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正在进行安全检测...

发布时间：2023-10-31 02:51:27 来源：文档文库

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第２７卷第１期　２Ｏ１１年２月　大　学　数　学　ＣＯ　Ｉ　Ｉ　ＥＧＥ　ＭＡＴ　Ｈ　ＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖｏ１．２７，№．１　Ｆｅｂ．２Ｏ１１　相关系数矩阵与多元线性相关分析　章舜仲　。，　王树梅　（１．南京财经大学电子商务系，南京２１００４６；　２．南京理工大学计算机科学系，南京２１００９４）　［摘　要］相关系数指度量两个随机变量间线性关系的无量纲指标，在研究了相关系数矩阵性质及其与　多元随机变量线性相关性之间关系的基础上，提出多元线性相关系数的定义，用于衡量多个变量间线性相关　强弱的无量纲指标．分析表明，所提多元线性相关系数能够较全面地反映变量间的线性相关强度．　［关键词］相关系数矩阵；多元线性；主子式；特征值　［中图分类号］０２１　２．４　［文献标识码］Ｃ　［文章编号］１６７２—１４５４（２０１１）０１　０１９５—０４　两个随机变量　和Ｙ之间的线性相关程度可以用其协方差Ｃｏｖ（ｘ，　）和相关系数　　，来表示，由于　是一个无量纲的量，而Ｃｏｖ（ｘ，　）必须依赖于．２７与Ｙ的度量单位，因此实际人们总是使用相关系数来　判断ｚ与Ｙ的相关程度　］．对于　个随机变量　，．２７　，…，　之间相关性，人们一般使用协方差矩阵来表　示，近年来已有一些关于　元随机变量线性相关性研究＿２　］，也有关于多元线性相关系数定义的提出Ｌ４ｊ．　本文与已有研究不同，基于最小均方误差法，在多元随机变量之间的线性相关性分析基础上，提出了新　的关于　元随机变量之间相关性度量的无量纲标量ｌＤ　……　的定义，能较好地表示多元变量问的线性　相关程度．　１相关系数矩阵性质　ｆ　１　ｌＤｌ，２　…Ｒ一　…』Ｄ１，　Ｐ２，ｎ　—ｐｎ，ｚ　…　１　存在，则Ｒ有如下性质：　性质１　Ｒ是半正定矩阵．　证根据相关系数定义，有　一　，　一１，Ｖｋ一（是　，　ｚ，…，ｋ　）　≠０，有　忌　一　一Ｅ骞ｋｌｋｊｐｏ＝　ｉ＝１　ｊ　＝ｌ　Ｅ　ｋｉ　Ｘ　ｉ－　Ｅ（ｃｒ１）尼　Ｅ　ｊ－　Ｅ（ｘｊ）］　｛［　ｉ＝１　ｘ　ｉ－Ｅ　（．；ｒ１）　］。　。．　所以Ｒ是半正定矩阵．由实对称及半正定矩阵性质可知Ｒ有以下结论．　（ｉ）存在正交阵Ｐ，使得ｐＴＲｐ＝＝＝Ａ，其中Ａ是以Ｒ的　个特征值为对角元素的对角阵．　（ｉｉ）ｌＲｌ≥Ｏ．　（ｉｉｉ）Ｒ的所有特征值大于等于０．　［收稿日期］２００８—０４—１７　
１９６　（ｉｖ）Ｒ的所有主子式大于等于０．　性质２　ｌＲｌ≤１．　大　学　数　学　第２７卷　证　设Ｒ的特征值为　，　，…，　，由于　＋　。＋…＋　一ｌＤ　＋ｌＤｚｚ＋…十ｌＤ　一　，由性质１可知所有　特征值非负，则有不等式　成立．　≤　±　一ｌｆＲｆ≤１，等号当且仅当所有特征值均为１时　，性质１和２表明相关系数矩阵行列式取值０和１之间，需注意该结论仅指相互之间具有线性关系　的随机变量，否则将不适用．如矩阵Ｒ　一ｌ　１　１　０　ｌ，ｌ　Ｒ　ｌ一一１，不在０和１区间内，原因在于：随机变　ｆ　１　１］　ｌ１　０　１　Ｊ　量－ｚ　，　：，和　。，若　和ｚ：之间以及ｚ　和ｚ。之间以概率１存在线性关系，设表示为ｚ　＝＝＝ａ＋ｂｘｚ，　：ｆ＋　３，则ｂｘ２－－ｄｘ３＋口～ｆ一０，ｚ２和　３之问也具有线性关系，而矩阵Ｒｌ则表示ｚ２和　。不存在　线性关系，说明矩阵Ｒ　所表示的随机变量不满足线性关系，因此不适用性质ｌ和２．　２　多元随机变量间线性关系　性质３　ｎ元随机变量　，　：，…，　，若相关系数矩阵Ｒ中存在ｋ阶（２≤志≤，２）主子式等于０，则变　量问以概率１存在线性关系．　证令Ｒ的ｋ阶主子式　Ｉｌ　Ｐｍ　肫一　ｐ　１，ｉ２　ｌＯｉ２，ｉ２　Ｊ０订，　ｐｉ２．　