反比例函数习题

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

考点：

反比例函数系数k的几何意义．

专题：

数形结合．

分析：

本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．

解答：

解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE=，S△OAD=，

过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG=|k|，

又∵M为矩形ABCO对角线的交点，

∴S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，

由于函数图象在第一象限，k＞0，则++9=4k，

解得：k=3．

故选C．

A．

y1＜y2

B．

y1≤y2

C．

y1＞y2

D．

y1≥y2

考点：

反比例函数图象上点的坐标特征．

分析：

根据反比例函数图象的增减性进行判断．

解答：

解：∵反比例函数的解析式中的k＜0，

∴该函数的图象是双曲线，且图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．

∴点A（1，y1）、B（2，y2）都位于第四象限．

又∵1＜2，

∴y1＞y2

故选C．

A．

B．

C．

D．

A．

12

B．

20

C．

24

D．

32

考点：

反比例函数综合题．

分析：

过C点作CD⊥x轴，垂足为D，根据点C坐标求出OD、CD、BC的值，进而求出B点的坐标，即可求出k的值．

解答：

解：过C点作CD⊥x轴，垂足为D，

∵点C的坐标为（3，4），

∴OD=3，CD=4，

∴OC===5，

∴OC=BC=5，

∴点B坐标为（8，4），

∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过顶点B，

∴k=32，

故选D．

A．

y3＜y1＜y2

B．

y1＜y2＜y3

C．

y2＜y1＜y3

D．

y3＜y2＜y1

考点：

反比例函数图象上点的坐标特征．3718684

专题：

探究型．

分析：

分别把各点代入反比例函数y=求出y1、y2、，y3的值，再比较出其大小即可．

解答：

解：∵点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，

∴y1==6；y2==3；y3==﹣2，

∵6＞3＞﹣2，

∴y1＞y2＞y3．

故选D．

A．

2

B．

4

C．

6

D．

8

考点：

反比例函数与一次函数的交点问题．

分析：

首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，得出S△AOC=S△ODB=2，再根据反比例函数的对称性可知：OC=OD，AC=BD，即可求出四边形ACBD的面积．

解答：

解：∵过函数的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，

∴S△AOC=S△ODB=|k|=2，

又∵OC=OD，AC=BD，

∴S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=2，

∴四边形ABCD的面积为：S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×2=8．

故选D．

A．

第一、二、四象限

B．

第一、三、四象限

C．

第二、三、四象限

D．

第一、二、三象限

考点：

一次函数图象与系数的关系；反比例函数图象上点的坐标特征．3718684

分析：

首先利用反比例函数图象上点的坐标特征可得k的值，再根据一次函数图象与系数的关系确定一次函数y=kx﹣k的图象所过象限．

解答：

解：∵反比例函数y=的图象过点（﹣2，1），

∴k=﹣2×1=﹣2，

∴一次函数y=kx﹣k变为y=﹣2x+2，

∴图象必过一、二、四象限，

故选：A．

A．

B．

C．

D．

考点：

反比例函数系数k的几何意义．

分析：

分别根据反比例函数系数k的几何意义以及三角形面积求法以及梯形面积求法得出即可．

解答：

解：A、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：xy=3，

B、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：3，

C、根据反比例函数系数k的几何意义，以及梯形面积求法可得出：

阴影部分面积为：（1+3）=2，

D、根据M，N点的坐标以及三角形面积求法得出，阴影部分面积为：×2×6=6，

阴影部分面积最大的是6．

故选：D．

A．

3

B．

6

C．

D．

考点：

反比例函数综合题．3718684

专题：

探究型．

分析：

先根据一次函数平移的性质求出平移后函数的解析式，再分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，再设A（3x，x），由于OA=3BC，故可得出B（x，x+4），再根据反比例函数中k=xy为定值求出x

