2017年河北省邯郸市中考数学一模试卷

2017年河北省邯郸市中考数学一模试卷

D

三、解答题（本大题共7小题，共68分）

20．（9分）

请你参考黑板中老师的讲解，运用平方差公式简便计算：

（1）×；

（2）（2017+2017）（﹣）．

21．（9分）已知：如图，△ABC和△EFC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECF=90°，点E在AB边上．

（1）求证：△ACE≌△BCF；

（2）若∠BFE=60°，求∠AEC的度数．

22．（9分）已知n边形的对角线共有条（n是不小于3的整数）；

（1）五边形的对角线共有　　条；

（2）若n边形的对角线共有35条，求边数n；

（3）若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n．

23．（9分）为了解七年级学生上学期参加社会实践活动的情况，随机抽查了某市七年级200名学生参加社会实践活动的天数，并根据抽查结果制作了如下不完整的条形统计图：

根据以上信息，解答下列问题：

（1）求条形统计图中参加社会实践活动天数为6天所对应的人数，及被调查的200名学生参加社会实践活动天数的平均数；

（2）被调查的学生参加社会实践活动天数的众数为　　，中位数为　　．

（3）在此次调查活动中，A、B、C、D四位同学说他们中有两人被抽查了，请你用列表法或画树状图，求出恰好抽到A与B两位同学的概率；

（4）某市有七年级学生10万人，请你估计该市七年级学生参加社会实践活动不少于5天的人数．

24．（10分）嘉淇同学家的饮水机中原有水的温度为20℃，其工作过程如图所示，在一个由20℃加热到100℃再降温到20℃的过程中，水温记作y（℃），从开始加热起时间变化了x（分钟），加热过程中，y与x满足一次函数关系，水温下降过程中，y与x成反比例，当x=20时，y=40．

（1）写出饮水机水温的下降过程中y与x的函数关系，并求出x为何值时，y=100；

（2）求加热过程中y与x之间的函数关系；

（3）求当x为何值时，y=80．

问题解决

若嘉淇同学上午八点将饮水机通电开机后即外出散步，预计九点前回到家中，若嘉淇想喝到不低于50℃的水，直接写出外出时间m（分钟）的取值范围．

25．（10分）如图，已知以AE为直径的半圆圆心为O，半径为5，矩形ABCD的顶点B在直径AE上，顶点C在半圆上，AB=8，点P为半圆上一点．

（1）矩形ABCD的边BC的长为　　；

（2）将矩形沿直线AP折叠，点B落在点B′．

①点B′到直线AE的最大距离是　　；

②当点P与点C重合时，如图所示，AB′交DC于点M．

求证：四边形AOCM是菱形，并通过证明判断CB′与半圆的位置关系；

③当EB′∥BD时，直接写出EB′的长．

26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（1，0），B（3，0）．探究：抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣4（m为常数）交x轴于点M，N两点；

（1）当m=2时，求出抛物线的顶点坐标及线段MN的长；

（2）对于抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣4（m为常数）．

①线段MN的长度是否发生改变，请说明理由；

②若该抛物线与线段AB有公共点，请直接写出m的取值范围；

拓展：对于抛物线y=a2（x﹣b）2﹣4（a，b为常数，且满足a=）．

（1）请直接写出该抛物线与y轴的交点坐标；

（2）若该抛物线与线段AB有公共点，请直接写出a的取值范围．

2017年河北省邯郸市中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共16个小题，共42分）

1．（3分）（2017•邯郸一模）下列各数中，是无理数的是（　　）

A．﹣1 B．π C．0 D．

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【解答】解：π是无理数，

故选：B．

【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

2．（3分）（2017•邯郸一模）下列四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意．

故选：D．

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

3．（3分）（2017•邯郸一模）下列算式中，结果等于x6的是（　　）

A．x2•x2•x2 B．x2+x2+x2 C．x2•x3 D．x4+x2

【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A、x2•x2•x2=x6，故选项A符合题意；

B、x2+x2+x2=3x2，故选项B不符合题意；

C、x2•x3=x5，故选项C不符合题意；

D、x4+x2，无法计算，故选项D不符合题意．

故选：A．

【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、单项式乘以单项式等知识，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．

