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完美版圆锥曲线知识点总结

发布时间：2020-03-04 02:27:41 来源：文档文库

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圆锥曲线的方程与性质

1．椭圆

（1）椭圆概念

平面内与两个定点800618943025315f869e4e1f09471012.png、162b23614f3de15ba9c77440d9b75780.png的距离的和等于常数20cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png（大于a7897b68a0645cd54c92fcf496934eb9.png）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png为椭圆上任意一点，则有fad8b4e20ef615d535cd83c2ddf11a81.png。

椭圆的标准方程为：1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（f47950a73ee734549f8bbedaf73a6184.png）（焦点在x轴上）或2238ca993f9ef11274343df8fd75f1e6.png（f47950a73ee734549f8bbedaf73a6184.png）（焦点在y轴上）。

注：①以上方程中b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png的大小f47950a73ee734549f8bbedaf73a6184.png，其中f22a0938f6796c1d5f82cd28027ed35c.png；

②在1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png和2238ca993f9ef11274343df8fd75f1e6.png两个方程中都有f47950a73ee734549f8bbedaf73a6184.png的条件，要分清焦点的位置，只要看c66452631491acdbf8e5ed69dfd19681.png和7734878eec1f16ee88099b432b86e29f.png的分母的大小。例如椭圆438aed61be8f2a14d5c3dc4c6cdf34b4.png（0a0596a02eb219bd6336b93543a68c06.png，3a17f57d9af78403b7ac2dd5f82c2d3c.png，ecdbcb55519a40795841162b83186e6f.png）当7b66ffb7eb82a7c53eabe84662ae0bc6.png时表示焦点在9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴上的椭圆；当48574888561da3083126521f8d1b6682.png时表示焦点在415290769594460e2e485922904f345d.png轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质

①范围：由标准方程1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png知de32d8a0739ec0a2600d871a9df80e45.png，78e7711c91a9c8547ad227e2dcdd798a.png，说明椭圆位于直线579a711165b4002aa3c7bade0b512d27.png，0a0a751a7a480431b0159fd3c9d19a60.png所围成的矩形里；

②对称性：在曲线方程里，若以1aaa7a5e95a21d41dfb7e64663f9b39f.png代替415290769594460e2e485922904f345d.png方程不变，所以若点90cbc22edf225adf8a68974f51227f05.png在曲线上时，点9e88572d1711d2d65975caf63f662b7f.png也在曲线上，所以曲线关于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴对称，同理，以904abc369cef421885cb4be4a97ad863.png代替9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png方程不变，则曲线关于415290769594460e2e485922904f345d.png轴对称。若同时以904abc369cef421885cb4be4a97ad863.png代替9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，1aaa7a5e95a21d41dfb7e64663f9b39f.png代替415290769594460e2e485922904f345d.png方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴、415290769594460e2e485922904f345d.png轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴、415290769594460e2e485922904f345d.png轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png，得0a0a751a7a480431b0159fd3c9d19a60.png，则9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png，5462323e5e436a5bc222749914f69265.png是椭圆与415290769594460e2e485922904f345d.png轴的两个交点。同理令fab37d6c4a697fe660387d3ff8e889a4.png得579a711165b4002aa3c7bade0b512d27.png，即7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，a5691ec7212cdd7cf99cbf886942a79c.png是椭圆与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png、9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为e36314e624d2b2ca257e1f1ecb381f93.png和f8bc2fbe2c937ea5b5e8839cbea69491.png，0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png和92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png；在74a6836f7cdce26bfcafd7818c12020f.png中，fdc8cedaf4fae917938141b3fb44d854.png，59633caa2960084bdac3855bb7aa927e.png，698e303a4b9ee37c52c032b681772445.png，且1f3b3058f54d5c6b1334814dc487daea.png，即264995e20538d64d93e7d449504115a7.png；