解答：

解：∵将直线y=向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，

∴平移后直线的解析式为y=x+4，

分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，设A（3x，x），

∵OA=3BC，BC∥OA，CF∥x轴，

∴CF=OD，

∵点B在直线y=x+4上，

∴B（x，x+4），

∵点A、B在双曲线y=上，

∴3x•x=x•（x+4），解得x=1，

∴k=3×1××1=．

故选D．

考点：

反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．3718684

专题：

探究型．

分析：

先根据菱形的性质求出C点坐标，再把C点坐标代入反比例函数的解析式即可得出k的值．

解答：

解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和4，

∴A（﹣3，2），

∵点A在反比例函数y=的图象上，

∴2=，解得k=﹣6．

故答案为：﹣6．

考点：

反比例函数系数k的几何意义．3718684

专题：

规律型．

分析：

求出P1、P2、P3、P4…的纵坐标，从而可计算出S1、S2、S3、S4…的高，进而求出S1、S2、S3、S4…，从而得出Sn的值．

解答：

解：当x=2时，P1的纵坐标为4，

当x=4时，P2的纵坐标为2，

当x=6时，P3的纵坐标为，

当x=8时，P4的纵坐标为1，

当x=10时，P5的纵坐标为：，

…

则S1=2×（4﹣2）=4=2[﹣]；

S2=2×（2﹣）=2×=2[﹣]；

S3=2×（﹣1）=2×=2[﹣]；

…

Sn=2[﹣]=；

故答案为：4，．

考点：

坐标与图形变化-旋转；反比例函数图象上点的坐标特征．3718684

分析：

根据反比例函数的性质得出B点坐标，进而得出A点坐标．

解答：

解：如图所示：

∵点A与双曲线y=上的点B重合，点B的纵坐标是1，

∴点B的横坐标是，

∴OB==2，

∵A点可能在x轴的正半轴也可能在负半轴，

∴A点坐标为：（2，0），（﹣2，0）．

故答案为：2或﹣2．

考点：

反比例函数与一次函数的交点问题．3718684

分析：

把点B的坐标代入反比例函数解析式求出k值，再根据反比例函数图象的中心对称性求出点A的坐标，然后过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，设点C的坐标为（a，），然后根据S△AOC=S△COF+S梯形ACFE﹣S△AOE列出方程求解即可得到a的值，从而得解．

解答：

解：∵点B（﹣4，﹣2）在双曲线y=上，

∴=﹣2，

∴k=8，

根据中心对称性，点A、B关于原点对称，

所以，A（4，2），

如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，设点C的坐标为（a，），

则S△AOC=S△COF+S梯形ACFE﹣S△AOE，

=×8+×（2+）（4﹣a）﹣×8，

=4+﹣4，

=，

∵△AOC的面积为6，

∴=6，

整理得，a2+6a﹣16=0，

解得a1=2，a2=﹣8（舍去），

∴==4，

∴点C的坐标为（2，4）．

故答案为：（2，4）．

考点：

反比例函数综合题．3718684

分析：

过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），判断出△OBF∽△AOE，利用对应边成比例可求出k的值．

解答：

解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，

设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），

∵∠AOE+∠BOF=90°，∠OBF+∠BOF=90°，

∴∠AOE=∠OBF，

又∵∠BFO=∠OEA=90°，

∴△OBF∽△AOE，

∴==，即==，

则=﹣b①，a=②，

①×②可得：﹣2k=1，

解得：k=﹣．

故答案为：﹣．

考点：

反比例函数综合题．

专题：

综合题．

分析：

过点P1作P1E⊥x轴于点E，过点P2作P2F⊥x轴于点F，过点P3作P3G⊥x轴于点G，根据△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3都是等腰直角三角形，可求出P1，P2，P3的坐标，从而总结出一般规律得出点Pn的坐标．

