曲线积分曲面积分总结

第十三章 曲线积分与曲面积分

定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.

第一节 对弧长的曲线积分

一、 对弧长的曲线积分的概念与性质

在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为，，其上每一点的密度为．

如图13-1我们可以将物体分为段，分点为, 每一小弧段的长度分别是．取其中的一小段弧来分析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点的密度来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即

．

用表示个小弧段的最大长度. 为了计算的精确值, 取上式右端之和当时的极限，从而得到

即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.

上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义：

定义13.1 设是面内的一条光滑曲线，函数在上有界，用上任意插入一点列将曲线分为个小段. 设第段的长度为()，又为第个小段上任意取定的一点，作乘积，并作和，若当各小段的长度的最大值趋于零时，此和式的极限存在，称此极限为函数在曲线上对弧长的曲线积分, 也称为第一类曲线积分, 记作, 即

,

其中叫做被积函数，称为积分弧段．当是光滑封闭曲线时，记为．

类似地，对于三元函数在空间的曲线上光滑，也可以定义在曲线上对弧长的曲线积分．

这样，本节一开始所要求的构件质量就可表示为

由对弧长的曲线积分的定义可以知道，第一类曲线积分具有下面的性质：

性质1（线性性）若在曲线上第一类曲线积分存在，是常数, 则

在曲线上第一类曲线积分也存在，且

；

性质２（对路径的可加性）设曲线分成两段. 如果函数在上的第一类曲线积分存在，则函数分别在和上的第一类曲线积分也存在. 反之，如果函数在和上的第一类曲线积分存在，则函数在上的第一类曲线积分也存在. 并且下面等式成立

．(表示)

对于三元函数也有类似的性质，这里不再一一列出．

二、 第一类曲线积分的计算

定理13.1 设有光滑曲线

即,连续. 若函数在上连续，则它在上的第一类曲线积分存在，且

证明 如前面定义一样，对依次插入，并设，. 注意到记小弧段的长度为，那么

由的连续性与微分中值定理，有

所以, 当,时,

这里设

则有

令要证明的是

因为复合函数关于连续，所以在闭区间上有界，即存在，对一切有

再由在上连续，所以它在上一致连续. 即当任给，必存在，当时有

从而

所以

再从定积分定义得

所以当两边取极限后，即得所要证的结果.

特别地，如果平面上的光滑曲线的方程为

则

．

例13.1　计算曲线积分，其中是抛物线上的点与点之间的一段弧．（如图13.1-2）

图13-2

解：积分曲线由方程

给出，所以

　　　　　　　　　　 =.

例13.2 计算积分，其中为圆周: .

解：由于为圆周：，所以

　　．

对于三元函数的对弧长的曲线积分，可以类似地计算．例如：若曲线由参数方程，确定，则有，从而

．

例13.３　计算曲线积分，其中是螺旋线上相应于从到的一段弧．

解：由上面的结论有

例14.4 计算, 其中为球面被平面所截得的圆周.

解：由对称性可知

所以

习题13.1

1. 计算半径为、中心角为的圆弧对于它的对称轴的转动惯量（设线密度）.

2. 计算曲线积分，其中为螺旋线，，上相应于从到的一段弧.

3. 计算其中为曲线由到间的一段弧.

4. 求，其中是椭圆周位于第一象限中的那部分。

5. 计算，其中为曲线

6. 求，其中为双曲线从点到点的一段弧。

7. 计算其中为连接及两点的直线段.

8. 计算其中为圆周,直线及轴在第一象限内所扇形的整个边界.

9. 计算其中为折线这里、、、依次为点、、、。

10. 计算，其中为曲线, .

11. 设为双纽线, 计算积分.

12. 设为椭圆, 其周长为, 求.

参考答案

1．

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. 9

10.

11.

12.

