`````
2019 年吉林省长春市中考数学试卷
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
1．如图，数轴上表示 -2 的点 A 到原点的距离是（ ）
A．-2 B．2 C．- D．
275000000 人次，年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为2．2019 275000000 ）这个数用科学记数法表示为（
9789A ． 27.5 ×10 B ．0.275 ×10 C． 2.75 ×10 D． 2.75 ×10
4 3．右图是由 个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（）
4．不等式 -x+2 ≥0的解集为（ ）
A ． x≥-2 B． x≤-2 C． x≥2D． x≤2
5．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中 “盈不足术 ”记载：今有共买鸡，人出九，
盈十一；人出六，不足十六，问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出 9 钱，会
多出 11 钱；每人出 6 钱，又差 16 钱，问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为 x，买鸡的
） y钱数为，可列方程组为（
A． B． C． D．
6．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子 AB 的长是 3 米．若梯子与地面的夹角
为 α，则梯子顶端到地面的距离 BC 为（ ）
A ． 3sin α米 B． 3cos α米 C． 米 D ． 米
第1页（共 23页）
```
`````
7．如图，在△ ABC 中，∠ ACB 为钝角．用直尺和圆规在边 AB 上确定一点 D．使∠
ADC=2 ∠ B ， ）则符合要求的作图痕迹是（
）．∠，0ACB=90°，的坐标分别为 （ 0，3）、（ 3△8．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC 的顶点 A 、C
），则 k 的值为（ B＞AC=2BC ，函数 y= （ k 0， x＞ 0）的图象经过点
D．A B．9
C． ．
18 分）分，共 二、填空题（本大题共6 小题，每小题 3
= - 9．计算： 3
ab+2b=
．分解因式： 10
2 -3x+1=0 根的判别式的值为x11．一元二次方程 ．
上，∠ MAB=33° ．过线段AB 上的点PQ MN B PQMN ．如图，直线12 ∥，点 A、分别在、
PQ AB C 作 CD⊥交于点 的大小为度． D ，则∠ CDB
落，，．如图，有一张矩形纸片13 ABCD AB=8 AD=6 AD 折叠，使边．先将矩形纸片 ABCD
相交于 E D 上，点 AB 在边落在点处，折痕为 AF EF AEF △ AF ；再将沿翻折，与 BC
点
，则G GCF △的周长为
```
`````
第2页（共 23页）
```
`````
2A 轴交于点 A ，过点（ a＞ 0）与 y 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax -2ax+ ，且 AM 于点 B P 为抛物线的顶点．若直线 O P 交直线作 x 轴的平行线交抛物线于点 M ．
的值为 a M 为线段 AB 的中点，则
三、解答题（本大题共 10 小题，共 78 分）
2 ． a= -4a（ a-1），其中15．先化简，再求值：（ 2a+1）
16．一个不透明的口袋中有三个小球， 每个小球上只标有一个汉字， 分别是 “家 ”、“家 ”、“乐 ”，除汉字外其余均相同． 小新同学从口袋中随机摸出一个小球， 记下汉字后放回并搅匀； 再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字． 用画树状图（或列表）的方法，求小新同学两次摸出小 球上的汉字相同的概率．
17．为建国 70 周年献礼， 某灯具厂计划加工 9000 套彩灯． 为尽快完成任务， 实际每天加工彩灯的数量是原计划的 1.2 倍，结果提前 5 天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩 灯的数量．