解答：

解：过点P1作P1E⊥x轴于点E，过点P2作P2F⊥x轴于点F，过点P3作P3G⊥x轴于点G，

∵△P1OA1是等腰直角三角形，

∴P1E=OE=A1E=OA1，

设点P1的坐标为（a，a），（a＞0），

将点P1（a，a）代入y=，可得a=1，

故点P1的坐标为（1，1），

则OA1=2a，

设点P2的坐标为（b+2，b），将点P1（b+2，b）代入y=，可得b=﹣1，

故点P2的坐标为（+1，﹣1），

则A1F=A2F=2﹣2，OA2=OA1+A1A2=2，

设点P3的坐标为（c+2，c），将点P1（c+2，c）代入y=，可得c=﹣，

故故点P3的坐标为（+，﹣），

综上可得：P1的坐标为（1，1），P2的坐标为（+1，﹣1），P3的坐标为（+，﹣），

总结规律可得：Pn坐标为：（+，﹣）．

故答案为：（+，﹣）、（+，﹣）．

考点：

反比例函数与一次函数的交点问题．3718684

分析：

（1）两个函数交点的坐标满足这两个函数关系式，因此将交点的坐标分别代入反比例函数关系式和一次函数关系式即可求得待定的系数；

（2）函数的图象没有交点，即无解，用二次函数根的判别式可解．

解答：

解：（1）∵一次函数和反比例函数的图象交于点（2，m），

∴m=2﹣6，

解得m=﹣4，

即点P（2，﹣4），

则k=2×（﹣4）=﹣8．

∴m=﹣4，k=﹣8；

（2）由联立方程y=（k≠0）和一次函数y=x﹣6，

有=x﹣6，即x2﹣6x﹣k=0．

∵要使两函数的图象没有交点，须使方程x2﹣6x﹣k=0无解．

∴△=（﹣6）2﹣4×（﹣k）=36+4k＜0，

解得k＜﹣9．

∴当k＜﹣9时，两函数的图象没有交点．

考点：

反比例函数与一次函数的交点问题．

专题：

计算题．

分析：

（1）将A坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；

（2）联立两函数解析式，求出方程组的解即可得到x的值；

（3）由两函数交点坐标，利用图形即可得出所求不等式的解集．

解答：

解：（1）将A（2，4）代入反比例解析式得：m=8，

∴反比例函数解析式为y2=，

将B（﹣4，n）代入反比例解析式得：n=﹣2，即B（﹣4，﹣2），

将A与B坐标代入一次函数解析式得：，

解得：，

则一次函数解析式为y1=x+2；

（2）联立两函数解析式得：，

解得：或，

则y1=y2时，x的值为2或﹣4；

（3）利用图象得：y1＞y2时，x的取值范围为﹣4＜x＜0或x＞2．

考点：

反比例函数与一次函数的交点问题．

专题：

计算题．

分析：

（1）设反比例解析式为y=，将B坐标代入直线y=x﹣2中求出m的值，确定出B坐标，将B坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；

（2）过C作CD垂直于y轴，过B作BE垂直于y轴，设y=x﹣2平移后解析式为y=x+b，C坐标为（a，a+b），三角形ABC面积=梯形BEDC面积+三角形ABE面积﹣三角形ACD面积，由已知三角形ABC面积列出关系式，将C坐标代入反比例解析式中列出关系式，两关系式联立求出b的值，即可确定出平移后直线的解析式．

解答：

解：（1）将B坐标代入直线y=x﹣2中得：m﹣2=2，

解得：m=4，

则B（4，2），即BE=4，OE=2，

设反比例解析式为y=，

将B（4，2）代入反比例解析式得：k=8，

则反比例解析式为y=；

（2）设平移后直线解析式为y=x+b，C（a，a+b），

对于直线y=x﹣2，令x=0求出y=﹣2，得到OA=2，

过C作CD⊥y轴，过B作BE⊥y轴，

将C坐标代入反比例解析式得：a（a+b）=8，

∵S△ABC=S梯形BCDE+S△ABE﹣S△ACD=18，

∴×（a+4）×（a+b﹣2）+×（2+2）×4﹣×a×（a+b+2）=18，

解得：b=7，

则平移后直线解析式为y=x+7．

考点：

反比例函数与一次函数的交点问题．

分析：

（1）求出OA=BC=2，将y=2代入y=﹣x+3求出x=2，得出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案；

（2）求出四边形BMON的面积，求出OP的值，即可求出P的坐标．

解答：

解：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，

∴OA=BC=2，

将y=2代入y=﹣x+3得：x=2，

∴M（2，2），

把M的坐标代入y=得：k=4，

∴反比例函数的解析式是y=；

（2）∵S四边形BMON=S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON

=4×2﹣4=4，

由题意得： OP×AM=4，

∵AM=2，

∴OP=4，

∴点P的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．

考点：

反比例函数综合题．3718684

分析：

（1）设反比例函数的解析式为y=（k＞0），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式；

（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；

（3）首先求出OA的长度，结合题意CB∥OA且CB=，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA=OC即可判定出四边形OABC的形状．

解答：

解：（1）设反比例函数的解析式为y=（k＞0），

∵A（m，﹣2）在y=2x上，

∴﹣2=2m，

∴m=﹣1，

∴A（﹣1，﹣2），

又∵点A在y=上，

∴k=﹣2，

∴反比例函数的解析式为y=；

（2）观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1；

（3）四边形OABC是菱形．

证明：∵A（﹣1，﹣2），

∴OA==，

由题意知：CB∥OA且CB=，

∴CB=OA，

∴四边形OABC是平行四边形，

∵C（2，n）在y=上，

∴n=1，

∴C（2，1），

OC==，

∴OC=OA，

∴四边形OABC是菱形．

考点：

反比例函数综合题．

分析：

（1）先过点A作AH⊥OB，根据sin∠AOB=，OA=10，求出AH和OH的值，从而得出A点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k的值，即可求出反比例函数的解析式；

（2）先设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，根据sin∠AOB=，得出AH=a，OH=a，求出S△AOH的值，根据S△AOF=12，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S△OBF=6，

根据BF=a，∠FBM=∠AOB，得出S△BMF=BM•FM，S△FOM=6+a2，再根据点A，F都在y=的图象上，S△AOH=k，求出a，最后根据S平行四边形AOBC=OB•AH，得出OB=AC=3，即可求出点C的坐标；

（3）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P1，P2；当∠PAO=90°时，求出P3；当∠POA=90°时，求出P4即可．

