高中数学复习方略课时提升作业：7.2空间图形的基本关系与公理（北师大版）（北师大版·数学理·通用版）

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课时提升作业(四十三)

一、选择题

1.正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F分别是线段C1D,BC的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是　(　　)

(A)相交 (B)异面 (C)平行 (D)垂直

2.已知命题:①若点P不在平面α内,A,B,C三点都在平面α内,则P,A,B,C四点不在同一平面内;②两两相交的三条直线在同一平面内;③两组对边分别相等的四边形是平行四边形.其中正确命题的个数是　(　　)

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

3.(2013·信阳模拟)平面α,β的公共点多于两个,则

①α,β垂直;

②α,β至少有三个公共点;

③α,β至少有一条公共直线;

④α,β至多有一条公共直线.

以上四个判断中不成立的个数为n,则n等于　(　　)

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

4.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l =M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过　(　　)

(A)点A

(B)点B

(C)点C但不过点M

(D)点C和点M

5.给出下列命题:

①没有公共点的两条直线平行;

②互相垂直的两条直线是相交直线;

③既不平行也不相交的直线是异面直线;

④不同在任一平面内的两条直线是异面直线.

其中正确命题的个数是　(　　)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

6.(2013·九江模拟)下列命题中正确的是　(　　)

①两条异面直线在同一平面内的射影必相交;

②与一条直线成等角的两条直线必平行;

③与一条直线都垂直的两条直线必平行;

④与同一个平面平行的两条直线必平行.

(A)①② (B)①③

(C)②④ (D)以上都不对

7.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列命题,其中正确的命题是　(　　)

①P∈a,P∈α⇒aα;

②a∩b=P,bβ⇒aβ;

③a∥b,aα,P∈b,P∈α⇒bα;

④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.

(A)①② (B)②③ (C)①④ (D)③④

8.平面α外有两条直线m和n,如果m和n在平面α内的射影分别是m1和n1,给出下列四个命题:①m1⊥n1⇒m⊥n;②m⊥n⇒m1⊥n1;③m1与n1相交⇒m与n相交或重合;④m1与n1平行⇒m与n平行或重合.其中不正确的命题个数是(　　)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

9.已知不共面的四个定点到平面α的距离都相等,则这样的平面α共有(　　)

(A)3个 (B)4个 (C)6个 (D)7个

10.(能力挑战题)在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线　(　　)

(A)不存在 (B)有且只有两条

(C)有且只有三条 (D)有无数条

二、填空题

11.已知异面直线a,b所成角为60°,P为空间任意一点,过P点作直线l使l与a,b都成60°角,则这样的直线l有　　　　条.

12.已知线段AB,CD分别在两条异面直线上,M,N分别是线段AB,CD的中点,则MN　　　　　 (AC+BD)(填“>”“<”或“=”).

13.下列命题中正确的是　　　　.

①若△ABC在平面α外,它的三条边所在的直线分别交平面α于P,Q,R,则P,Q,R三点共线;

②若三条直线a,b,c互相平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面;

③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面;

④若a不平行于平面α,且a⊈α,则α内的所有直线与a异面.

14.(2013·南宁模拟)如图,在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中,点O是底面ABCD的中心,点E,F分别是CC1,AD的中点,则异面直线OE与FD1所成角的余弦值为　　　　.

三、解答题

15.(能力挑战题)(2013·三明模拟)在四棱锥P -ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°.

若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.

答案解析

1.【解析】选A.直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.

2.【解析】选A.当A,B,C三点都在平面α内,且三点共线时,P,A,B,C四点在同一个平面内,故①错误;三棱锥的三条侧棱所在的直线两两相交,但三条直线不在同一平面内,故②错误;两组对边分别相等的四边形也可能是空间四边形,故③错误.

3.【解析】选C.由条件知当平面α,β的公共点多于两个时,若所有公共点共线,则α,β相交;若公共点不共线,则α,β重合.故①不一定成立;②成立;③成立;④不成立.

4.【解析】选D.∵ABγ,M∈AB,∴M∈γ.

又α∩β=l,M∈l,

∴M∈β.

根据公理3可知,M在γ与β的交线上.

同理可知,点C也在γ与β的交线上.

5.【解析】选B.没有公共点的两条直线平行或异面,故命题①错;互相垂直的两条直线相交或异面,故命题②错;既不平行也不相交的直线是异面直线,不同在任一平面内的两条直线是异面直线,命题③④正确,故选B.

6.【解析】选D.在正方体A′B′C′D′-ABCD中,

AA′与B′C′是异面直线,

AA′在平面ABCD中的射影是点A,

B′C′在平面ABCD内的射影是直线BC,故①错;

AB,AD与AA′所成的角都是90°,但AB,AD相交于点A,故②③错;

直线A′D′,A′B′都平行于平面ABCD,但它们相交,故④错.

7.【解析】选D.当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但aα,

∴①错;当a∩β=P时,②错;如图,∵a∥b,P∈b,∴P∉a,

∴由直线a与点P确定唯一平面α.

又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β过直线a与点P,

∴β与α重合,∴bα,故③正确;两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.

【误区警示】解答本题时对平面性质不熟、不善于举出反例是致错的主要原因.

