 的坐标，由抛物线的顶点为 D，对称轴与 x 轴交于点 H，且 AB=2DH，从而可以求得 a 的值；

（ 2）根据已知条件作出相应的图形，然后根据题意题目中的数量关系，通过灵活变形可以求得 EF的长；

（ 3）根据题意可以画出相应的图形， 然后根据题目中的关系，
利用三角形相似，灵活变化可以求得点 C 的坐标． 【解答】 解：（1）令 y=0， ∵ a≠ 0，
∴ x2﹣10x+16=0，得 x=2 或 x=8， ∴点 A（2，0），B（8，0）， ∴ AB=8﹣ 2=6， ∵ AB=2DH，
∴ DH=3，
∵ OH=2+
，
∴ D（ 5，﹣ 3），
∴﹣ 3=a×52﹣ 10a× 5+16a，得 a= ；
（ 2）如图 1，过点 D 作 PQ 的垂线，交 PQ 的延长线于点 M，∵ NE⊥PD，
∴∠ DPN+∠PNE=90°，
∵ NF⊥DE，
∴∠ FEN+∠FNE=90°， 又∵ DH⊥x 轴， PQ⊥x 轴，
∴ DE∥PQ， ∴∠ FEN=∠PNE，
∴∠ DPM=∠ENF，
∴△ EFN∽△ DMP，
∴
，
第 27 页（共 30 页）

























设点 P（t ，

），
FN=DM=t﹣5 ，PM= 3， 则


+
∴


，
解得， EF=3；
（ 3）如图 2，作 QG⊥DN 于点 G， ∵ DF∥PQ， ∴∠ FDN=∠DNQ， ∵ 2∠ NDQ+∠DNQ=90°，
∴ 2∠ NDQ+∠FDN=90°， ∵∠ FDM=90°，
∴∠ NDM=2∠NDQ， ∴∠ NDQ=∠MDQ，
∴ QG=QM=DH=3，
设 QN=m，则 DN=2m，
∵ sin∠DNM= ，sin∠ QNG= ，sin∠ DNM=sin∠QNG，∴
，得 DM=6=DG，
∴ OQ=5+6=11，
∴点 P 的纵坐标是：
，
∴点 P（11，9），
∵ NG=DN﹣DG=2m﹣6，在 Rt△NGQ中，
QG2+NG2=QN2， ∴ 32+（ 2m﹣ 6） 2=m2， 解得， m=3（舍去）或 m=5， 设点 C 的坐标为（ n，
），作 CK⊥x 轴于点则 CT=
，NT=11﹣n，
∵ P（ 11，9），则 BQ=11﹣8=3， PQ=9， ∵ CN⊥PB，PQ∥CK， PQ⊥ x 轴，
第 28 页（共 30 页）
K，作 NF⊥CK于点 K，



































∴△ CTN∽△ BQP，
∴
，
即
，
解得， n=﹣1 或 n=10（舍去），
∴点 C（﹣ 1， 9）．
第 29 页（共 30 页）














2019年 3月 11日


第 30 页（共 30 页）

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/322745269cc3d5bbfd0a79563c1ec5da51e2d652.html

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