2017-2018学年深圳市南山区九年级（上）期末数学试卷（答案版）

2017-2018学年广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上）

1．（3分）如图所示的工件，其俯视图是（　　）

A． B． C． D．

2．（3分）当x＜0时，函数y=﹣的图象在（　　）

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

3．（3分）如果=，那么下列等式中不一定成立的是（　　）

A．= B．=

C．= D．ad=bc

4．（3分）矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（　　）

A．邻边相等 B．四个角都是直角

C．对角线相等 D．对角线互相平分

5．（3分）下列说法正确的是（　　）

A．菱形都是相似图形

B．各边对应成比例的多边形是相似多边形

C．等边三角形都是相似三角形

D．矩形都是相似图形

6．（3分）某学校要种植一块面积为100m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（　　）

A． B． C．D．

7．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）

A．x（x+1）=1892 B．x（x﹣1）=1892×2

C．x（x﹣1）=1892 D．2x（x+1）=1892

8．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，AO与DE、BC交于N、M，则下列式子中错误的是（　　）

A．= B．= C．= D．=

9．（3分）如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC的长为（　　）

A．4 B．4 C．2 D．2

10．（3分）已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．

以下是甲、乙两同学的作业：

甲：

1．以点C为圆心，AB长为半径画弧；

2．以点A为圆心，BC长为半径画弧；

3．两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图1）．

乙：

1．连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；

2．连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图2）．

对于两人的作业，下列说法正确的是（　　）

A．两人都对 B．两人都不对

C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对

11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，且OA=AD，则以下结论错误的是（　　）

A．当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小

B．k=4

C．当0＜x＜2时，y1＜y2

D．当x=4时，EF=4

12．（3分）如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动，点F从点B出发，沿射线AB以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E、F两点停止运动．连结BD，过点E作EH⊥BD，垂足为H，连结EF，交BD于点G，交BC于点M，连结CF．给出下列结论：①△CDE∽△CBF；②∠DBC=∠EFC；③=；④GH的值为定值．上述结论中正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（本题有4小题，每小题3分，共12分）

13．（3分）如图，是某射手在相同条件下进行射击训练的结果统计图，该射手击中靶心的概率的估计值为　 　．

14．（3分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，=，则=　 　．

15．（3分）点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB=2，则AC=　 　．（用根号表示）

16．（3分）如图，函数y=﹣x与函数y=﹣的图象交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，点D．则四边形ACBD的面积为　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共52分）

17．（8分）解下列方程

（1）x2+2x﹣1=0 （2）x（2x+3）=4x+6．

18．（6分）某同学报名参加学校秋季运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m（分别用A1、A2、A3表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用T1、T2表示）．

（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P为　 　；

（2）该同学从5个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1，利用列表法或树状图加以说明；

（3）该同学从5个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率P2为　 　．

19．（6分）如图，晚上，小亮在广场上乘凉．图中线段AB表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．

（1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；

（2）如果灯杆高PO=12m，小亮的身高AB=1.6m，小亮与灯杆的距离BO=13m，请求出小亮影子的长度．

20．（7分）苏宁电视销售某种冰箱，每台的进货价为2600元，调查发现，当销售价为3000元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出8台．商场要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？

21．（8分）如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，且满足BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作FG的平行线，交DA的延长线于点N，连接NG．

