什么是数学
首先怎样对数学的真正了解，我可以用一句话来理解，绝对是“无所不在，到处不见”。就好像是一个谜语，打的是一种自然的物质，一切都是“空气”。数学就像空气一样，到处都有，谁也都离不开它，但谁也不能直接看清它到的面目和影子。 我们一切的什么都要用到数学，考试成绩也是数字，每个人的年龄，身高.体重等等....都要用数字来表示。我们观看世界的不同角落，不同的物质，不同的事物，都有它各自不同的形态。数量和形态是事物最基本的性质，认识事物常常要从研究数量和形态开始。研究数量和形态的科学，应叫做数学，当然数学所研究的数量和形态要比日常生活所讲的含义深广得多。它是一门科学，也是人类活动的重要工具。 那么数学是怎样产生的呢？原始时代，打猎为生，这种活动常常是集体进行的，所得的产口也平均分配。这样古人渐渐产生了数量的概念。古人最初用木头.绳结，后来又用到手指来算数，一个手指代表1，二个物指代表2，就这样算下去，由此产生了逢十进一的概念。 但是0又怎样表示的？0是不是表示什么都没有？0通常表示什么都没，但实际上零表示的意义非常丰富。0不但表示没有，也可以表示有。气温是0度c，并不是指温度没有。0还可以表示起点，也可以表示中心点，也是终结点。在实数中，0又是正数与负数中的唯一中性数，当然也是数字中的中心数。 负数的由来，应该是这样的。例如以海平面为0点，世界上最高的珠穆朗玛峰高峰为+88848米，世界上最深的马里（什么）海沟深为-11034米。这样，则用“+”与“-”。在日常生活中，用“+”来表示收入，“-”表示支出，这样看来正负来的就是日常生活中的一个概念。可是在历史上，负数的引入却经历了慢长曲折的道路。 用数学联想宇宙尽边际： 我们身处于宇宙三维空间，长.宽. 高组成三维体形。那么我们所处的为什么就要是三维空间？我们身处的的空间有6大方向，分别是前后.左右.上下。由此得出，x.y.z三轴，也就是长.宽.高。 宇宙的无限际，谁也没法得出定义。首先对无限的理解，已知长.宽. 高三维宇宙模形，也就是x.y.z三轴， 当然x.y.z三轴就是无限长。首对无限下个定义，就是0，x.y.z三轴相交一点就是宇宙的中心点，中心点也就是0点。因为无限不能下定义，所以相交点就是宇宙的准确位置，那数字上的0表示中心点，又是起始点和终结点。由此宇宙模形x.y.z三轴相交一点就是起始点和终结点，联想得出宇宙的尽边际就是这一点。（意识观念） 可见用人类的聪明才智越来越多新发现，数学最终还是达不到境界，还要我们新一代人类慢慢的从想象和思维概念不断创新，一起创造出美好的明天。（见笑
《What is Mathematics》（《什么是数学》）由柯郎编著，是一本比较好的系统的讨论数学的书籍！这里选取其中的一些！
数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求。它的基本要素是：逻辑和直观、分析和构作、一般性和个别性。虽然不同的传统可以强调不同的侧面，然而正是这些互相对立的力量的相互作用以及它们综合起来的努力才构成了数学科学的生命、用途和它的崇高价值。
毫无疑问，一切数学的发展在心理上都或多或少地是基于实际的。但是理论一旦在实际的需要中出现，就不可避免地会使它自身获得发展的动力，并超越出直接实用的局限。这种从应用科学到理论科学的发展趋势，不仅常见于古代历史中，而且在工程师和物理学家为近代数学不断作出的许多贡献中更是屡见不鲜。