4．（3分）（2016•深圳）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1=60°，则下列结论错误的是（　　）

A．∠2=60° B．∠3=60° C．∠4=120° D．∠5=40°

【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，以及对顶角相等等知识分别求出∠2，∠3，∠4，∠5的度数，然后选出错误的选项．

【解答】解：∵a∥b，∠1=60°，

∴∠3=∠1=60°，∠2=∠1=60°，

∠4=180°﹣∠3=180°﹣60°=120°，

∵三角板为直角三角板，

∴∠5=90°﹣∠3=90°﹣60°=30°．

故选D．

【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键上掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．

5．（3分）（2017•邯郸一模）在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别是S甲2=1.2，S乙2=1.6，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的描述正确的是（　　）

A．甲比乙稳定 B．乙比甲稳定

C．甲和乙一样稳定 D．甲、乙稳定性没法对比

【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

【解答】解：∵S甲2=1.2，S乙2=1.6，

∴S甲2＜S乙2，

∴甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的是甲，

∴甲比乙稳定；

故选A．

【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

6．（3分）（2017•邯郸一模）如图，济南大约位于石家庄的南偏东56°方向上，则石家庄大约位于济南的（　　）

A．北偏西56°方向上 B．北偏西34°方向上

C．南偏西34°方向上 D．南偏东56°方向上

【分析】根据方向的相对性，可得答案．

【解答】解：由方向的相对性，得

石家庄大约位于济南的北偏西56°方向上，

故选：A．

【点评】本题考查了方向角，利用物体的相对性是解题关键．

7．（3分）（2007•湘潭）一元二次方程x2+4x+c=0中，c＜0，该方程根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根

C．有两个相等的实数根 D．不能确定

【分析】求出方程的判别式△的值后，和0比较大小就可以判断根的情况．

【解答】解：∵c＜0，

∴﹣c＞0，

∴△=16﹣4c＞0，

所以方程有两个不相等的实数根．

故选B．

【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

8．（3分）（2017•邯郸一模）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（　　）

A．2 B．8 C．16 D．24

【分析】利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出面积比．

【解答】解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，

∴OA：OD=1：2，

∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4，

∵△ABC的面积为4，

∴△DEF的面积为：16．

故选：C．

【点评】此题主要考查了位似图形的性质，得出位似比是解题关键．

9．（3分）（2017•邯郸一模）当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣2的值为（　　）

A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣1

【分析】由互为相反数两数之和为0得到a+b=0，原式变形后代入计算即可求出值．

【解答】解：由题意得到a+b=0，

则原式=a（a+b）﹣2=0﹣2=﹣2，

故选C

【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．

10．（3分）（2017•邯郸一模）数轴上点A、B表示的数分别是a，b，则点A，B之间的距离为（　　）

A．a+b B．a﹣b C．|a+b| D．|a﹣b|

【分析】根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案．

【解答】解：∵点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，

∴A、B两点之间的距离可以表示为：|a﹣b|．

故选：D．

【点评】本题考查了数轴，熟记数轴上两点间的距离公式是解题关键．

11．（2分）（2017•邯郸一模）某次列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，求提速前列车的平均速度．设列车提速前的平均速度是xkm/h，下面所列出的四个方程中，正确的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】设列车提速前的平均速度是xkm/h，则提速后的速度为（x+v）km/h，根据用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，列方程即可．