18．如图，四边形 ABCD 是正方形．以边 AB 为直径作⊙ O，点 E 在 BC 边上，连结 AE 交
⊙O 于点 F，连结 BF 并延长交 CD 于点 G． （1）求证： △ ABE ≌△ BCG ．
（2）若∠ AEB=55° ， OA=3 ，求 的长（结果保留 π）
```
`````
第3页（共 23页）
```
`````
19．网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况 ，从该
校七年级随机抽取 20 名学生，进行了每周网上学习时间的调查，数据如下（单位：时）：
3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8 2.5 2.2 3.5 4 1.5 2.5
3.1 2.8 3.3 2.4 整理上面的数据，得到表格如下：
样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上表中的中位数 m 的值为 ，众数 n 的值为
（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按 18 周计算）网上学习的时 间 小时的学生人数．200 （3）已知该校七年级有 名学生，估计每周网上学习时间超过 2
20．图①、图②、图③均是 6×6 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为 1，点 A 、 B、 C、D 、 E、 F 均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段 AB 为边画一个 △ ABM ，使其面积为 6．
（2）在图②中以线段 CD 为边画一个 △ CDN ，使其面积为 6．
（3）在图③中以线段 EF 为边画一个四边形 EFGH ，使其面积为 9，且∠ EFG=90° ． 第4页（共 23页）
```
`````
21．已知 A 、B 两地之间有一条长 270 千米的公 /
60 千米路．甲、乙两车同时出发，甲车以 时的速度沿此公路从 A 地匀速开往 B 地，乙车从 B 地沿此公路匀速开往 A 地，两车分别到 达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程 y（千米）与甲车的行驶时间 x（时）之间的函数 关系如图所示．
（1）乙车的速度为 千米 /时， a= ， b=
（2）求甲、乙两车相遇后 y 与 x 之间的函数关系式．
（3）当甲车到达距 B 地 70 千米处时，求甲、乙两车之间的路程．
22．教材呈现：下图是华师版九年级上册数学教材第 78 页的部分内空． 第5页（共 23页）
```
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例 2 如图 23.4.4，在 △ ABC 中， D、 E 分别是边 BC 、AB 的中点， AD ， CE 相交于点 G．求
证：
证明：连结 ED ．
请根据教材提示，结合图①，写出完事的证明过程．
结论应用：
交于点在 中，对角线 AC 、 BD O，E 为边 BC 的中点， AE ．交于点 F、 BD
（1）如图②，若 为正方形，且 AB=6 ，则 OF 的长为
（2）如图③，连结 DE 交 AC 于点 G．若四边形 OFEG 的面积为 ，则 的面积为
Rt△ ABC 中，∠ C=90°，AC=20 ，BC=15 ．点 P 从点 A 出发，沿 AC 向终点 ，图．23如C Q 从点 C 出发，沿射线 CB 运动，它们的速度均为每秒 5 个单位长度，点 P 同，运动在
时点到达终P、Q 同时停止运动． 当点 P 不与点 A 、C 重合时， 过点 P 作 PN⊥ AB 于点
点时，连结 N ，PN、PQ 为邻边作 PQMN ．设 PQMN 与 △ ABC 重叠部分图形的面积为 S．点 PQ，以
P 的运动时间为 t 秒． （1）① AB 的长为
②PN 的长用含 t 的代数式表示为
（2）当 PQMN 为矩形时，求 t 的值．
（3）当 PQMN 与△ ABC 重叠部分图形为四边形时，求 S 与 t 之间的函数关系式．
t 的值． （4）当过点 P 且平行于 BC 的直线经 PQMN 一边中点时，直接写出 第6页（共 23页）
```
`````
y= ．已知函数24 （1）当， n=5
b 的值． b（ 4，）在此函数图象上，求 ①点 P ②求此函数的最大值．
B，2 2A（，2）、 ），当此函数的图象与线段（ 4的两个端点坐标分别为（2）已知线段 AB
