2017 - 2018学年高中物理第5章万有引力与航天5.2万有引力定律是怎样发现的教学案沪科版

5.2　万有引力定律是怎样发现的

[学习目标]　1.了解万有引力定律得出的思路和过程.2.理解万有引力定律的含义，并能利用万有引力公式进行有关计算.3.知道任何物体间都存在着万有引力，且遵循相同的规律.

一、万有引力发现的过程

1.解决引力问题存在三大困难：

困难之一：无数学工具解决变化的曲线运动问题.

困难之二：缺乏理论工具计算天体各部分对行星产生的力的总效果.

困难之三：众多天体的引力相互干扰的问题无法解决.

2.牛顿对问题的解决方法：

(1)牛顿利用他发明的微积分方法，越过了变速运动的障碍.

(2)运用模型方法，提出了质点的概念，并通过微积分运算的论证，把庞大天体的质量集中于球心.

(3)撇开其他天体的作用不计，只考虑太阳对行星的作用.

二、万有引力定律

1.内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比.

2.表达式：F＝Ge72b0f148e05bf14a5e5d523c283599d.png.

3.引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2

(1)物理意义：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力.

(2)引力常量测定的意义

卡文迪许利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，测出G的数值及验证了万有引力定律的正确性.引力常量的确定使万有引力定律能够进行定量的计算，显示出真正的实用价值.

4.万有引力的特性

(1)普遍性：万有引力存在于宇宙中任何两个有质量的物体之间(天体间、地面物体间、微观粒子间).

(2)相互性：两个物体间相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律.

(3)宏观性：天体间万有引力很大，它是支配天体运动的原因.地面物体间、微观粒子间的万有引力很小，不足以影响物体的运动，故常忽略不计.

5.万有引力公式的适用条件

(1)两个质点间.

(2)两个质量分布均匀的球体间，其中r为两个球心间的距离.

(3)一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间，r为球心到质点的距离.

[即学即用]

1.判断下列说法的正误.

(1)万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间.(√)

(2)引力常量是牛顿首先测出的.(×)

(3)物体间的万有引力与它们间的距离成反比.(×)

(4)根据万有引力表达式可知，质量一定的两个物体若距离无限靠近，它们间的万有引力趋于无限大.(×)

2.两个质量都是1 kg的物体(可看成质点)，相距1 m时，两物体间的万有引力F＝______ N，一个物体的重力F′＝________ N，万有引力F与重力F′的比值为________.(已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，重力加速度g＝10 m/s2).

答案　6.67×10－11　10　6.67×10－12

一、万有引力定律

[导学探究]　如图1所示，天体是有质量的，人是有质量的，地球上的其他物体也是有质量的.

图1

(1)任意两个物体之间都存在万有引力吗？为什么通常两个物体间感受不到万有引力，而太阳对行星的引力可以使行星围绕太阳运转？

(2)地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？

答案　(1)任意两个物体间都存在着万有引力.但由于地球上物体的质量一般很小(相比较天体质量)，地球上两个物体间的万有引力是远小于地面对物体的摩擦力，通常感受不到，但天体质量很大，天体间的引力很大，对天体的运动起决定作用.

(2)相等.它们是一对相互作用力.

[知识深化]

1.万有引力定律表达式F＝Ge72b0f148e05bf14a5e5d523c283599d.png，式中G为引力常量.G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪许在实验室中比较准确地测出.

测定G值的意义：(1)证明了万有引力定律的存在；(2)使万有引力定律有了真正的实用价值.

2.万有引力定律的适用条件

(1)在以下三种情况下可以直接使用公式F＝Ge72b0f148e05bf14a5e5d523c283599d.png计算：

①求两个质点间的万有引力：当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，公式中的r表示两质点间的距离.

②求两个均匀球体间的万有引力：公式中的r为两个球心间的距离.

③一个质量分布均匀球体与球外一个质点的万有引力：r指质点到球心的距离.

(2)对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据F＝Ge72b0f148e05bf14a5e5d523c283599d.png得出r→0时F→∞的结论而违背公式的物理含义.因为，此时由于r→0，物体已不再能看成质点，万有引力公式已不再适用.

(3)当物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出物体上每一个质点与另一个物体上所有质点间的万有引力，然后求合力.

