圆内接四边形性质定理

圆内接四边形性质定理证明：

如右图：圆内接四边形ABCD，圆心为O，延长BC至E，AC、BD交于P，则：

1、圆内接四边形的对角互补：∠ABC+∠ADC=180°，∠BCD+∠BAD=180°

2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠DCE=∠BAD

3、圆内接四边形对应三角形相似：△BCP∽△ADP

4、相交弦定理：AP×CP=BP×DP

5、托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD

一、圆内接四边形的对角互补的证明（三种方法）

【证明】方法一：

利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

如图，连接OB、OD则∠A=β，∠C=α

∵α+β=360°

∴∠A+∠C=×360°=180°

同理得∠B+∠D=180°

（也可利用四边形内角和等于360°）

【证明】方法二：

利用直径所对应的圆周角为直角。

设圆内接四边形ABCD

证明：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°

连接BO并延长，交⊙O于E。连接AE、CE。

则BE为⊙O的直径

∴∠BAE=∠BCE=90°

∴∠BAE+∠BCE=180°

∴∠BAE+∠BCE-∠DAE+∠DAE=180°

即∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DAE=180°

∵∠DAE=∠DCE（同弧所对的圆周角相等）

∴∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DCE=180°

即∠BAD+∠BCD=180°

∠A+∠C=180°

∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C）=180°

（四边形内角和等于360°）

【证明】方法三：

利用四边形内角和为360°及同弧所对的圆周角均相等

连接AC、BD，将∠A、∠B、∠C、∠D分为八个角

∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8

∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360（四边形内角和为360°）

∠4=∠1，∠7=∠2，∠8=∠5，∠3=∠6

（同弧所对的圆周角相等）

∴∠1+∠2+∠5+∠6=×360°=180°

∵∠1+∠2=∠A

∠5+∠6=∠C

∴∠A+∠C=180°

∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C）=180°

（四边形内角和等于360°）

2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角证明

如图，求证：∠DCE=∠BAD

∠BCD+∠DCE=180°（平角为180°）

∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补）

∴∠DCE=∠BAD

3、圆内接四边形对应三角形相似

如上图，求证：△BCP∽△ADP，△ABP∽△DCP

证明：

∵∠CBP=∠DAP，∠BCP=∠ADP

（一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。）

又∵∠APD=∠BPC（对顶角相等）

∴△BCP∽△ADP

∵∠BAP=∠CDP，∠ABP=∠DCP

（一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。）

又∵∠APB=∠DPC（对顶角相等）

∴△ABP∽△DCP

4、相交弦定理

仍用上图，求证：AP×CP=BP×DP

证明：

∵△BCP∽△ADP（圆内接四边形对应三角形相似）

∴（相似三角形的三边对应成比例）

∴AP×CP=BP×DP

5、托勒密定理

求证：如图，四边形ABCD内接于圆O，那么AB×CD+AD×BC=AC×BD

【证明】方法一：

作辅助线AE，使∠BAE=∠CAD，交BD于点E

∵∠ABE=∠ACD（同弧AD所对的圆周角相等）

又∵∠BAE=∠CAD

∴△ABE∽△ACD

∴，即AB×CD=AC×BE (1)

∵∠BAE=∠CAD

∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC

即∠BAC=∠EAD

又∵∠ACB=∠ADE（同弧AB所对的圆周角相等）

∴△ABC∽△AED

∴，即BC×AD=AC×DE (2)

(1)+(2),得

∴AB×CD+BC×AD=AC×BE+AC×DE=AC（BE+DE）=AC×BD

【证明】方法二：

利用西姆松定理证明托勒密定理。（提示：本题要使用正弦定理），初三现有知识还不能求证。

广义托勒密定理

广义托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，其推论是任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，而且当ABCD四点共圆时取等号。

内容：凸四边形对边乘积和≥对角线的积

托勒密定理的推论：任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

证明如下：在四边形ABCD中,连接AC、BD,作∠ABE=∠ACD,∠BAE=∠CAD，则△ABE∽△ACD

∴ BE/CD=AB/AC,AB/AC=AE/AD

∴BE*AC=AB*CD ①,AB/AE=AC/AD

∵∠BAE=∠CAD

∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC

即∠BAC=∠DAE

又∵AB/AE=AC/AD,

∴△ABC∽△AED

∴BC/ED=AC/AD

∴ED*AC=AD*BC②

①+②,得

AC*(BE+ED)=AB*CD+AD*BC

又∵BE+ED≥BD

∴AC*BD≤AB*CD+AD*BC

从而命题得证，

且仅当E点落在线段BD上时，等号成立

此时∠ABD=∠ACD

∴ABCD四点共圆

托勒密定理逆定理同样成立:一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形内接圆。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/2a0b10820a1c59eef8c75fbfc77da26924c59659.html