有记载的数学起源于东方。大约在公元前两千年，巴比伦人就搜集了极其丰富的资料，这些资料今天看来应属于初等代数的范围．至于数学作为现代意义的亠门科学，则是迟至公元前五至公元前四世纪才在希腊出现的．东方和希腊之间的接触不断增多（始于波斯帝国时期，至亚历山大远征时期则达到高峰），使希腊人得以熟悉巴比伦人在数学和天文学方面的成就，数学很快就被加入到风行于希腊城邦的哲学讨论之中。因而希腊的思想家逐渐意识到，在连续、运动、无限大这些概念中，以及在用已知单位去度量任意一个量的问题中，数学都存在着固有的极大困难。面对这个挑战，经过了一番不屈不挠的努力，产生了欧多克斯（Eudoxus）的几何连续统理论，这个成果是唯一能和两千多年后的现代无理数理论相媲美的。数学中这种公理演绎的趋向起源于欧多克斯时代，又在欧几里得（Euclid）的“原本”中得以成熟。
虽然希腊数学的理论化和公理化的倾向一直是它的一个重要特点，并且曾经产生过巨大的影响。但是，对这一点我们不能过分强调，因为在古代数学中，应用以及同物理现实的联系恰恰起了同样重要的作用，而且那时候人们宁愿采用不像欧几里得那样严密的表达方式。
由于较早地发现了与“不可公度”的量有关的这些困难，使希腊人没能发展早己为东方所掌握的数字计算的技术。相反，他们却迫使自己钻进了纯粹公理几何的丛林之中。于是科学史上出现了一个奇怪的曲折。这或许意味着人类丧失了一个很好的时机。几乎两千年来，希腊几何的传统力量推迟了必然会发生的数的概念和代数运算的进步，而它们后来构成了近代科学的基础。
经过了一段缓慢的准备，到十七世纪，随着解析几何与微积分的发展，数学和科学的革命也开始蓬勃发展起来。虽然希腊的几何学仍然占有重要的地位，但是，希腊人关于公理体系和系统推演的思想在十七世纪和十八世纪不复出现。从一些清清楚楚的定义和没有矛盾的“明显”公理出发，进行准确的逻辑推理，这对于数学科学的新的开拓者来说似乎是无关紧要的。通过毫无拘束的直观猜想和令人信服的推理，再加上荒谬的神秘论以及对形式推理的超人力量的盲目相信，他们征服了一个蕴藏着无限财富的数学世界。但是后来，大发展引起的狂热逐渐让位于一种自我控制的批判精神。到了十九世纪，由于本身需要巩固已有成果，而且人们也希望把它推向更高阶段时不致发生问题（这是受到法国大革命的影响），就不得不回过头来重新审查这新的数学基础，特别是微积分及其赖以建立的极限概念。因此十九世纪不仅成为一个新的发展时期，而且也以成功地返回到那种准确而严谨的证明为其特征。在这方面它甚至胜过了希腊科学的典范。于是；钟摆又一次向纯粹性和抽象性的一侧摆去。目前我们似乎仍然处于这个时期。但是人们可以期望，在纯粹数学和具有活力的应用之间产生了这种不幸分离（可能在批判性的审查时期，这是不可避免的）之后，随之而来的应是一个紧密结合的时代。这种重新获得的内在力量，更主要的是由于理解更加明晰而达到认识上的极大简化，将使得今天有可能在不忽略应用的情况下来掌握数学理论。再一次在纯数学和应用科学之间建立起有机的结合，在抽象的共性和色彩缤纷的个性之间建立起牢固的平衡，这或许就是不久的将来数学上的首要任务。
这里不是对数学进行详细的哲学或心理学的分析的地方．但有几点应当强调一下。目前过分强调数学的公理演绎特点的风气，似乎有盛行起来的危险。事实上，那种创造发明的要素，那种起指导和推动作用的直观要素，虽然常常不能用简单的哲学公式来表述，但是它们却是任何数学成就的核心，即使在最抽象的领域里也是如此。如果说完善的演绎形式是目标，那么直观和构作至少也是一种动力。有一种观点对科学本身是严重的威胁，它断言数学不是别的东西，而只是从定义和公理推导出来的一组结论，而这些定义和命题除了必须不矛盾之外，可以由数学家根据他们的意志随意创造。如果这个说法是正确的话，数学将不会吸引任何有理智的人。它将成为定义、规则和演绎法的游戏，既没有动力也没有目标。认为灵感能创造出有意义的公理体系的看法，是骗人的似是而非的真理．只有在以达到有机整体为目标的前提下，以及在内在需要的引导下，自由的思维才能作出有科学价值的成果来，尽管逻辑分析的思辨趋势并不代表全部数学，但它却使我们对数学事实和它们相互间的依赖关系有更深刻的理解，以及对数学中的主要概念有更深刻的理解，并由此发展了可作为一般科学态度的典范的近代数学观点。