（1）求证：BE=2CF；

（2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．

22．（8分）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．

请解决下列问题：

（1）写出一个“勾系一元二次方程”；

（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；

（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．

23．（9分）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．

（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；

（2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．

①试求△PAD的面积的最大值；

②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．

2017-2018学年广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上）

1．（3分）如图所示的工件，其俯视图是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，內圆是虚线，

故选：B．

2．（3分）当x＜0时，函数y=﹣的图象在（　　）

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

【解答】解：∵函数y=﹣中，k=﹣5＜0，

∴函数图象在二、四象限，

又∵x＜0，

∴函数y=﹣的图象在第二象限．

故选：C．

3．（3分）如果=，那么下列等式中不一定成立的是（　　）

A．= B．=

C．= D．ad=bc

【解答】解：A、正确，∵=，∴+1=+1，∴=；

B、错误，b+d=0时，不成立；

C、正确．

D、正确．∵=，∴ad=bc；

故选：B．

4．（3分）矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（　　）

A．邻边相等 B．四个角都是直角

C．对角线相等 D．对角线互相平分

【解答】解：A、矩形的邻边不相等，错故选项误，

B、菱形的四个角不是直角，故选项错误，

C、菱形的对角线不相等，故选项错误，

D、三个图形中，对角线都互相平分，故选项正确．

故选：D．

5．（3分）下列说法正确的是（　　）

A．菱形都是相似图形

B．各边对应成比例的多边形是相似多边形

C．等边三角形都是相似三角形

D．矩形都是相似图形

【解答】解：A、菱形对应边成比例，对应角不一定相等，所以不一定是相似图形，故本选项错误．

B、各边对应成比例的多边形对应角不一定相等（如菱形），所以不一定是相似多边形，故本选项错误；

C、等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项正确；

D、矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；

故选：C．

6．（3分）某学校要种植一块面积为100m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

【解答】解：∵草坪面积为100m2，

∴x、y存在关系y=，

∵两边长均不小于5m，

∴x≥5、y≥5，则x≤20，

故选：C．

7．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）

A．x（x+1）=1892 B．x（x﹣1）=1892×2

C．x（x﹣1）=1892 D．2x（x+1）=1892

【解答】解：∵全班有x名同学，

∴每名同学要送出（x﹣1）张；

又∵是互送照片，

∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=1892．

故选：C．

8．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，AO与DE、BC交于N、M，则下列式子中错误的是（　　）

A．= B．= C．= D．=

【解答】解：∵DE∥BC，

∴△ADN∽△ABM，△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB，

∴=，=，=，

所以A、B、C正确；

∵DE∥BC，

∴△AEN∽△ACM，

∴=，

∴=，

所以D错误．

故选：D．

9．（3分）如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC的长为（　　）

A．4 B．4 C．2 D．2

【解答】解：在菱形ABCD中，

∵∠ABC=120°，

∴∠ABE=60°，AC⊥BD，

∵菱形ABCD的周长为16，

∴AB=4，

在RT△ABE中，AE=ABsin∠ABE=4×=2，

故可得AC=2AE=4．

故选：A．

10．（3分）已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．

以下是甲、乙两同学的作业：

甲：

1．以点C为圆心，AB长为半径画弧；

2．以点A为圆心，BC长为半径画弧；

3．两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图1）．

乙：

1．连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；

2．连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图2）．

对于两人的作业，下列说法正确的是（　　）

A．两人都对 B．两人都不对

C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对

【解答】解：由甲同学的作业可知，CD=AB，AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又∵∠ABC=90°，

∴▱ABCD是矩形．

所以甲的作业正确；

由乙同学的作业可知，CM=AM，MD=MB，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又∵∠ABC=90°，

∴▱ABCD是矩形．

所以乙的作业正确；

故选：A．

11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，且OA=AD，则以下结论错误的是（　　）

A．当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小

B．k=4

C．当0＜x＜2时，y1＜y2

D．当x=4时，EF=4

【解答】解：A、从图象可知：当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项不符合题意；

B、y1=2x﹣2，

当y=0时，x=1，

即OA=1，

∵OA=AD，

∴OD=2，

把x=2代入y=2x﹣2得：y=2，

即点C的坐标是（2，2），

把C的坐标代入双曲线y2=（x＞0）得：k=4，故本选项不符合题意；

C、根据图象可知：当0＜x＜2时，y1＜y2，故本选项不符合题意；

D、当x=4时，y1=2×4﹣2=6，y2==1，

所以EF=6﹣1=5，故本选项符合题意；

故选：D．

12．（3分）如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动，点F从点B出发，沿射线AB以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E、F两点停止运动．连结BD，过点E作EH⊥BD，垂足为H，连结EF，交BD于点G，交BC于点M，连结CF．给出下列结论：①△CDE∽△CBF；②∠DBC=∠EFC；③=；④GH的值为定值．上述结论中正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD∥BC，AB=DC，