n 的取值范围．AB 只有一个交点时，直接写出
（3 4时，求 n 的取值范围． x ）当此函数图象上有 4 个点到轴的距离等于 7第 23页（共页）```
`````
2019 年吉林省长春市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
到原点的距离是（ ）．如图，数轴上表示1 -2 的点 A
A．-2 B．2 C．- D．
解：数轴上点 A 表示数为 -2， -2 到原点距离为 2
故选 B
275000000
2 275000000 人次，．2019 年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为
）这个数用科学记数法表示为（
87 2.75
． D2.75 0.275
×10．×A ． 27.5 10 B
9 9 10×10× C．
解：科学记数法为： 把一个数表示成 a 与 10 的 n 次幂的相乘的形式 （ 1≤a＜10，n 为整数） ， 8故 275000000 用科学记数法表示为 2.75 ×10
故选 C
3．右图是由 4 个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（ ）
解：如图 所示，主视观看第二列有两个正方形，第一列右上有一个正方形，
故观察为 ． ．故选 A
4．不等式 -x+2 ≥0的解集为（ ） A ． x≥-2 B． x≤-2 C． x≥2D． x≤2
解：解不等式 -x+2≥0，移项可得 -x≥-2，再系数化 1，两边同时除以 -1（注意改 ，变不等号方向）
≤2， x得 第 238页（共页）```
`````
故选 D．
5．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中 “盈不足术 ”记载：今有共买鸡，人出九， 盈十一；人出六，不足十六，问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出 9 钱，会
多出 11 钱；每人出 6 钱，又差 16 钱，问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为 x，买鸡的 钱数为 y，可列方程组为（ ）
D．． A ． B．C9 钱时，多出，鸡的钱数y，当每人 11 钱，则可列方9x-解：根据题意， 人数为 x程 11=y 为 出 ，
当每人出 6 钱时，差 16 钱，则可列方程 6x+16=y ，则解 x， y 可列方程组为 ．
D
故选
6．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子 AB 的长是 3 米．若梯子与地面的夹角
为 α，则梯子顶端到地面的距离 BC 为（ ）
A ． 3sin α米 B． 3cos α米 C． 米 D ． 米
解：如图所示：
α对应角为∠ BAC ，则 sin α= ，已知 AB=3 米，则 BC=sin α， AB=3sin
α米故选 A
7．如图，在△ ABC 中，∠ ACB 为钝角．用直尺和圆规在边 AB 上确定一点 D．使∠
ADC=2 B ，∠ 则符合要求的作图痕迹是（ ）
解：由题意作图∠ ADC=2 ∠B
第9页（共 23页）
```
`````
D 在线段 AC 垂直平分线上，能使A 、 作图痕迹，为点
，故舍掉；，不能使∠∠A= ∠ACD ADC=2 ∠ B
垂直平分线上，能使 、作图痕迹为点 D 在线段 BC B
B
，∴∠ ADC=2 ∠∠，如图∠∠B= ∠DCB B+∠ DCB= ACD
为 C、作图痕迹为点 D AB 中点，故不能使∠ ADC=2 （舍）∠B
）舍（D 选项 B
故选 ，（、 A C 的坐标分别为 0）、（3 3，的顶点△8．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC
°，）．∠0ACB=90
k，函数 y= （＞ ）的值为（，则 0 x 0，＞）的图象经过点B k AC=2BC
C． A．B9
．D．
解：如图所示， 10 第 23 页（共页）```
`````
AC 坐标分别为（ 0， 3），（ 3， 0）
故∠ AOC 为等腰直角三角形∠ ACO=45° ，
∴∠ ACB=45° ，
过点 B 作 BD ⊥ x 轴，交 x 轴于点 D， ∴∠ BDC=90° ，∠ CBD=45° ，
∴∠ BDC 为等腰直角三角形，
∴∠ AOC= ∠ BDC ，∠ ACO= ∠ BCD