例2　(多选)下列说法正确的是(　　)

A.万有引力定律F＝Ge72b0f148e05bf14a5e5d523c283599d.png适用于两质点间的作用力计算

B.据F＝Ge72b0f148e05bf14a5e5d523c283599d.png，当r→0时，物体m1、m2间引力F趋于无穷大

C.把质量为m的小球放在质量为M、半径为R的大球球心处，则大球与小球间万有引力F＝G62410174c0fde9090293d8ad65cc7e26.png

D.两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用力也可以用F＝Ge72b0f148e05bf14a5e5d523c283599d.png计算，r是两球体球心间的距离

答案　AD

解析　万有引力定律适用于两质点间的相互作用，当两球体质量分布均匀时，可认为球体质量分布在球心，然后计算万有引力.故A、D项正确；当r→0时，两物体不能视为质点，万有引力定律不再适用，B项错误；大球M球心周围物体对小球m的引力合力为零，故C项错误.

针对训练　如图2所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为(　　)

图2

A.Ge72b0f148e05bf14a5e5d523c283599d.png B.G2befe85b6d9e7cafc8e0c38a43f5157f.png C.G8ac3d8b46d0420458dc3c980554668ea.png D.G1e0f923b189684b319ab52086bd1dc58.png

答案　D

解析　两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力公式可知两球间的万有引力应为G1e0f923b189684b319ab52086bd1dc58.png，故选D.

二、“挖补”法分析质点和球壳之间的引力

例3　有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点.现从M中挖去半径为df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngR的球体，如图3所示，则剩余部分对m的万有引力F为(　　)

图3

A.eca123ca0cf7baf6915267a7b8e9b2bf.png B.6bc953cd2757b4e47c8e954ee87338c7.png C.83537222eb2c22f9fb04bb5efa5a73b7.png D.a9f5d5835dcea2b1b54d2c252ddc5f66.png

答案　A

解析　质量为M的球体对质点m的万有引力

F1＝Gb9f992a51a3967f1c2aee6e437fcebab.png＝Geededab6fd8e8bbc08e351233e748866.png

挖去的球体的质量M′＝4e61e3c55d962f0e998492236591150f.pngM＝a20942c42a7c392a0e5de4ea9b388131.png

质量为M′的球体对质点m的万有引力

F2＝G4c523e40e05ba1b432b0db3166f0ec12.png＝G6c18c691af7d90d3ca1be84abc4a0e19.png

则剩余部分对质点m的万有引力

F＝F1－F2＝Ga8aafa1b5f2bd6addc1b55aec94a72fa.png－G6c18c691af7d90d3ca1be84abc4a0e19.png＝eca123ca0cf7baf6915267a7b8e9b2bf.png.故选项A正确.

(1)万有引力公式F＝Ge72b0f148e05bf14a5e5d523c283599d.png的适用条件是质点或质量均匀的球体，只有把挖去的小球补上才成为质量均匀的球体.

(2)注意本题的基本思想：挖—补—挖.

求剩余部分对质点的作用力即是大球(补全)对m的作用力减去小球对m的作用力.

1.(对太阳与行星间的引力的理解)(多选)对于太阳与行星间的引力及其表达式F＝Ge72b0f148e05bf14a5e5d523c283599d.png，下列说法正确的是(　　)

A.公式中G为比例系数，与太阳、行星有关

B.太阳、行星彼此受到的引力总是大小相等

C.太阳、行星彼此受到的引力是一对平衡力，合力为零，m1、m2都处于平衡状态

D.太阳、行星彼此受到的引力是一对相互作用力

答案　 BD

解析　太阳与行星间引力表达式F＝Ge72b0f148e05bf14a5e5d523c283599d.png中的G为比例系数，与太阳、行星都没有关系，A错误；太阳与行星间的引力分别作用在两个物体上，是一对作用力和反作用力，不能进行合成，B、D正确，C错误.

2.(对万有引力定律的理解)(多选)关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是(　　)

A.不能看做质点的两物体间不存在相互作用的引力

B.只有能看做质点的两物体间的引力才能用F＝8cd1a56bb070a5f9f81b9e246125a919.png计算

C.由F＝8cd1a56bb070a5f9f81b9e246125a919.png知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大

D.万有引力常量的大小首先是由卡文迪许测出来的，且约等于6.67×10－11 N·m2/kg2

答案　CD

解析　任何物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A错；两个质量分布均匀的球体间的万有引力也能用F＝8cd1a56bb070a5f9f81b9e246125a919.png来计算，B错；物体间的万有引力与它们间距离r的二次方成反比，故r减小，它们间的引力增大，C对；引力常量G是由卡文迪许精确测出的，D对.