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比8e7a42eb98a20c0951a74d8bff591040.png叫椭圆的离心率。∵7c6b9a2ccd604e2f9cfa177aa1056a63.png，∴b2af9b8077cedbf200cb55d2106e0a99.png，且e1671797c52e15f763380b45e841ec32.png越接近c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png就越接近0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，从而92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png就越小，对应的椭圆越扁；反之，e1671797c52e15f763380b45e841ec32.png越接近于cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png就越接近于cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png，从而92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png越接近于0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，这时椭圆越接近于圆。当且仅当7acaac15494e6820b1ed6d8b539af089.png时，633bff1fa0b2fabb9e12f0f4285e42cb.png，两焦点重合，图形变为圆，方程为5e7ded6b3a54ab3a99b931185210e0fc.png。

2．双曲线

（1）双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（da2650bf50c62ac8fadd96ea90d78e21.png）。

注意：①式中是差的绝对值，在5b2e707a0b0260ad699ed49683ff001a.png条件下；b3a03da06135d0b78f3c1b0f6fbe9aee.png时为双曲线的一支；073ca84ad65822c58a2b3141c5ec577a.png时为双曲线的另一支（含39a427e0b250982dd0fab7c404b4e2c2.png的一支）；②当17e82512e3f6371e63c81cdc78fe1d2d.png时，da2650bf50c62ac8fadd96ea90d78e21.png表示两条射线；③当b11f1bbaa1853049a0011d14db4a76b4.png时，da2650bf50c62ac8fadd96ea90d78e21.png不表示任何图形；④两定点8b73bdbf452fd7cf6840411396bfb043.png叫做双曲线的焦点，d8bba9f4dbf40015aeabcbdf8a7811e8.png叫做焦距。

（2）双曲线的性质

①范围：从标准方程45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线579a711165b4002aa3c7bade0b512d27.png的外侧。即cae75718375d87da886ee14941bc7a62.png，43d2ffe96a75e510a1a7d070b2c8d54d.png即双曲线在两条直线579a711165b4002aa3c7bade0b512d27.png的外侧。

②对称性：双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png的方程里，对称轴是f10bc3c94b77e1d6b9f98106daf335c1.png轴，所以令fab37d6c4a697fe660387d3ff8e889a4.png得579a711165b4002aa3c7bade0b512d27.png，因此双曲线和9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴有两个交点a99bf232c72fe2206f6d59179c10f89c.png，他们是双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png的顶点。

令e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：线段c21a07e1346b540126bf5fab786bd607.png叫做双曲线的实轴，它的长等于8c6608b785d9a7ff98c0bb8bd3629461.png叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段23244c1fcf89a09cbc6466442be2d374.png叫做双曲线的虚轴，它的长等于087f0fc159f67454921f0da3261f7fc6.png叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

⑤等轴双曲线：

1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：7acaac15494e6820b1ed6d8b539af089.png；

2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：b4706378698ae854a261d2ad415b2d98.png ；（2）渐近线互相垂直。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征7acaac15494e6820b1ed6d8b539af089.png，则等轴双曲线可以设为：5b51256d2da728c698046c31f1a5a0e6.png ，当b4a0aa34ac4fab62293e6a834b19c6af.png时交点在9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴，当c4b446837483b1714a478c5e7a5d539c.png时焦点在415290769594460e2e485922904f345d.png轴上。

⑥注意31c6d0621f77b8f73a33b3d7d6d7b2ed.png与c2f59f074bc74b29fcbe2e2147829cd4.png的区别：三个量a44c56c8177e32d3613988f4dba7962e.png中b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png不同（互换）4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。

3．抛物线

（1）抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

方程7c36ce856ffd069816a0904be68e352c.png叫做抛物线的标准方程。

注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（88b318400ecbd15bc8e689e712e73d48.png,0），它的准线方程是4e6606ede92d865fb30af080f1db42e2.png ；

（2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：2ef925c9f16eb2aa68b9c40149d15b53.png，c7aa00efe62b38b9097f55c9fbab11b5.png，ad3bd62588df7467408255e3a3d2eceb.png.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：

说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png的几何意义：是焦点到准线的距离。

4. 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理

1、方程的曲线：

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系：若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.pngf(x0,y 0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C上ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.pngf(x0,y0)≠0。

两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png{word/media/image133_1.png方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。

二、圆：

1、定义：点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.