第二节 对坐标的曲线积分

一、对坐标的曲线积分的概念与性质

在实际中还碰到另一种类型的曲线积分问题. 例如一质点在空间中沿着一条光滑曲线运动，当时，对应曲线上的一个端点，当时，对应曲线的另一个端点，在外力

的作用下质点从移动到，现在求力所作的功．

由物理学的知识知道：若力与位移都是常量，则有．现在的是一个变量，位移也是变量．为了求这个力所作的功我们可以将曲线分为若干段，即插入个分点这些点对应的分别是．在每一小段弧上，可以认为位移就是，在小弧段上任意一点的力来近似质点在这一小弧段上移动所受到的力．于是当质点从移到时，力所作的功近似为，将力在每一小段上所作的功相加，就得到了在力的作用下质点从移动到所作的功的一个近似值．即

注意，而，所以

．

再对上面的式子在所有小弧段的长度的最大值趋于零时取极限，若此极限存在，则它就是变力所作的功．即

．

从上面的分析可以看出，这个极限和前面讲的定积分、重积分、第一类曲线积分有很多的相似之处，它们都是一个乘积和式的极限．这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二类曲线积分.

定义13.2 (对坐标的曲线积分或第二类曲线积分)　设是空间中的一条有向光滑的曲线，两个端点分别为和.为定义在曲线上的函数．在内依次插入点，并令,.并且这些点是从到排列的. 这样就将曲线分为个小的弧段()．设，，．记各弧段长为,. 在小弧段上任意取一点，若存在，则称之为函数在有向曲线上对坐标的曲线积分(或称第二类曲线积分)．记为．即

＝．

类似地，有

＝；

＝．

分别称为函数在有向曲线上对坐标和对坐标的曲线积分．这些积分统称为第二类曲线积分．

若为封闭有向曲线,则记为、或．

由对坐标的曲线积分的定义可以知道，第二类曲线积分具有下面的性质：

１．；

２（线性性）：若两个向量值函数()存在, 则

其中为常数．

３（路径可加性）：设定向分段光滑曲线分成了两段和，它们与的取向相同（记），则向量函数在上的第二类曲线积分的存在性等价于在和上的第二类曲线积分的存在性．且有

；

４（方向性）：如用表示与方向相反的曲线．则有

．

二、对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)的计算

设的参数方程为,，起点为，终点为，函数都具有连续导数．在曲线弧上插入若干个点，相应于的取值分别是，， ，而，于是由积分中值定理有．此时取分别为,，则

类似地可以求和．最后得到

在这里的积分的上限下限分别对应的是终点和起点．

求曲线积分的一般步骤是：

1． 将用各自的参数方程代替；

2． 将曲线的终点和起点所对应的参数的值作为定积分的上下限；

3． 将曲线积分化为定积分，计算定积分，即得曲线积分的值．

特别地，当是平面上的光滑曲线时，设曲线方程为，起点和终点对应的的值分别是，则有

．

例13.5 计算曲线积分，其中为抛物线从点到点的一段弧，如右图．

解：将要计算的积分化为对的定积分，即以为积分变量，曲线段的起点和终点对应的的值分别是和，将曲线积分中的用代替，所以

．

例13.6　计算曲线积分，其中为椭圆沿逆时针方向．

解：椭圆的参数方程为，所以可以将曲线积分化为对参数的积分，起点和终点所对应的的值分别为和，分别用参数方程代替，由此得到

注意，这个积分刚好是椭圆面积的两倍．

　 例13-4图 例13-5图

例13.7　计算曲线积分．其中分别是下面的曲线段．

(1) 抛物线上从点到点的一段弧；

(2) 直线上从点到点的一段弧；

(3) 从点到沿轴点，再由竖直向上至．

解：(1) 将积分化为对的定积分，起点和终点对应的的值分别是，用代替，得到

(2) 将积分化为对的定积分，起点和终点对应的的值分别是，用代替，得到

(3) 曲线可以分为两段，其中一段的曲线方程为，另一段的曲线方程为，所以

从上面的例子可以看出，尽管积分的路径不同，但是积分的值仍然有可能相同．

例13.8 计算,其中为(1) 半径为、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周；（2）从点沿轴到点的直线段．

解 （1）因为

，.

那么

(2) 积分路径为从变到, 因此

从这个例子可以看出: 被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.