不论我们持什么样的哲学观点，就科学观察的目的来说，对一个对象的认识，完全表现在它与认识者（或仪器）的所有可能关系之中。当然仅仅是感觉并不能构成知识和见解，必须要与某些基本的实体即“自在之物”相适应、相印证，所谓“自在之物”并不是物体观察的直接对象，而是属于形而上学①的。然而，对于科学方法来说，重要的是应放弃带有形而上学性质的因素，而去考虑那些可观测的事实，把它们作为概念和构作的最终根源。放弃对“自在之物”的领悟，对“终极真理”的认识以及关于世界的最终本质的阐明，这对于质朴的热诚者来说，可能会带来一种心理上的痛苦，但事实上它却是近代思想上最有成效的一种转变。
物理学上所取得的一些最伟大的成就，正是由于敢于坚持“消除形而上学”这个原则的结果。当爱因斯坦（A.Einstein）试图把“在不同地方同时发生的事件”这一概念归结为可观测的现象时，当他揭露出，认为上述概念必须有它自身的科学意义的信念只是形而上学的偏见时，他已发现了他的相对论的关键所在。当玻尔（N．Bohr）和他的学生们指出，任何物理观测必然伴随着观测工具对被观测对象的影响这个事实时，问题变得很清楚，在物理上，同时准确地确定一个粒子的位置和速度是不可能的。这个发现的深远意义体现在为每个物理学家所熟悉的近代量子力学的理论中。在十九世纪流行着一种概念，认为机械力和粒子在空间中的运动是自在之物，而电、光和磁都应当归结为力学现象或者作为力学现象来“解释”，正如以前处理“热”的方法那样。人们曾经假设过“以太”，作为一种假设性的媒介物，把它用于那些对我们来说不能完全加以解释的运动中，例如光或电．后来人们才慢慢地认识到以太是肯定无法观测到的，它属于形而上学，而不属于物理学。于是乎，在某些方面感到忧虑，而在另一些方面感到安慰的心情下，关于光和电的力学解释连同以太最后一齐都被放弃了。
在数学中有些情况与此相类似，甚至更为突出。世世代代以苯，数学家一直把他们研究的对象，例如数、点等等，看成实实在在的自在之物。但是，准确地描述这些实体的种种努力总是被这些实体自身给否定了。从而十九世纪的数学家逐渐开始懂得，要问当作实体的这些对象究竟是什么，这是没有意义的，即使有的话也不可能在数学范围内得到解决。所有适合它们的论断都不涉及这些实体的现实，而只说明数学上“不加定义的对象”之间的相互关系以及它们所遵循的运算法则。至于点、线、数“实际上”是什么，这不可能也不需要在数学科学中加以讨论。“可验证”的事实只是结构和关系：两点决定一直线，一些数按照某些规则组成其他一些数，等等．基本的数学概念必须抽象化，这一见解是近代公理化发展中最重要和最丰富的成果之一。
幸运的是，创造性的思维不顾某些教条的哲学信仰而继续发展着，而如果思维屈从于这种信仰就会阻碍出现建设性的成就。不论对专家来说，还是对普通人来说，唯一能回答“什么是数学”这个问题的，不是哲学而是数学本身中的活生生的经验。------------------------------------------------------------① 一下讲的“形而上学”这词在西方哲学中和我们通常用的意义不一样，它指的是解释经验范围之外的问题（神、灵魂、意志自由等）的那部分哲学。这词的直译是“物理学之后”，来源于亚里士多德著作中，这部分编在了物理学之后。——译注
一、什么是数学模型？
数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。
简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。
二、 什么是数学建模 ?