∴∠CDA=∠DCB=∠DAB=∠ABC=90°，

∵==，，

∴，

∵∠CDE=∠FBC=90°

∴△CDE∽△CBF，故①正确，

∴∠DCE=∠BCF，

∵∠DCE+∠BCE=90°，

∴∠BCE+∠BCF=90°，

∴∠ECF=90°，

∵，

∴，

∵∠DCB=∠ECF

∴△DCB∽△ECF，

∴∠DBC=∠EFC，故②正确，

∵AD∥BC，

∴∠EDB=∠DBC=∠EFC，

∴∠EDB+∠DEH=90°，

∠EFC+∠CEF=90°，

∴∠DEH=∠CEF，

∴∠DEC=∠HEG，

在Rt△DEC和Rt△EHG中，∠EDC=∠EHG=90°，

∴△EDC∽△EHG，

∴，

∵AB=DC，

∴，故③错误，

∵AD=BC=6，AB=2，

∴BD==2，

∵∠EDH=∠ADB，∠EHD=∠DAB，

∴△DEH∽△DBA，

∴，

∴=，

∴EH=t，

∵=，

∴=，

∴HG=，故④正确．

综上所述①②④正确．

故选：C．

二、填空题（本题有4小题，每小题3分，共12分）

13．（3分）如图，是某射手在相同条件下进行射击训练的结果统计图，该射手击中靶心的概率的估计值为　0.600　．

【解答】解：依题意得击中靶心频率逐渐稳定在0.600附近，

估计这名射手射击一次，击中靶心的概率约为0.600．

故答案为：0.600．

14．（3分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，=，则=　　．

【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，

∴==，

则=（）2=（）2=，

故答案为：．

15．（3分）点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB=2，则AC=　﹣1+　．（用根号表示）

【解答】解：∵AC＞BC，AB=2，

∴BC=AB﹣AC=2﹣AC，

∵点C是线段AB的黄金分割点，

∴AC2=AB•BC，

∴AC2=2（2﹣AC），

整理得，AC2+2AC﹣4=0，

解得AC=﹣1+，AC=﹣1﹣（舍去）．

故答案为：﹣1+．

16．（3分）如图，函数y=﹣x与函数y=﹣的图象交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，点D．则四边形ACBD的面积为　8　．

【解答】解：设A的坐标是（m，n），则B的坐标是（﹣m，﹣n），﹣mn=4

则AC=﹣m，CD=2n．

则S四边形ABCD=AC•CD=﹣2mn=8．

故答案是：8．

三、解答题（本大题共7小题，共52分）

17．（8分）解下列方程

（1）x2+2x﹣1=0

（2）x（2x+3）=4x+6．

【解答】解：（1）x2+2x=1，

∴（x+1）2=2，

∴x+1=

x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．

（2）x（2x+3）﹣2（2x+3）=0

∴（2x+3）（x﹣2）=0，

∴x1=﹣，x2=2．

18．（6分）某同学报名参加学校秋季运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m（分别用A1、A2、A3表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用T1、T2表示）．

（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P为　　；

（2）该同学从5个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1，利用列表法或树状图加以说明；

（3）该同学从5个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率P2为　　．

【解答】解：（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P=；

（2）画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中一个径赛项目和一个田赛项目的结果数为12，

所以一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1==；

（3）两个项目都是径赛项目的结果数为6，

所以两个项目都是径赛项目的概率P2==．

故答案为，．

19．（6分）如图，晚上，小亮在广场上乘凉．图中线段AB表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．