2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2

圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2

(2)一般方程：①当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为word/media/image134_1.png半径是word/media/image135_1.png。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+b5cd2ae218dd52d484312a32fd407721.png)2+(y+d46699b0b54841de409d837eac055f80.png)2=a68f3556071868684c8a40c388943334.png

②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-b5cd2ae218dd52d484312a32fd407721.png,-d46699b0b54841de409d837eac055f80.png);

③当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.

（3）点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则｜MC｜＜rce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png点M在圆C内，｜MC｜=rce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png点M在圆C上，｜MC｜＞rce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png点M在圆C内，其中｜MC｜=f3981959c436b56150ef7468aacc568c.png。

（4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png有两个公共点；直线与圆相切ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png有一个公共点；直线与圆相离ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png没有公共点。

②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离word/media/image140_1.png与半径r的大小关系来判定。

三、圆锥曲线的统一定义：

平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。

四、椭圆、双曲线、抛物线：

【备注1】双曲线：

⑶等轴双曲线：双曲线word/media/image159_1.png称为等轴双曲线，其渐近线方程为word/media/image160_1.png，离心率word/media/image161_1.png.

⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.word/media/image162_1.png与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：word/media/image164_1.png.

⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为word/media/image166_1.png如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为word/media/image168_1.png.

【备注2】抛物线：

（1）抛物线word/media/image169_1.png=2px(p>0)的焦点坐标是(word/media/image170_1.png,0)，准线方程x=-word/media/image171_1.png ，开口向右；抛物线word/media/image172_1.png=-2px(p>0)的焦点坐标是(-word/media/image173_1.png,0)，准线方程x=word/media/image174_1.png，开口向左；抛物线word/media/image175_1.png=2py(p>0)的焦点坐标是(0,word/media/image176_1.png)，准线方程y=-word/media/image177.wmf　，开口向上；

抛物线word/media/image178.wmf=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-word/media/image179.wmf），准线方程y=word/media/image180_1.png，开口向下.

（2）抛物线word/media/image181_1.png=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离word/media/image182_1.png；抛物线word/media/image183_1.png=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离word/media/image184_1.png

（3）设抛物线的标准方程为word/media/image185_1.png=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为word/media/image186.wmf，顶点到准线的距离word/media/image187_1.png，焦点到准线的距离为p.

（4）已知过抛物线word/media/image188_1.png=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长word/media/image189_1.png=word/media/image190_1.png+p或word/media/image191_1.png(α为直线AB的倾斜角)，word/media/image192_1.png，word/media/image193_1.png(word/media/image194.wmf叫做焦半径).

五、坐标的变换：

（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.

（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。

word/media/image195.gif（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是（x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是word/media/image196_1.png.设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 word/media/image197_1.png或 word/media/image198_1.png

word/media/image195.gif叫做平移(或移轴)公式.

（4）中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：

六、椭圆的常用结论：

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5. 若2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png在椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png上，则过13899aa46204b02713a854702142955d.png的椭圆的切线方程是63a525a4088c8547cbeaf77da9575b67.png.

6. 若2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png在椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png外，则过word/media/image213_1.png作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是63a525a4088c8547cbeaf77da9575b67.png.

7. 椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点4ffaaa513dd1316df8be248b83f830ee.png，则椭圆的焦点角形的面积为d8a1d9df00753b0a4eed4f1d885c8d8d.png.