【解答】解：设列车提速前的平均速度是xkm/h，则提速后的速度为（x+v）km/h，

由题意得，=．

故选A．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．

12．（2分）（2017•邯郸一模）图中的正三角形和正六边形有公共的外接圆⊙O．则这个正三角形和正六边形边长的比为（　　）

A．：2 B．：2 C．：1 D．2：1

【分析】根据题意画出图形，通过解直角三角形用R分别表示出它们的边长，进而可得出结论．

【解答】解：设外接圆的半径为R，

如图所示：

连接O2 A，O2 B，

则O2 B⊥AC，

∵O2 A=R，∠O2 AF=30°，∠AO2 B=60°，

∴△AO2 B是等边三角形，AF=O2A•cos30°=R，

∴AB=R，AC=2AF=R；

∴外接圆的半径相等的正三角形、正六边形的边长之比为R：R=：1．

故选C．

【点评】本题考查的是正多边形和圆、解直角三角形；熟知正三角形、正方形和正六边形的性质是解答此题的关键．

13．（2分）（2017•邯郸一模）若实数a是不等式2x﹣1＞5的解，但实数b不是不等式2x﹣1＞5的解，则下列选项中，正确的是（　　）

A．a＜b B．a＞b C．a≤b D．a≥b

【分析】首先解不等式2x﹣1＞5，求得不等式的解集，则a和b的范围即可确定，从而比较a和b的大小．

【解答】解：解2x﹣1＞5得x＞3，

a是不等式2x﹣1＞5的解，则a＞3，

b不是不等式2x﹣1＞5的解，则b≤3，

故a＞b．

故选B．

【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，根据不等式的解集确定a和b的范围是解决问题的关键．

14．（2分）（2017•邯郸一模）如图，在平面直角坐标系中，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：

步骤1：以点O为圆心，任意长为半径画弧，与x轴负半轴交于点A，与直线y=x交于点B（点B在第三象限）：

步骤2：分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点C．

则直线OC的函数解析式为（　　）

A．y=x B．y=﹣x C．y=x D．y=﹣x

【分析】作BD⊥x轴于D，作CE⊥x轴于E，如图，设B（m，m），利用正切的定义得到tan∠BOD=，则∠BOD=60°，再利用基本作图得到OC平分∠AOB，则∠AOC=30°，设CE=t，则OE=3t，所以C（﹣3t，﹣t），然后利用待定系数法求直线OC的解析式．

【解答】解：作BD⊥x轴于D，作CE⊥x轴于E，如图，

设B（m，m），

∴tan∠BOD==，

∴∠BOD=60°，

由作法得OC平分∠AOB，

∴∠AOC=30°，

在Rt△CEO中，tan∠COE=tan30°==，

设CE=t，则OE=3t，

则C（﹣3t，﹣t），

设直线OC的解析式为y=kx，

把C（﹣3t，﹣t）代入得﹣t=﹣3tk，解得k=，

∴直线OC的解析式为y=x．

故选C．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．

15．（2分）（2017•邯郸一模）如图，⊙O的半径为2，AB，CD是两条互相垂直的直径，点P是⊙O上任意一点（点P与点A，B，C，D均不重合），过点P作PM⊥AB于点M．PN⊥CD于点N，点Q是线段MN的中点．若点P以点O为旋转中心．沿着圆周顺时针旋转45°．则点Q经过的路径长为（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据OP的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得OQ=1，再由走过的角度代入弧长公式即可．

【解答】解：∵PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，

∴四边形ONPM是矩形，

又∵点Q为MN的中点，

∴点Q为OP的中点，又OP=2，

则OQ=1，

点Q走过的路径长==．

故选A．

【点评】本题考查了弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是根据矩形的性质得出点Q运动轨迹的半径，要求同学们熟练掌握弧长的计算公式．

16．（2分）（2017•邯郸一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，其中A（2，0）C（0，4），反比例函数y=（x＞0，k＞0）的图象与矩形的对角线AC有公共点，并且交AB边于点E，交BC边于点F，以下结论：①直线AC的解析式为y=﹣2x+4；②EF∥AC；③当反比例函数图象与线段AC只有一个公共点时，k值最大，最大值为2；④△BEF面积的最小值为2．则下列选项中，正确的是（　　）

A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③

【分析】①由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，①成立；②由反比例函数图象上点的坐标特征求出点E、F的坐标，根据==，即可得出EF∥AC，②成立；③设反比例函数图象与AC的交点为D，过D作DM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N，设OM=x（0＜x＜2），则ON=4﹣2x，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出k=﹣2（x﹣1）2+2≥2，由此可得出k的最小值，再将直线AC解析式代入反比例函数解析式整理出一元二次方程，通过解方程组即可得出此时反比例函数图象与线段AC只有一个公共点，③成立；④根据三角形的面积公式结合k的取值范围即可得出S△BEF≥，④不成立．综上即可得出结论．