三、 两类曲线积分的联系

设有向光滑曲线段的参数方程为，，起点和终所对应的分别是和，且，函数在曲线段上连续，则对坐标的曲线积分

又有向曲线的切向量为，它的方向余弦为

，，

注意到，所以由对弧长的曲线积分公式，得到

由此得到两类曲线积分之间的联系：

．

类似地，可以得到两类空间曲线积分之间的联系：

这种联系还可以用向量表示：

．

其中，为在曲线上点处的单位切向量，称为有向曲线元．

习题13.2

1. 求. 其中曲线为圆周, 积分方向为顺时针方向,.

2. 求, 其中是由球面与平面, , 的交线,和组成.

3. 求. 其中曲线由折线及曲线两段组成, 起点为, 其中,

4. 求. 其中是由直线, ,及构成的正向矩形回路.

5. 求. 其中为曲线上对应于从到的一段.

6. 试将表示成定积分. 其中是以,及为顶点的三角形的正向.

7. 求. 其中为有向闭曲线, 这里依次为点, ,.

8. 一力场由沿横轴正方向的常力所构成. 试求当一质量为的质点沿圆周按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所作的功.

9. 一力场中的力的大小与作用点到轴的距离成正比, 方向垂直向着该轴. 试求当质量为的质点沿圆周由点依正向移动到点时,力场所作的功.

10. 求是从点到点的一段直线.

参考答案

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

第三节　Green公式及曲线积分与路径的无关性

一 Green公式

本节将建立对坐标的曲线积分与二重积分之间的联系．即要建立起平面区域上的二重积分与的边界曲线上的第二类曲线积分之间的联系.

我们知道闭区域有两种，一种是单连通的，一种是多连通的．若区域D中的任意一条封闭曲线的内部的所有的点都属于D，则D是单连通的，否则是多连通的．如图13-6是单连通的，图13-7是多连通的．例如区域是单连通的，而区域是多连通的．通俗的说，多连通区域就是有“洞”的区域．

对于区域的边界曲线，我们规定它的正方向如下：当观察者沿着曲线移动时，区域D总是在他的左边．由此定义可以知道，当区域D是单连通区域时，其边界曲线的正方向时逆时针方向．当D是多连通时，如其边界曲线为L,则其外面的曲线的方向是逆时针的，内部的曲线的方向是顺时针的．如图．

图13-6 图13-7

定理13.2（Green公式） 若有界闭区域的边界由分段光滑的曲线L所围成，函数在区域中具有一阶连续偏导数，则有

，

其中取正向．

证明：(1)．设区域是有界单连通的闭区域，平行于坐标轴的直线与的边界的交点不多于两个，即既是型，又是型的区域．不妨设

或，则

同理可证

．

于是

(2)．若平行于坐标轴的直线与的边界的交点多于两个，可以引入辅助曲线将区域划分为有限个区域使得每个部分符合(1)中所讨论的形式．如图13-9所示.

将分成三个既是-型区域又是-型区域，，．于是 图13-9

(对来说是正方向)

(3)．若区域不止有一条闭曲线所围成, 如图13-10.

这时可适当添加直线段, 则的边界曲线由, , , , , ,及构成. 这样就把区域转化为(2)的情形来处理. 由(2)可知 图13-10

(对来说为正方向)

Green公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系. 从而可应用它来简化某些曲线积分或二重积分的计算.

为了便于记忆, Green公式也可写成下面形式

下面介绍一个Green公式的简单应用．

设，则有格林公式，有

．

所以区域的面积为，其中是区域的边界曲线．

若取, 也有的面积.

若取, 也有的面积.

例13.9 计算星形线所围成的图形的面积．

解：所成的面积为

从上面的例子可以看到，有时用公式计算面积相当容易．下面利用Green公式计算一个对坐标的曲线积分．

例13.10 计算,其中是曲线，方向是逆时针方向．

解：是区域的边界，所以有Green公式有

上面的例子中的曲线是封闭曲线，对于不是封闭曲线的曲线，也可以考虑用Green公式，不过这时要先将加一段曲线使得原来的曲线封闭．看下面的例子．

例13.11　计算曲线积分，其中是半圆周，上从点到的曲线．

解：为了能利用Green公式，连接，得到封闭曲线．所以

又

．

所以

＝

　　　　　　　 ＝.