3.(万有引力定律的简单应用)设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的引力作用而产生的加速度为g，则99ced12dbdfe5f1d41c0fd2df3050d9a.png为(　　)

A.1 B.29a2472c9a0a4d196b4bcf2e7e2fc48d.png C.70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png D.b1d6892b74104ce6241a2486e5877b35.png

答案　D

解析　地球表面处的重力加速度和离地心高4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有：

地面上：G8753e62db5c4df08685978950906e2ee.png＝mg0 ①

离地心4R处：G32d5fe951f2905ab28dffc194726e8e5.png＝mg ②

由①②两式得45666b19c8098e616f3cb6e73c13de17.png＝(87fe76b69f37661e743b3b2435884cc5.png)2＝79c9652d1db2bc2c380fbc5d0e3be7bf.png，故D正确.

4.(万有引力定律的应用)地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心的距离之比为(　　)

A.1∶9 B.9∶1 C.1∶10 D.10∶1

答案　C

解析　设月球质量为m，则地球质量为81m，地月间距离为r，飞行器质量为m0，当飞行器距月球为r′时，地球对它的引力等于月球对它的引力，则G7bf3899a320f63b6d268c893187b85f7.png＝G8551d1fe24c2ba787ef2e7dbf89290ee.png，所以c03560fe3ea2fed01c755adafceb0121.png＝9，r＝10r′，r′∶r＝1∶10，故选项C正确.

课时作业

一、选择题(1～9题为单选题，10～11题为多选题)

1.第一次通过实验较准确测出万有引力常量G的科学家是(　　)

A.卡文迪许 B.开普勒

C.第谷 D.牛顿

答案　A

2.某实心匀质球半径为R，质量为M，在球外离球面h高处有一质量为m的质点，则其受到实心匀质球的万有引力大小为(　　)

A.G62410174c0fde9090293d8ad65cc7e26.png B.Gdb1241f3e4bc49ccd4c5c320a439b3c2.png C.Gcdcc7240252937037136326187771f1a.png D.Gad313323b568dc4aab9924db65b6dd43.png

答案　B

解析　万有引力定律中r表示两个质点间的距离，因为匀质球可看成质量集中于球心上，所以r＝R＋h.

3.两辆质量均为1×105 kg的装甲车相距1 m时，它们之间的万有引力相当于(　　)

A.一个人的重力量级

B.一个鸡蛋的重力量级

C.一个西瓜的重力量级

D.一头牛的重力量级

答案　B

解析　由F＝Ge72b0f148e05bf14a5e5d523c283599d.png得F＝0.667 N，相当于一个鸡蛋的重力量级.

4.依据牛顿的理论，两物体之间万有引力的大小，与它们之间的距离r满足(　　)

A.F与r成正比 B.F与r2成正比 C.F与r成反比 D.F与r2成反比

答案　D

解析　万有引力定律的表达式为F＝Ge72b0f148e05bf14a5e5d523c283599d.png，所以F与r2成反比，选项D正确，A、B、C错误.

5.2015年7月14日，“新视野”号太空探测器近距离飞掠冥王星，如图1所示.在此过程中，冥王星对探测器的引力(　　)

图1

A.先变大后变小，方向沿两者的连线指向冥王星

B.先变大后变小，方向沿两者的连线指向探测器

C.先变小后变大，方向沿两者的连线指向冥王星

D.先变小后变大，方向沿两者的连线指向探测器

答案　A

解析　根据万有引力定律F＝Ge72b0f148e05bf14a5e5d523c283599d.png，万有引力与物体之间的距离的二次方成反比，故在探测器飞掠冥王星的过程中，随着它与冥王星间的距离r先减小后增大，那么冥王星对探测器的引力先变大后变小，而引力的方向沿两者的连线指向冥王星，选项A正确，B、C、D错误.

6.某物体在地面上受到地球对它的万有引力为F.若此物体受到的引力减小到75ac3389f653e17e6c5719b07f5bc3e5.png，则此物体距离地面的高度应为(R为地球半径)(　　)

A.2R B.4R C.R D.8R

答案　C

7.要使两物体间的万有引力减小到原来的70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png，下列办法不正确的是(　　)

A.使两物体的质量各减小一半，距离不变

B.使其中一个物体的质量减小到原来的70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png，距离不变

C.使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变

D.两物体的质量和距离都减小到原来的70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png

答案　D

解析　万有引力定律的表达式为F＝Ge72b0f148e05bf14a5e5d523c283599d.png，根据该公式可知，使两物体的质量各减小一半，距离不变，则万有引力变为原来的70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png，A正确；使其中一个物体的质量减小到原来的70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png，距离不变，则万有引力变为原来的70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png，B正确；使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变，则万有引力变为原来的70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png，C正确；两物体的质量和距离都减小到原来的70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png，则万有引力大小不变，D错误.