8. 椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（a＞b＞0）的焦半径公式e4b489ece61c96a9f60e9f01c3ef6b87.png,5c12eab8f7f34f6b11e19547103821e1.png(b2b36be2c658b34023a05d2b691a511a.png ,4702529e9c7ce8371637fae82ccf0747.png70d3efd00780cbdcf86fd855877c442f.png).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

11. AB是椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png的不平行于对称轴的弦，Mfc6c713e7eb34f6cb756d754fc2f61db.png为AB的中点，则e00e12baaafc5e627d0e5ff04468b88d.png，即9fb6c9b8ab88479e1b3d735b29322fd5.png。

12. 若2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png在椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png内，则被Po所平分的中点弦的方程是8c635efdbd3fdeaf4bd3fe27e9677662.png；

【推论】：

1、若2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png在椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png内，则过Po的弦中点的轨迹方程是b637571dc64e22090dcf37aa64f6813f.png。椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（a＞b＞o）的两个顶点为fdc337bc3bf575f3087b34775f9b4729.png,a5691ec7212cdd7cf99cbf886942a79c.png，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png.

2、过椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png (a＞0, b＞0)上任一点54dc9ca4245caae78b461320b6392001.png任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且2301f41645a36db70cb509bd5ee3c887.png（常数）.

3、若P为椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, 317935b7909c4755d9315cf7fb07acd7.png, 9d7a91e4cc2291629419a9bc89f8d189.png，则c2ae94cbdd2de4713b60b739a38cad9a.png.

4、设椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记11335cd92814e7c4d4ed1f779b0a16a7.png, c68a59f8e8fadf85302a95511b3e4075.png,e294f849e3a543519befabd1f56fa2a5.png，则有a434e60759d2e0065c42740e2c5d3ca8.png.

5、若椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤c8168f582ccafb1cc49f0ef6d5a66f3b.png时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

6、P为椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则64c13702c282ab1e78e2ec05606d3802.png,当且仅当cce6a2b940b395e52b3e0860a05e976a.png三点共线时，等号成立.

7、椭圆e7fbf47aca99202138437c4439542393.png与直线a5e71795889fcbb45c6d9c0bf203f34f.png有公共点的充要条件是bb797327fc9ba28febcf23ee39e6e107.png.

8、已知椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且9d0e7f0b419d2fbebadd5c7c40c66a43.png.（1）5aa261c68b73e66419360c01c089eacc.png;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为369d12467bf2c46280b84d632a3b3221.png;（3）4424f688d053300b486e5f50fa492c61.png的最小值是65d8ba85ce998d58e7efc23a61930c9a.png.

9、过椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则2d58f9445737941921b98db48d304409.png.

10、已知椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点7b0207925e26d6352e1016d1de34013e.png, 则8d11b1a319134ecae3e4e7e07753506c.png.

11、设P点是椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记d4d509eda8906c6e11c38f14de30152f.png，则(1)d6e002c9802d1305ae34522c83741d26.png.(2) c12fc01b86795b754b2541a60629eb1a.png.

12、设A、B是椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，652400af54fd5dd0c2dd26bb63d20415.png, 1f9670f1569388ab9c6805157cd5610e.png,03b6009b71dff54da8df240dcef26d65.png，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)be1c45fcb6e8aad797787a5ca54c6521.png.(2) ac48500b69f6a42734da9db335c0091c.png.(3) 8ba496b357cce8ff04a947e8a4e4ddc0.png.

13、已知椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（ a＞b＞0）的右准线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与x轴相交于点3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png，过椭圆右焦点800618943025315f869e4e1f09471012.png的直线与椭圆相交于A、B两点,点0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png在右准线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png上，且fa25a808dce7bec83eb0d0773afadedb.png轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

七、双曲线的常用结论：

1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2、PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

5、若2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png在双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）上，则过13899aa46204b02713a854702142955d.png的双曲线的切线方程是9d2dd0992b4d6411cc89877d5800b417.png.

6、若2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png在双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是9d2dd0992b4d6411cc89877d5800b417.png.

7、双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点4ffaaa513dd1316df8be248b83f830ee.png，则双曲线的焦点角形的面积为46c537cd258d231b0a9226f3ece34ef2.png.