解答：

解：（1）过点A作AH⊥OB于H，

∵sin∠AOB=，OA=10，

∴AH=8，OH=6，

∴A点坐标为（6，8），根据题意得：

8=，可得：k=48，

∴反比例函数解析式：y=（x＞0）；

（2）设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，

∵sin∠AOB=，

∴AH=a，OH=a，

∴S△AOH=•aa=a2，

∵S△AOF=12，

∴S平行四边形AOBC=24，

∵F为BC的中点，

∴S△OBF=6，

∵BF=a，∠FBM=∠AOB，

∴FM=a，BM=a，

∴S△BMF=BM•FM=a•a=a2，

∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+a2，

∵点A，F都在y=的图象上，

∴S△AOH=k，

∴a2=6+a2，

∴a=，

∴OA=，

∴AH=，OH=2，

∵S平行四边形AOBC=OB•AH=24，

∴OB=AC=3，

∴C（5， ）；

（3）存在三种情况：

当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，分别为：P1（， ），P2（﹣， ），

当∠PAO=90°时，P3（， ），

当∠POA=90°时，P4（﹣， ）．

A．

7：20

B．

7：30

C．

7：45

D．

7：50

考点：

反比例函数的应用．3718684

分析：

第1步：求出两个函数的解析式；

第2步：求出饮水机完成一个循环周期所需要的时间；

第3步：求出每一个循环周期内，水温不超过50℃的时间段；

第4步：结合4个选择项，逐一进行分析计算，得出结论．

解答：

解：∵开机加热时每分钟上升10℃，

∴从30℃到100℃需要7分钟，

设一次函数关系式为：y=k1x+b，

将（0，30），（7，100）代入y=k1x+b得k1=10，b=30

∴y=10x+30（0≤x≤7），令y=50，解得x=2；

设反比例函数关系式为：y=，

将（7，100）代入y=得k=700，∴y=，

将y=30代入y=，解得x=；

∴y=（7≤x≤），令y=50，解得x=14．

所以，饮水机的一个循环周期为 分钟．每一个循环周期内，在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，水温不超过50℃．

逐一分析如下：

选项A：7：20至8：45之间有85分钟．85﹣×3=15，位于14≤x≤时间段内，故可行；

选项B：7：30至8：45之间有75分钟．75﹣×3=5，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行；

选项C：7：45至8：45之间有60分钟．60﹣×2=≈13.3，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行；

选项D：7：50至8：45之间有55分钟．55﹣×2=≈8.3，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行．

综上所述，四个选项中，唯有7：20符合题意．

故选A．

考点：

反比例函数的应用；一次函数的应用．

分析：

（1）首先根据题意，材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系；

将题中数据代入用待定系数法可得两个函数的关系式；

（2）把y=480代入y=中，进一步求解可得答案．

解答：

解：（1）停止加热时，设y=（k≠0），

由题意得600=，

解得k=4800，

当y=800时，

解得x=6，

∴点B的坐标为（6，800）

材料加热时，设y=ax+32（a≠0），

由题意得800=6a+32，

解得a=128，

∴材料加热时，y与x的函数关系式为y=128x+32（0≤x≤5）．

∴停止加热进行操作时y与x的函数关系式为y=（5＜x≤20）；

（2）把y=480代入y=，得x=10，

故从开始加热到停止操作，共经历了10分钟．

答：从开始加热到停止操作，共经历了10分钟．

点评：

考查了反比例函数和一次函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式。

考点：

反比例函数的应用；一次函数的应用．

分析：

（1）根据图象直接得出大棚温度18℃的时间为12﹣2=10（小时）；

（2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可；

（3）将x=16代入函数解析式求出y的值即可．

解答：

解：（1）恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为10小时．

（2）∵点B（12，18）在双曲线y=上，

∴18=，

∴解得：k=216．

（3）当x=16时，y==13.5，

所以当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃．

点评：

此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键．

考点：

反比例函数的应用；分式方程的应用．

专题：

应用题．

分析：

（1）利用“每天的工作量×天数=土方总量”可以得到两个变量之间的函数关系；

（2）根据“工期比原计划减少了24天”找到等量关系并列出方程求解即可；

解答：

解：（1）由题意得，y=

把y=120代入y=，得x=3

把y=180代入y=，得x=2，

∴自变量的取值范围为：2≤x≤3，

∴y=（2≤x≤3）；

（2）设原计划平均每天运送土石方x万米3，则实际平均每天运送土石方（x+0.5）万米3，

根据题意得：

解得：x=2.5或x=﹣3

经检验x=2.5或x=﹣3均为原方程的根，但x=﹣3不符合题意，故舍去，

答：原计划每天运送2.5万米3，实际每天运送3万米3．