：　●　：　●　，　｜０　，ｉ２　ｐ　．谴　已知ｆ　ｉ一０，则齐次方程　ｘ＝Ｏ有非零解考＝＝＝（　，龟，…，　），使得∑∑　手　一ｏ，将考向量扩　展至７ｚ维，得口一（０，…，ａ，…，０，…，已，…，０，…，　，…，ｏ），分量ｅ在Ｃｔ中所处位置为其对应的Ｐ　在矩　阵Ｒ中对角线的位置，有∑∑　ｎ　ｎ　一０．∑∑　ｎ　。　记为ｅ，则　ｅ一骞骞　一Ｅ［耋骞ｎ　￣／Ｄ（ｘｉ）　ｎ　］一Ｅ［骞ｎ　『．　令ｂ　一　兰二，则　ｅ—Ｅｌ∑ｂｉ（ｚ　一Ｅ（ｘ　ｌ—Ｅｌ∑ｂｌ　一∑ｂｌＥ（ｘ　）１．　令６一∑ｂｉＥ（ｘ　），则ｅ—ＥＩ∑ｂｉ．ｚ　一６　Ｉ．　考虑线性函数ｂｌ３７　＋６　．２２　＋…＋６　一ｂ，均方误差　一Ｅ［－（ｂ　＋６：－ｚ：＋…＋６　一６）］　＝＝＝ｅ：０，　值越小表示变量间的线性关系越弱，　＝０时变量间以概率１存在线性关系．　性质４若　元随机变量．２７　，　，…，　之间以概率１存在线性关系，即有一组不全为０实数ｂ　，　…，ｂ　，ｂ，使得Ｐ（ｂ　＋６　Ｉｚ　＋…＋６　ｚ　＝＝＝６）一１，则有１ＲＩ一０．　证　由已知条件，线性函数ｂ　＋ｂ：ｚ：＋…＋６　ｚ　一６的均方误差　Ｐ—Ｅ［（６ｌｚ１＋６２ｚ２＋…＋，）　ｌｚ　－－ｂ）］　一０．　因为　ｂ＝＝＝Ｅ（ｂｌｚ１＋６ｚｚｚ＋…＋６　），　ｅ—Ｅ　Ｊ∑ｂｉｚ　一∑ｂｌＥ（ｘ　）Ｉ＝＝＝Ｅｌ∑ｂ　（　一Ｅ（ｘ　））ｌ，　
第１期　令＆　一ｂ　￣／Ｄ（ｚ　），贝０　ｅ＝Ｅ章舜仲，等：相关系数矩阵与多元线性相关分析　１９７　一Ｅｌ　］。　［　ｉ＝ｌ　ｊ　＝ｌ　ｎ　ｘ　；－　Ｅ（ｘ；）　＋…＋　］一　ｉ＝１　ｊ　＝ｌ　ｎ　．　一０．　（１）　所以有ｎ　＇Ｒｎ一∑∑ａｉａ，ｌＤ　．由Ｒ的性质，存在正交阵Ｐ，ａ＝Ｐｙ，使得ｙＴＡｙ一０，其中Ａ是以Ｒ的特征　值　为对角元素的对角阵，则有下式　由Ｒ的性质可知　≥０．又由Ｙ—Ｐ　ａ，ｌ　Ｐ　ｌ≠０，可知Ｙ一０，则（１）式若要成立必存在零特征值，　所以ｆＲ　ｆ一０．　３多元线性相关系数　由以上线性相关性分析可知，７１元随机变量　，ｚ。，…，　的线性相关程度由均方误差ｅ衡量，　ｅ＝ａ＇ｒＲａ＝＝＝　Ｙ—　＋…＋　≥０．当变量的线性组合为常系数方程时，ｅ的大小由特征值　，　。，…，　决定，特征值越小　越小．当有零特征值时，８—０．因此特征值乘积即相关系数矩阵Ｒ的行列式ｌＲｌ在一　定程度上反映了”元随机变量的线性相关程度，Ｉ　Ｒ　ｌ越小，线性相关程度越高，则１一Ｉ　Ｒ　１可作为线性相　关度量指标，０≤１一ｌＲＩ≤１．当１一ｌＲｌ一１时，变量间以概率１存在线性关系．　然而由性质３可知，在　个随机变量中，若有任意是（是≥２）个变量之问以概率１存在线性关系即意　味着这　个随机变量之间的完全线性相关，比较以下两个矩阵．　１　１　０　０　１　Ｒ　一　Ｏ　Ｏ　１　０　０　０　０　１　１　１　１　０　１　０　０　，　１　１　１　０　Ｒｙ一　１　１　１　０　Ｏ　０　Ｏ　１　Ｒ　和Ｒ　分别是两组随机变量Ｘ一（ｚ　，．ｚ。，…）和ｊ，一（　，－ｙ２，…）所对应的相关系数矩阵，其中Ｘ中有两　个分量　和ｚ　完全相关，Ｙ中有三个分量　，　和Ｙ。两两完全相关，明显Ｙ相比　应该具有更高的相　关性度量值．然而ｌ　Ｒ　ｌ—ｌ　Ｒ　ｌ＝＝＝０，此时整体相关性被若干分量之间的相关性屏蔽，１一ｌ　Ｒ　ｌ指标不能较　好地反映一组随机变量的整体相关性．为此我们考虑矩阵秩的因素，定义多元随机变量问的线性相关系　数如下：　ｐ　一　ｌＤｘ一——　二丁一．‘　（２）　式（２）ｐｘ定义了”元随机变量Ｘ一（ｚ　，　。，…，　）的线性相关系数，　的相关系数矩阵Ｒ的秩为ｒ，ＩＲ　Ｉ　为最大非零子式．分析该式，由于Ｏ＜ｆＲ　ｉ≤ｌ，１≤ｒ≤　，则Ｏ≤ｐｘ≤１．　按式（２）计算以上两个矩阵Ｒ　和Ｒ　的相关系数，有　１一　一　，　＝＝＝　一号．　１Ｄ　（Ｒ　）＞　（Ｒ　），公式能够反映Ｘ和Ｙ之间相关性的差别．下面对几种情形进行讨论．　（ｉ）只有两个变量ｚ　和　：．　此时ｎ一２，相关系数矩阵为（　）．ｐ＝０时，秩为２，　一　一　一一。；ｌ０