【解答】解：①设直线AC的解析式为y=ax+b，

将A（2，0）、B（0，4）代入y=ax+b，

，解得：，

∴直线AC的解析式为y=﹣2x+4，①成立；

②当x=2时，y==，

∴点E（2，）；

当y==4时，x=，

∴点F（，4）．

∵四边形OABC为矩形，其中A（2，0）C（0，4），

∴点B（2，4），

∴BC=2，BA=4，BF=2﹣=，BE=4﹣=，

∴==，

∴EF∥AC，②成立；

③设反比例函数图象与AC的交点为D，过D作DM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N，如图所示．

设OM=x（0＜x＜2），则ON=4﹣2x，

∴k=x（4﹣2x）=﹣2（x﹣1）2+2，

当x=1时，k取最大值，最大值为2．

将y=﹣2x+4代入y=中，整理得：x2﹣2x+1=（x﹣1）2=0，

∴当反比例函数图象与线段AC只有一个公共点时，k值最大，最大值为2，③成立；

④∵S△BEF=BE•BF=≥，

∴△BEF面积的最小值为，④不成立．

故选D．

【点评】本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，逐一分析四条结论的正确与否是解题的关键．

二、填空题（本大题共3小题，共10分）

17．（3分）（2017•邯郸一模）计算：（3﹣π）0﹣sin30°=　　．

【分析】原式利用零指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可得到结果．

【解答】解：原式=1﹣=，

故答案为：

【点评】此题考查了实数的运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（3分）（2017•邯郸一模）化简的结果为　x+1　．

【分析】原式变形后，约分即可得到结果．

【解答】解：原式=•=x+1，

故答案为：x+1

【点评】此题考查了分式的乘除法，分式乘除法的关键是约分，约分的关键是找出分子分母的公因式．

19．（4分）（2017•邯郸一模）如图中的虚线网格为菱形网格，每一个小菱形的面积均为1，网格中虚线的交点称为格点，顶点都在格点的多边形称为格点多边形，如：格点▱ABCD的面积是6．

（1）格点△PMN的面积是　6　．

（2）格点四边形EFGH的面积是　28　．

【分析】（1）根据S△PMN=•S平行四边形MNEF计算即可；

（2）根据S四边形EFGH=S平行四边形LJKT﹣S△LEH﹣S△HTG﹣S△FKG﹣S△EFJ计算即可．

【解答】解：（1）如图，S△PMN=•S平行四边形MNEF=×12=6，

故答案为6．

（2）S四边形EFGH=S平行四边形LJKT﹣S△LEH﹣S△HTG﹣S△FKG﹣S△EFJ

=60﹣2﹣9﹣6﹣15=28，

故答案为28

【点评】本题考查菱形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型．

三、解答题（本大题共7小题，共68分）

20．（9分）（2017•邯郸一模）

请你参考黑板中老师的讲解，运用平方差公式简便计算：

（1）×；

（2）（2017+2017）（﹣）．

【分析】（1）把19化为20﹣1，把21化为20+1，然后利用平方差公式计算；

（2）把第1个括号内提2017，然后利用平方差公式计算．

【解答】解：（1）原式=

=

=；

（2）原式=2017（）（﹣）

=2017×（3﹣2）

=2017．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．也考查了平方差公式的熟练运用．

21．（9分）（2017•邯郸一模）已知：如图，△ABC和△EFC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECF=90°，点E在AB边上．