8.【解析】选D.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1,AB1,B1C,A1B在底面A1B1C1D1上的射影分别是A1D1,A1B1,B1C1,A1B1.因为A1D1⊥A1B1,而AD1不垂直于AB1,故①不正确;又因为AD1⊥B1C,而A1D1∥B1C1,故②也不正确;因为A1D1与A1B1相交,而AD1与A1B异面,故③不正确;因为A1D1∥B1C1,而AD1与B1C异面,故④不正确.

9.【解析】选D.由题意知平面α可以分为两类:一类是在平面α的两侧各有两个点;另一类是在平面α的两侧分别有一个点和三个点.如图,三棱锥A-BCD,设E,F,G,H,M分别是AB,AC,AD,CD,BD的中点,过E,F,G三点的平面α满足题意,这样的平面有4个;又过E,F,H,M的平面α也满足题意,这样的平面有3个.故满足题意的平面α共有7个,应选D.

10.【思路点拨】以A1D1,EF,CD为棱构造平行六面体解决.

【解析】选D.先说明“对于空间内任意三条两两异面的直线a,b,c,与直线a,b,c都相交的直线有无数条”这个结论的正确性.无论两两异面的三条直线a,b,c的相对位置如何,总可以构造一个平行六面体ABCD -A1B1C1D1,使直线AB,B1C1,DD1分别作为直线a,b,c,在棱DD1的延长线上任取一点M,由点M与直线a确定一个平面α,平面α与直线B1C1交于点P,与直线A1D1交于点Q,则PQ在平面α内,直线PM不与a平行,设直线PM与a交于点N.这样的直线MN就同时与直线a,b,c相交.由于点M的取法有无穷多种,因此在空间同时与直线a,b,c相交的直线有无数条.依题意,不难得知题中的直线A1D1,EF,CD是两两异面的三条直线,由以上结论可知,在空间与直线A1D1,EF,CD都相交的直线有无数条,选D.

【变式备选】如图所示,ABCD -A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是　(　　)

(A)A,M,O三点共线 (B)A,M,O,A1不共面

(C)A,M,C,O不共面 (D)B,B1,O,M共面

【解析】选A.连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,

∴A1,C1,A,C四点共面,∴A1Cword/media/image12_1.png平面ACC1A1.

∵M∈A1C,∴M∈平面ACC1A1.

又M∈平面AB1D1,

∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,

同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.

∴A,M,O三点共线.

11.【解析】由于l与a,b所成角都是60°,而60°>30°,且120°角的一半也为60°,故这样的直线l有3条.

答案:3

12.【解析】如图所示,四边形ABCD是空间四边形,而不是平面四边形,要想求MN与AC,BD的关系,必须将它们转化到平面来考虑.取AD的中点为G,再连接MG,NG,在△ABD中,M,G分别是线段AB,AD的中点,则MG∥BD,且MG=BD,同理,在△ADC中,NG∥AC,且NG=AC,又根据三角形的三边关系知,MN即MN<BD+AC=(AC+BD).

答案:<

13.【解析】在①中,因为P,Q,R三点既在平面ABC上,又在平面α上,所以这三点必在平面ABC与平面α的交线上,即P,Q,R三点共线,所以①正确.

在②中,因为a∥b,所以a与b确定一个平面α,而l上有A,B两点在该平面上,所以lword/media/image12_1.pngα,即a,b,l三线共面于α;同理a,c,l三线也共面,不妨设为β,而α,β有两条公共的直线a,l,所以α与β重合,即这些直线共面,所以②正确.

在③中,不妨设其中有四点共面,则它们最多只能确定7个平面,所以③错.

在④中,由题设知,a与α相交,设a∩α=P,如图,在α内过点P的直线l与a共面,所以④错.

答案:①②

14.【解析】取D1C1的中点G,连接OF,OG,GE.

因为点O是底面ABCD的中心,F为AD的中点,

所以OFword/media/image16_1.pngCD,D1Gword/media/image16_1.pngCD,即OFword/media/image16_1.pngD1G,

所以四边形OGD1F为平行四边形.

所以D1F∥GO,即OE与FD1所成角也就是OE与OG所成角.

在△OGE中,OG=FD1=,GE=,OE=,

所以GE2+OE2=OG2,即△GOE为直角三角形,所以cos∠GOE===,

即异面直线OE与FD1所成角的余弦值为.

答案:

【变式备选】(2013·揭阳模拟)如图,正三棱柱ABC -A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是

(　　)

(A) (B) (C) (D)2

【解析】

选B.如图,取AC中点G,连接FG,EG,则FG∥C1C,FG=C1C;EG∥BC,EG=BC,故∠EFG即为EF与C1C所成的角(或补角),在Rt△EFG中,cos∠EFG===.

15.【解析】取AB的中点F,连接EF,DF,

∵E为PB中点,

∴EF∥PA,

∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或补角).

在Rt△AOB中,

AO=AB·cos30°==OP,

∴在Rt△POA中,PA=,∴EF=.

∵四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,

∴△ABD为正三角形.

又∵∠PBO=60°,BO=1,

∴PB=2,∴PB=PD=BD,即△PBD为正三角形,

∴DF=DE=,

∴cos∠DEF=

===.

即异面直线DE与PA所成角的余弦值为.

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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/2a5c8d4d5ff7ba0d4a7302768e9951e79a896920.html