数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。
数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高学生应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一。
数学说课是数学教师间的业务交流，其根本宗旨是为了追求数学课的优化。
数学说课，要向同行说什么？我认为数学说课内容，主要有四个方面：
能制定较为完满的教学方案，为数学课堂教学的改进提供前提条件。这主要包括：
（1）介绍课时教学内容的地位、作用和意义。说课中教者首先要阐述所备、所上的数学课在整个的一节、一章乃至整个小学数学全套教材中的地位、作用和意义，而不是孤立地看待某课时教学内容。这是由数学教材环环相扣、具有严密的逻辑性和序列性所决定的。
（2）提出本课时的具体明确的教学目标。
教学目标是课时备课中所规划的课时结束时要实现的教学结果。课时目标越明确、越具体，反映教者的备课认识越充分，教法的设计安排越合理。说课中要注意避免千篇一律地提出“通过教学，使学生能正确计算××习题”一类的套话，要从识记、理解、掌握、应用四个层次上分析教学目标。课时目标制定中还要提出思维能力和非智力因素方面的培养目标，包括思想品德教育渗透和兴趣、习惯培养目标。
（3）说说本课教学内容包含哪些知识点，教例是如何展示教学内容的，教材叙述语言与例题怎么俗配，按计么顺序展开的例题与习题的分布类型，其中的重点、难点内容是什么。
程序是否合理，符合认知规律，也是课堂教学是否优化的标准之一。数学说课中的教学程序有点近乎教案上的教学过程安排。在教案过程自己能清楚的可不必都写出来，而说课中不谈清楚，别人不一定都了解，详略、繁简不同；教案上重视具体教学内容安排，而说课介绍重视教学环节的次序和方式。备课只要备出是什么，说课不但要说是什么，还要说说为什么，让别人接受信服，内容构成不同。
说教学程序，还得注意运用概括和转述的语言，不必直接照搬教案，要尽可能少用课堂内师生的原话，以便压缩实录篇幅。
引导学生学习数学所采用的主要方式。这是改进数学课堂教学的主要方面。比如，教学思路和策略上，可以选择目标教学的方法，尝试教学的方法，发现教学的方法，阅读自学的方法，组织小组讨论交流的方法等；教学信息和感知材料的呈现上，选用题组呈现或一题多变的方法，投影、录音的方法，教具模型演示的方法；在思维活动的组织上采取由实例列算式抽象的方法，从个别到一般的概括方法，由此及彼的类比推理方法，比较对照、区别异同的方法等等。指导学法方面，有指导学生阅读数学教材的方法。有组织学生按顺序有重点地观察的方法，有分析数量关系的方法，有安排学生操作、演示的方法等。叙述教法和学法，要注意坚持使教法学法有利于突出教材重点、突破难点，符合学生认识规律和年龄特征，不是为了翻花样，图形式花哨。
作业的安排和板书设计。练习作业是课堂教学中必不可少的活动，犹如工业生产中的“产后服务”。说课就要谈谈是如何安排练习作业的，比如从内容上围绕重点，巩固新知；从层次上逐层深化、拾级而上；从数量上适度适量，紧凑而可以完成等等。板书是教学内容的浓缩和集中反映，板书要醒目突出，具有内在合理性，要让人体察到教学的“序”，这就有必要在说课中予以陈述。当然有些数学课的板书并不都显得十分重要和突出，也可不必说。
一般数学说课材料都可从这四个方面去准备，但也不是面面俱到，眉毛胡子一把抓，总得有详有略，有的部分突出一些，篇幅多点，多说几句。
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