8.某未知星体的质量是地球质量的70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png，直径是地球直径的70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png，则一个质量为m的人在未知星体表面受到的引力F星和地球表面所受引力F地的比值6106902b7be1d299f9af87db8d34d9fa.png为(　　)

A.16 B.4 C.b1d6892b74104ce6241a2486e5877b35.png D.70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png

答案　B

解析　根据万有引力定律F＝G62410174c0fde9090293d8ad65cc7e26.png∝4fa20135d68f825ffa94ff750df926e9.png故ad2f410a4efcf8a070865aa03675380a.png＝b56b39e117bcbb5474345b4988f9dfb5.png·3bf26239d908b3a4475f18da0a72587b.png＝70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png×(c1c5df83fa98eb0913ef6ffb7c240efa.png)2＝4.B项正确.

9.如图2所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F.如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝26c89bfec210df7f91986c8c4c13a133.png，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为(　　)

图2

A.c00ae5ab9613882fdf3bdb2e33c455f7.png B.206c0fc6b45e32f81b1b753cd7d822f2.png C.8bd2a85ff0ff4abf6e40942915991f34.png D.75ac3389f653e17e6c5719b07f5bc3e5.png

答案　C

解析　利用填补法来分析此题.原来物体间的万有引力为F，挖去半径为26c89bfec210df7f91986c8c4c13a133.png的球体的质量为原来球体的质量的bc763c40c1afc46fbe981d117a65141c.png，其他条件不变，故剩余部分对质点P的万有引力为F－206c0fc6b45e32f81b1b753cd7d822f2.png＝d80dee887b88cc2e849f29df6db3e5a0.pngF.

10.下列关于万有引力的说法，正确的有(　　)

A.物体落到地面上，说明地球对物体有引力，物体对地球没有引力

B.万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的

C.地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的合力都是地球的万有引力

D.F＝Ge72b0f148e05bf14a5e5d523c283599d.png中，G是一个比例常数，没有单位

答案　BC

解析　物体间力的作用是相互的，物体落到地面上，地球对物体有引力，物体对地球也存在引力，选项A错误；万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的，选项B正确；地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的合力都是地球的万有引力，选项C正确；国际单位制中质量m、距离r、力F的单位分别是kg、m、N，根据牛顿的万有引力定律F＝Ge72b0f148e05bf14a5e5d523c283599d.png，得到G的单位是N·m2/kg2，选项D错误.

11.关于引力常量G，下列说法中正确的是(　　)

A.G值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值

B.引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比

C.引力常量G在数值上等于两个质量都是1 kg的可视为质点的物体相距1 m时的相互吸引力

D.引力常量G是不变的，其数值大小由卡文迪许测出，与单位制的选择无关

答案　AC

解析　牛顿提出了万有引力之后的100年中由于G值没有测出，而只能进行定性分析，而G值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值，选项A正确；引力常量是一个常数，其大小与质量以及两物体间的距离无关，选项B错误；根据万有引力定律可知，引力常量G在数值上等于两个质量都是1 kg的可视为质点的物体相距1 m时的相互吸引力，选项C正确；引力常量是定值，其数值大小由卡文迪许测出，但其大小与单位制的选择有关，选项D错误.

二、非选择题

12.火星半径为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的29a2472c9a0a4d196b4bcf2e7e2fc48d.png.一位宇航员连同宇航服在地球上的质量为100 kg，则在火星表面其质量为多少？重力为多少？(设地面表面重力加速度g＝9.8 m/s2，星球对物体的引力等于物体的重力).

答案　100 kg　436 N

解析　质量是物体本身的属性，在不同的星球上物体质量不变，还是100 kg.

由G重＝G3c44bbcdd91c7a466c8b61a8f53e5289.png得，在火星表面物体重力与地球表面物体重力之比4afd6b4d1c1c5f191699319c630138b1.png＝a76315fa7d89466eca1fe844f23fd2d8.png·03d6ef8c5eaec9baa20852bb64a9b14c.png＝29a2472c9a0a4d196b4bcf2e7e2fc48d.png×5d6d67fe3d94d68e7c7f6d7fc50a661b.png＝66299ad68ec77f344b595e94e2a2ee28.png

所以物体在火星表面的重力G重火＝e4326f187917ccd520d9cdcb33b25257.png×100×9.8 N≈436 N.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/2d6ab9a4a2116c175f0e7cd184254b35eefd1a88.html