∴△ AOC ∽△ BDC
∴ =
又∵ AC=2BC ，
∴AO=2BD
BD= ∴ CO=
∴ B 坐标为（ ， 0），∴D 坐标为（ ），（ k＞ 0， x＞ 0）图象上， ）代入
∵点 B 在函数 y= 将点 B 坐标（ y= 中，得 k= ，
故选 D．
6 小题，每小 3 分，共 18 分） 题 二、填空题（本大题共-
= 3
．计算：9 解：根据二次根式加减法则 2 故答案为： ． 10．分解因式： ab+2b=
b，得 b （ a+2） 解：利用乘法结合律，提取出 ） b（ a+2故答案为：2x-3x+1=0 根的判别式的值 为 11．一元二次方程 ．
解：∵ a=1， b=﹣ 3， c=1，
22 ×1=5，×（﹣ 3） ﹣ 41﹣∴△ =b 4ac=
故答案为： 5．
12．如图，直线 MN ∥ PQ，点 A、 B 分别在 MN 、PQ 上，∠ MAB=33° ．过线段 AB 上的点
C 作 CD⊥AB 交 PQ 于点 D ，则∠ CDB 的大小为 度．
```
`````
第 11 页（共 23 页）
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`````
PQ ∥解：∵ MN
°∴∠ ABD= ∠ MAB=33
AB ∵CD ⊥
DCB=90°∴∠
° -90 °=90∴∠ ABD+ ∠ CDB=180°
°=57°∴∠ CDB=90° -33
°故答案为： 57
落13．如图，有一张矩形纸片 ABCD ， AB=8 ，AD=6 ．先将矩形纸片 ABCD 折叠，使边 AD
相交于 AF 与 BC 翻折， △ AEF 沿 EF 处，折痕为在边 AB 上，点 D 落在点 E AF ；再将 GCF 的周长为 点G，则△
CFG=45°，∠ 解：由图可知， FC=EB=AB-AD=8-6=2
FC=2
FG=
∴GC=FC=2 ，∴
∴△ GCF 周长为； 2+2+2 =4+2
4+2
故答案为：
2A ，过点轴交于点＞（ 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax -2ax+ a 0）与 y A 于点 P ．为抛物线的顶点．若直线O P 交直线 AM B，且M 轴的平行线交抛物线于点作 x
的值为 AB M 为线段的中点，则a
页（共 12 第 23 页）```
`````
解：将 x=0 代入原式得 y=
， ∴ A （ 0， ）
22将 y= 代入得 ax -2ax+ = ， ax -2ax=0 ， x=2 ．
∴M（2， ）
∵ M 为线段 AB 中点，
∴ B （ 4， ）代入 y=kx 中求得 OB 解析式为 y= x，
将 x=1 代入得 P（ 1， ）将 P 代入抛物线解析式中得 a=2． 故答案为： 2．
三、解答题（本大题共 10 小题，共 78 分）
2 ．），其中 a= ．先化简，再求值：（ 2a+1）-4a（ a-115
22+4a=8a+1
=4a+4a+1-4a解：原式
将 a= 代入原式 = ×8+1=2
”、分别是 “家 16．一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，记下汉字后 “家小新同学从口袋中随机摸出一个小球，”，除汉字外其余均相同． ”、“乐用画树状图（或列表）的方法，求小新 放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字． 同学两次摸出小 球上的汉字相同的概率． 解：树状图如下：
两次摸出相同小球的情况共有 5 种，故答案为
17．为建国 70 周年献礼， 某灯具厂计划加工 9000 套彩灯． 为尽快完成任务， 实际每天加工彩灯的数量是原计划的 1.2 倍，结果提前 5 天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩 灯的数量．
1.2x 套套，则实际每天加工这种彩灯解：设原计划每天加工这种彩灯 x
+5
=5
1800=6x
x=300
x=300 经检验是方程的根．```
`````
第 13 页（共 23 页）
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`````
300
套． 答：原计划每天加工这种彩灯
18．如图，四边形 ABCD 是正方形．以边 AB 为直径作⊙ O，点 E 在 BC 边上，连结 AE 交