例13.12 计算曲线积分，其中是一条不经过原点的光滑闭曲线，方向为逆时针方向．

解：令，注意到

．

设所围的区域为，若，则

．

若，则函数在点不可微，所以不能直接用Green公式，取的一个充分小的邻域（其边界为,顺时针方向），使得．（如图13.11）则在区域中是可微的，所以

．

所以 图13-11

．

例13.13 计算抛物线与轴所围成的图形的面积.

解ONA为直线,曲线AMO由函数表示,如图13-12. 因此

图13-12

二 曲线积分与路径的无关性

由上节例13.12可知起点与终点相同, 尽管积分的路径不同，但是积分的值仍然有可能相同．而由例13.13可知起点与终点相同, 若沿的路径不同,则其积分值也不同. 本部分将讨论曲线在什么条件下,它的值与所沿的路径无关. 下面先给出积分与路径无关的定义.

定义13.3 设为平面区域,为上的连续函数. 如果对于内以两点为起点和终点的逐段光滑曲线, 积分值

只与两点有关, 而同从到的路径无关,就称曲线积分与路径无关. 否则称为与路径有关.

由Green公式可以得到下面的定理。

定理13.3 设函数在单连通区域上有连续的偏导数，则下面的四个条件是等价的：

(1) 在区域的任意逐段光滑的封闭曲线上，有

；

(2) 在区域中的连接的曲线段上的曲线积分与从到的路径

无关，仅与起点和终点有关。

(3)是某个函数的全微分。

(4) 在区域中有成立。

证明 (1) (2): 设为内任意两点,

是中从到的任意两条路径,则就是内的一条闭曲线. 如图13-13所示. 因此

于是

因此曲线积分与路径无关.

(2) (3) 设为一定点,为内任意一点. 由(2)可知, 曲线积分与路径选择无关, 所以当在内变动时,其积分值是点的函数, 记

图13-14

取充分性, 使, 则函数对于的偏增量

因为在内对于曲线积分与路径无关,所以

由于直线段平行于轴, 所以, (常数), 因而,且

对上式右端应用积分中值定理,得

再因在上的连续性, 推得

同理可证于是有

.

(3) (4) 设存在函数使得

故

因此

因为在区域内具有一阶连续偏导数,所以

从而在内每一点处都有

(4) (1) 设为中任一按段光滑闭曲线,记所围成的区域为. 由于为单连通区域, 所以区域含在内. 应用Green公式及在内恒有, 就得到

证毕.

上面的证明还给出了当曲线积分与路径无关时,在的原函数的构造方法,即下面的例13.14

例13.14 设是某个区域的函数的全微分，即．求此函数．

解：设是区域中的从点到点的光滑曲线段．由于，由前面的定理可知，曲线积分与路径无关，所以可以取点，则

．

令，则有

．

所以就是所求的函数．

若取点，则类似上面的作法，可以得到

，

同样可以证明的全微分是．

从这个定理的证明及例13.14我们也得到了全微分的求解公式：

例13.15 应用曲线积分求

的原函数.

解 这里, , 因此

于是在整个平面上有

图13-15

取, ,由定理13.3可知,平面上任一所光滑曲线的曲线积分

只与起点和终点有关,与路径无关. 为此只需求沿折线段的曲线积分.

习题13.3

1. 求.

2. 计算. 其中是从点经上半椭圆到点的弧段.

3. 求. 其中为含有点的区域的边界曲线,沿逆时针方向.

4. 求. 其中为单位圆的正向.

5. 计算曲线积分. 其中为圆周,的方向为逆时针方向.

6. 证明曲线积分在整个面内与路径无关, 并计算积分值.

7. 验证在整个平面内是某一个函数的全微分, 并求一个这样的函数.

8. 设在有连续导函数, 求

其中是从点到点的直线段.

9. 确定常数, 使得

为某函数的全微分, 并求.

10. 设是由, ,及所围成的区域,是它的正向边界,具有连续导数, 求证

.

其中.

参考答案

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. 提示: 作变换.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/2f3d190103020740be1e650e52ea551810a6c94e.html