8、双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(b2b36be2c658b34023a05d2b691a511a.png , 4702529e9c7ce8371637fae82ccf0747.png）当70d3efd00780cbdcf86fd855877c442f.png在右支上时，0931cca22258b655730091ef80553208.png,e4c9036d215fcd645b36ede6250da9b4.png；当70d3efd00780cbdcf86fd855877c442f.png在左支上时，e67924011c73192d9190f24d81cbc73e.png,e68297b7934067bb8fe806cc08271b83.png。

9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

11、AB是双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，Mfc6c713e7eb34f6cb756d754fc2f61db.png为AB的中点，则7a7c0e69de8dc44306de7b7e20990a47.png，即d3f030e1eb6efead6fe2b28cdeca148d.png。

12、若2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png在双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是2aa23bd15b8fab3ffc662da3c456b69c.png.

13、若2c3079526646d710fbe24fddc3d9b89f.png在双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是023b80aa9868aa9dcfba1696dc3b262f.png.

【推论】：

1、双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）的两个顶点为fdc337bc3bf575f3087b34775f9b4729.png,a5691ec7212cdd7cf99cbf886942a79c.png，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png.

2、过双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞o）上任一点54dc9ca4245caae78b461320b6392001.png任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且cc8166fb11fca9b8f2aea7e2ad97338d.png（常数）.

3、若P为双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, 317935b7909c4755d9315cf7fb07acd7.png, 9d7a91e4cc2291629419a9bc89f8d189.png，则7e49ba5875ba705161e955f1af1bb27b.png（或964221603e94279c1032f96bbc2ad296.png）.

4、设双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记11335cd92814e7c4d4ed1f779b0a16a7.png, c68a59f8e8fadf85302a95511b3e4075.png,e294f849e3a543519befabd1f56fa2a5.png，则有26fc812969317b3147f97caec8c0ebf2.png.

5、若双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤4bc3c43b38c136cb7a40b233c50b591e.png时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

6、P为双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则c1dbb4e7875ac5434bb469f1fd4fcc4f.png,当且仅当cce6a2b940b395e52b3e0860a05e976a.png三点共线且44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png和e891d5cb337d9f6a723c23a5f52df883.png在y轴同侧时，等号成立.

7、双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）与直线a5e71795889fcbb45c6d9c0bf203f34f.png有公共点的充要条件是08797f8ed151fa903fd322f14dc0d2fa.png.

8、已知双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且9d0e7f0b419d2fbebadd5c7c40c66a43.png.

（1）c902378febe412be9f5cd15e15741005.png;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为5abc89b0883cd1f421df91030f969318.png;（3）4424f688d053300b486e5f50fa492c61.png的最小值是9a73e81968a35a1176facd27a977530b.png.

9、过双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则2d58f9445737941921b98db48d304409.png.

10、已知双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点7b0207925e26d6352e1016d1de34013e.png, 则ae085fae28bc551b3e24c96bc0205908.png或b869242f3eca8aa30dc5906431a07015.png.

11、设P点是双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记d4d509eda8906c6e11c38f14de30152f.png，则(1)9ea8f836cc8b747228f9b85f6486d9c9.png.(2) 50fdeb0b0ffff63590bc86668119a3dd.png.

12、设A、B是双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，652400af54fd5dd0c2dd26bb63d20415.png, 1f9670f1569388ab9c6805157cd5610e.png,03b6009b71dff54da8df240dcef26d65.png，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)e913a51b6df125dd9b58edae5bb2bd41.png.

(2) ac48500b69f6a42734da9db335c0091c.png.(3) dafbf975ddf98a04f868fd985086e034.png.

13、已知双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png（a＞0,b＞0）的右准线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与x轴相交于点3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png，过双曲线右焦点800618943025315f869e4e1f09471012.png的直线与双曲线相交于A、B两点,点0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png在右准线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png上，且fa25a808dce7bec83eb0d0773afadedb.png轴，则直线AC经过线段EF 的中点.