⊙O 于点 F，连结 BF 并延长交 CD 于点 G． BCG ．△ ABE ≌△（1）求证：
π）的长（结果保留° ， OA=3 ，求 （2）若∠ AEB=55
在圆上，∴（1）证明：∵ F AF ⊥ BF，∠ BAF+ ∠ ABF=90∠ ，∠ ABF+ ° ° BGC=90 FEB=90 FBE+ ∠°，∠ FBE+ ∠ CBF=90°∴∠ BAF+= ∠ CBF ，∵∠
BGC，在 △ABE 和中△BGC FEB= ∴∠∠
BCE ABE ≌△（ ASA ）∴△
OF）解：连接，（2
则OF=OB ，由（ 1°∠ ABF= ∠ AEB= BGC=55）可得∠ BOF=70°，∠°∴∠ BFO=55
3=π2=∴ ×π×
，从该．网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况19 校七年级随机抽取 20 名学生，进行了每周网上学习时间的调查，数据如下（单位：时）：
3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8 2.5 2.2 3.5 4 1.5 2.5
整理上面的数据，得到表格如下：3.1 2.8 3.3 2.4
样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 页（共 14 第 23 页）```
`````
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上表中的中位数 m 的值为 ，众数 n 的值为
（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按 18 周计算）网上学习的时 间
200 名学生，估计每周网上学习时间超过 2 小时的学生人数．（3）已知该校七年级有
2.4，，2.5 1解：将调查数据由小到大排列为： 0.6，， 1.5， 1.5， 1.8， 2， 2， 2.2， 4．，2.5，2.5，2.5， 2.8， 3， 3.1， 3.3,3.3 3.5，
（1）则中位数 m 为第 10 与 ,11 两个数的平均数为 n 为出现最多的数为=2.5，众数
2.5． （2）由题中表格可知平均数为 2.4，即该校七年级学生平均每人一周网上学习时间为 2.4 小
时，则平均每人一学期学生时间为 2.4 ×18=43.2 时．
（3）由调查可知， 每周上网学习超过 2 小时的学生占 = ，则 200 名学生中每周上网
超过 2 小时的学生人数估计200× =130
为 人．
故答案为：（ 1） 2.5；
2.5．
20．图①、图②、图③均是 6×6 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为 1，点 A 、 B、 C、D 、 E、 F 均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
6． ABM ，使其面积为 （1）在图①中以线段AB 为边画一个 △
6．为边画一个 CD △ CDN ，使其面积为（2）在图②中以线段
° ．，使其面积为 9，且∠ EFG=90EFGH （3）在图③中以线段 EF 为边画一个四边形
解：（ 1）因小正方形边长为 1，已知 AB=3 ，则要使 △ ABM 面积为 6，只要以 AB 为底，高为 4 即可，如图， M 在直线 NP 上任意一点均可．
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`````
第 15 页（共 23 页）
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`````
（2） CD 竖向距离3，当 为 3，可看为以水平方向为底，竖直方向为高的三角形一边，高为时，面积就 4 底为 为 6，如图（答案不唯一）
（3）以线段 EF 为边画一个四边形， 使其面积为 9，我们已知最规则面积为 9 的四边形是边长为 3 的正方形，但 E、F 不是网格上的边，我们可用割补法来求出我们想要图形，如图四边形四边形 JFIH=9
，则 S
EFGH =S
S△FGI =S△EJF所示，
21．已知 A 、B 两地之间有一条长 270 千米的公路．甲、乙两车同时出发，甲车以 60 千米 /
时的速度沿此公路从 A 地匀速开往 B 地，乙车从 B 地沿此公路匀速开往 A 地，两车分别到
达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程 y（千米）与甲车的行驶时间 x（时）之间的函数