（1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；

（2）如果灯杆高PO=12m，小亮的身高AB=1.6m，小亮与灯杆的距离BO=13m，请求出小亮影子的长度．

【解答】解：（1）连接PA并延长交地面于点C，线段BC就是小亮在照明灯（P）照射下的影子．（2分）

（2）在△CAB和△CPO中，

∵∠C=∠C，∠ABC=∠POC=90°

∴△CAB∽△CPO

∴（5分）

∴

∴BC=2m，

∴小亮影子的长度为2m（7分）

20．（7分）苏宁电视销售某种冰箱，每台的进货价为2600元，调查发现，当销售价为3000元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出8台．商场要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？

【解答】解：设每台冰箱的定价应为x元，依题意得（x﹣2600）（8+×8）=5000

解方程得x1=x2=2850

经检验x1=x2=2850符合题意．

答：每台冰箱的定价应为2850元．

21．（8分）如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，且满足BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作FG的平行线，交DA的延长线于点N，连接NG．

（1）求证：BE=2CF；

（2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．

【解答】解：（1）如图，过F作FH⊥BE，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠FHB=∠HBC=∠BCF=90°，

∴四边形BCFH为矩形，

∴BH=CF，

又∵BF=EF，

∴BE=2BH，

∴BE=2CF；

（2）四边形BFGN为菱形，证明如下：

∵MN⊥EF，

∴∠E+∠EBM=90°，且∠EBM=∠ABN，

∴∠ABN+∠E=90°，

∵BF=EF，

∴∠E=∠EBF，

∴∠ABN+∠EBF=90°，

又∵∠EBC=90°，

∴∠CBF+∠EBF=90°，

∴∠ABN=∠CBF，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC，∠NAB=∠CBF=90°，

在△ABN和△CBF中，

，

∴△ABN≌△CBF（ASA），

∴BF=BN，

又由旋转可得EF=FG=BF，

∴BN=FG，

∵∠GFM=∠BME=90°，

∴BN∥FG，

∴四边形BFGN为菱形．

22．（8分）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．

请解决下列问题：

（1）写出一个“勾系一元二次方程”；

（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；

（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．

【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5时

勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0；

（2）证明：根据题意，得

△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab

∵a2+b2=c2

∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0

即△≥0

∴勾系一元二次方程必有实数根；

（3）解：当x=﹣1时，有a﹣c+b=0，即a+b=c

∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6

∴3c=6

∴c=2

∴a2+b2=c2=4，a+b=2

∵（a+b）2=a2+b2+2ab

∴ab=2

∴S△ABC=ab=1．

23．（9分）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．

（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；

（2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．

①试求△PAD的面积的最大值；

②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．

【解答】解：（1）如图1，均是正整数新函数的两条性质：①函数的最小值为0；

②函数图象的对称轴为直线x=﹣3；

由题意得A点坐标为（﹣3，0）．分两种情况：

①x≥﹣3时，显然y=x+3；

②当x＜﹣3时，设其解析式为y=kx+b．

在直线y=x+3中，当x=﹣4时，y=﹣1，

则点（﹣4，﹣1）关于x轴的对称点为（﹣4，1）．

把（﹣4，1），（﹣3，0）代入y=kx+b，

得，解得，

∴y=﹣x﹣3．

综上所述，新函数的解析式为y=；

（2）如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，

∴a=1+3=4．

∵点C（1，4）在双曲线y=上，

∴k=1×4=4，y=．

∵点D是线段AC上一动点（不包括端点），

∴可设点D的坐标为（m，m+3），且﹣3＜m＜1．

∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，

∴P（，m+3），

∴PD=﹣m，

∴△PAD的面积为

S=（﹣m）×（m+3）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，

∵a=﹣＜0，

∴当m=﹣时，S有最大值，为，

又∵﹣3＜﹣＜1，

∴△PAD的面积的最大值为；

②在点D运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形．理由如下：

当点D为AC的中点时，其坐标为（﹣1，2），此时P点的坐标为（2，2），E点的坐标为（﹣5，2），

∵DP=3，DE=4，

∴EP与AC不能互相平分，

∴四边形PAEC不能为平行四边形．

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