关系如图所示．
千米 /时，
b=
a=
（1）乙车的速度为 ，）求甲、乙两车相遇（2y 与 x 后 之间的函数关系式．
（3）当甲车到达距 B 地 70 千米处时，求甲、乙两车之间的路程．
解：（ 1）共 270 千米， 2 小时两车相遇，即两车共270 千米， V 总=270÷2=135
走 （ km/h）
=135-60=75km/h -V 总甲甲=60km/h ，∴ V 2=V ∵V
t
a 点为乙车到 A 地时的时乙
75=3.6 =270 ÷间，即 =b 点为甲车到 B 地的时间，t 甲
60=4.5=270 ÷即 =
（2）设函数关系式为 y=kx+b ，当 2＜ x≤3.6时，斜率 k 为两车速度和 135 y=135x-270
，∴，∴时，，又有∴y=135x+b x=2 y=0 b=-270
```
`````
当 3.6＜ x≤4.5时，斜率 k 为甲车速度为 60，∴
y=60x+b ，又有 x=4.5 时， y=270 ，∴ b=0 ，∴ y=60x ， 第 16 页（共 23 页）
```
`````
综上所述，
（3）甲距 B 地 70 千米处时， t= = ，当 x= 时， y=135× -270=180km
千米．180 ∴甲乙两车之间路程为
4.5
3.6故答案为：（ 1） 75；；
页的部分内空． 22．教材呈现：下图是华师版九年级上册数学教材第78
例 2 如图 23.4.4，在 △ ABC 中， D、 E 分别是边 BC 、AB 的中点， AD ， CE 相交于点 G．求
证：
证明：连结 ED ．
请根据教材提示，结合图①，写出完事的证明过程．
结论应用：
交于点、中，对角线 AC BD BD 、的中点， BC 为边， OE AE F．交于点在
（1）如图②，若 为正方形，且 AB=6 ，则 OF 的长为
（2）如图③，连结 DE 交 AC 于点 G．若四边形 OFEG 的面积为 ，则 的面积为
ED
解：教材呈现：连接
17 第 23 页（共页）```
`````
∵E、 D 分别为 AB 、 BC 中点
∴E、 D 为三角形 AB 的中位线
∴ED ∥ AC ，且 ED= AC ，而由于 ED∥ AC
∴∠ DEC= ∠ECA
又∠ EGD= ∠ AGC
CGA
EGD∽△∴△
∴
又 EC=EG+GC ， AD=AG+AD
∴
结论应用：（ 1）在 △ ABC 中， O 为 AC 中点， E 为 BC 中点，故在 △ ABC 中， F 点为中线
的交点，即 ，而 AB=AC=6 ，故 AC=6 ， BO=3 ， OF=
（2）连接 OE， OE 为 △ OBC 中线，故 S =S ，在 △ ABC 中，可得 OF= OB ，而在 OECOBE△△△OEB 中，由于 △OEB 与 △OEF 等高，故 S△OFE ： S△OEB =OF： OB=1 ： 3
同理 S△OGE ： S△OEC =1：3，故 S△FEG：S△ OBC=1 ： 3，故 S△FEG： SABCD =1： 12
故 SABCD = ×12=6
；（ 2）故答案为：（ 1） 6
Rt△ ABC 中，∠ C=90°，AC=20 ，BC=15 ．点 P 从点 A 出发，沿 AC 向终点 ，图．如23C Q 从点 C 出发，沿射线 CB 运动，它们的速度均为每秒 5 个单位长度，点 P 同，动在运
时点到达终P、Q 同时停止运动． 当点 P 不与点 A 、C 重合时， 过点 P 作 PN⊥ AB 于点
点时，连结 N ，PN、PQ 为邻边作 PQMN ．设 PQMN 与 △ ABC 重叠部分图形的面积为 S．点 PQ，以
P 的运动时间为 t 秒．
AB 的长为（1）① 的代数式表示为的长用含②PN t
```
`````
第 18 页（共 23 页）
```
`````
（2）当 PQMN 为矩形时，求 t 的值．
（3）当 PQMN 与△ ABC 重叠部分图形为四边形时，求 S 与 t 之间的函数关系式．
t 的值． （4）当过点 P 且平行于 BC 的直线经 PQMN 一边中点时，直接写出
=25
AB=
ABC 为直角三角形，由勾股定理得）①由于 △解：（ 1
②由于 PN⊥ AB ，故∠ PNA=90° =∠ C，即∠ A= ∠ A ，故 △ANP ∽△ ACB
故 ∴ PN=3t
（2） 由于 PNMQ 为矩形， PN⊥ NM ，故 M 点落在 AB 上，
而 PN=4t ，△ QBM ∽△ ABC ，故
QM= （ 15-5t）
QM=PN 得 t=
（3）
在运动过程中，起始为 PNQM 的平行四边形是阴影部分（图一）后， M 总落在 AB 上，形
Q 达到 M 成矩形，后总落在三角形处，阴影部分为梯形（图二），后 B 点继续移动，阴影
部分为三角形（图三），而题意及（ 2）得分总为 t= 和 t=3 ，求前两种
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①当 0＜ t＜ 时，以 PN 为底，延长 QM 与 O，NO 为高，由 PN=3t ，PA=5t ，∴ AN=4t ，而
）（ 15-5t QB= QOB ∽△ ACB ，故（ 15-5t）， OB= △
2 =3t ×[25-4t- （ 15-5t ） ]=48t-3t ）S=PN·NO=PN× （ AB-AN-OB
）（ 15-5t时，设当 ＜ t＜3 QM 与 AB 交于 O， QO=
]
）[25-4t- （ 15-5t×5t+ （ 15-5t） ] × S= （ PN+QO ）×NO= [
-14t+96
） = 16-t）（ 12-t= （
）（4
上或 QM 上 NM CB 作 PH∥，则 H 可能在
BC 在当 H NM 上，则 NH=HM MS∥∥作，过 N NRCB，
中点， RQ O O PQ PS=a设 ，设 SM 与交点为，易得为 RP=RS=SC=a
由平行线等分线段定理得， NPN ∽△； AC NR NR而 ∥ CB ，∴⊥，易得△ RPN
，而 AR= ARN △∽△ ANP ，∴a
成立＜解得 t= 4
PRM △RS=SP=PC=a ，在 ，由上一种情况，我们得到 RS=a，设上，则在当 H QM QH=HM
a
中， RN= AP= ，故a
∴
成立 4 ＜∴t= 第页（共 20 23 页）```
`````
故答案为：（ 1）① 25；② 3t．
24．已知函数 y= （1）当 n=5，
①点 P（ 4， b）在此函数图象上，求 b 的值． ②求此函数的最大值．
（2）已知线段 AB 的两个端点坐标分别为 A（ 2，2）、 B（ 4，2），当此函数的图象与线段
AB 只有一个交点时，直接写出 n 的取值范围．
（3）当此函数图象上有 4 个点到 x 轴的距离等于 4 时，求 n 的取值范围．
解：（ 1）当 n=5 时， y=
2 =
）×4+5，故5 b= （ -4+5①由于 4＜
②y=
y=5 时，x 当≥5 x=5 最大
当 x＜ 5 时， x= 最大 y= ＞ 5，故最大值为
x点为边界，设当 A 2（）①首先以≥n时的图形如 ＜ x当α n β时为
的不断增大，图恰好有一个交点，交点在 AB 如图一：此时函数图象与线段 上，随着α n
象逐渐右移直至 B 与相交．β
．图一情况下， ）分别代入 2， 2如图二，将（n=
， n=2得α，β 可 恰有一个交点，所以n
以取到 2，而图二情况下，恰有两个交点，故 n 不能取到
综上 2≤n＜ 第 21 页（共 23 页）
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②n 从图二的情况开始继续不断增大的一段时间内函数图象与线段一直有两个交点， 直到如 图三，此时 β与线段有一个交点，而 α刚要离开线段．在此之后直至运动至图四情况． β刚
要离开线段 AB 在此期间之内，函数图象与线段 AB 一直只有一个交点，
图三中将（ 4， 2）代入 α得 n=
，
图四中将（ 4， 2）代入 β得 n=4 ，注意图三时恰有两个交点， 因此 n＞ ，而在图四情况下，恰有一个交点，故 n≤4
综上 ＜ n≤4．
综上所述 n 的取值范围是 2≤n＜ 或 ＜ n≤4．
（3）当有 4 个点到 x 轴的距离等于 4，即函数图象与直线 y=4 和直线 y=-4
恰有四个交点．
α．x x＜ n 时图象为 β，≥n时图象为 ①设
当 n 很小时函数图象与 y=±4 一直有 4 个交点，不断增大 n，直到如图五情 β刚要 况，此时
2n+ ·n+ =-4 ，n=-8 故 个交 5 有±函数与，之后的一段时间内，经过 y=-4 y=4
n≤-8 点，此时 时恒成立．
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②在图五之后的一段时间内，函数与 y=±4 共有 5 个交点．直到运动到图六情况 α的顶点落
在 y=4 上，即 +n=4，∴ n=-2 -2（舍 n＞0 解）
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