（1）求证：△ACE≌△BCF；

（2）若∠BFE=60°，求∠AEC的度数．

【分析】（1）根据同角的余角相等求出∠ACE=∠BCF，再利用“边角边”证明即可；

（2）根据等腰直角三角形的性质可得∠EFC=45°，然后求出∠BFC=105°，再根据全等三角形对应角相等解答．

【解答】（1）证明：∵∠ACB=∠ECF=90°，

∴∠ACE=∠BCF，

∵CA=CB，CE=CF，

∴△AEC≌△BFC（SAS）；

（2）解：∵△EFC是等腰直角三角形，

∴∠EFC=45°．

∵∠BFE=60°，

∴∠BFC=105°，

又∵△AEC≌△BFC，

∴∠AEC=∠BFC=105°．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．

22．（9分）（2017•邯郸一模）已知n边形的对角线共有条（n是不小于3的整数）；

（1）五边形的对角线共有　5　条；

（2）若n边形的对角线共有35条，求边数n；

（3）若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n．

【分析】（1）把n=5代入即可求得五边形的对角线的条数；

（2）根据题意得=35求得n值即可；

（3）﹣=9，求得n的值即可．

【解答】解：（1）当n=5时，==5，

故答案为：5．

（2）=35，

整理得：n2﹣3n﹣70=0，

解得：n=10或n=﹣7（舍去），

所以边数n=10．

（3）根据题意得：﹣=9，

解得：n=10．

所以边数n=10．

【点评】本题考查了多边形的对角线的知识，了解多边形的对角线的计算方法是解答本题的关键，难度不大．

23．（9分）（2017•邯郸一模）为了解七年级学生上学期参加社会实践活动的情况，随机抽查了某市七年级200名学生参加社会实践活动的天数，并根据抽查结果制作了如下不完整的条形统计图：

根据以上信息，解答下列问题：

（1）求条形统计图中参加社会实践活动天数为6天所对应的人数，及被调查的200名学生参加社会实践活动天数的平均数；

（2）被调查的学生参加社会实践活动天数的众数为　5　，中位数为　5　．

（3）在此次调查活动中，A、B、C、D四位同学说他们中有两人被抽查了，请你用列表法或画树状图，求出恰好抽到A与B两位同学的概率；

（4）某市有七年级学生10万人，请你估计该市七年级学生参加社会实践活动不少于5天的人数．

【分析】（1）用样本容量分别减去其它天数的人数可得到实践活动天数为6天所对应的人数；然后利用加权平均数的计算方法计算200名学生参加社会实践活动天数的平均数；

（2）利用众数和中位数的定义求解；

（3）利用列表法展示所有有12种等可能的结果数，找出恰好抽到A与B的结果数，然后根据概率公式求解；

（4）利用样本估计总体，用10×可估计该市七年级学生参加社会实践活动不少于5天的人数

【解答】解：（1）参加社会实践活动天数为6天所对应的人数为200﹣20﹣30﹣60﹣40=50（人），

200名学生参加社会实践活动天数的平均数==53；

（2）被调查的学生参加社会实践活动天数的众数为5，中位数为5；

故答案为5，5；

（3）

一共有12种情况，其中恰好抽到A与B有两种情况：（A，B）与（B，A）

所以P（恰好抽到A与B）==；

（4）10×=7.5（万）

答：该市七年级学生参加社会实践活动不少于5天的人数为7.5万人．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了中位数和众数、统计图．

24．（10分）（2017•邯郸一模）嘉淇同学家的饮水机中原有水的温度为20℃，其工作过程如图所示，在一个由20℃加热到100℃再降温到20℃的过程中，水温记作y（℃），从开始加热起时间变化了x（分钟），加热过程中，y与x满足一次函数关系，水温下降过程中，y与x成反比例，当x=20时，y=40．

（1）写出饮水机水温的下降过程中y与x的函数关系，并求出x为何值时，y=100；

（2）求加热过程中y与x之间的函数关系；

（3）求当x为何值时，y=80．

问题解决

若嘉淇同学上午八点将饮水机通电开机后即外出散步，预计九点前回到家中，若嘉淇想喝到不低于50℃的水，直接写出外出时间m（分钟）的取值范围．

【分析】（1）根据待定系数法可求饮水机水温的下降过程中y与x的函数关系式，再求出y=100时x的值即可求解；

（2）根据待定系数法可求加热过程中y与x之间的函数关系；

（3）分两种情况：加热过程中；降温过程中；y=80时x的值即可求解；

问题解决：根据一次函数和反比例函数的增减性即可求解．

【解答】解：（1）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y=，

依据题意，得：100=，

即m=800，

故y=，

当y=100时，100=，

解得：x=8；

（2）设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y=kx+b，

依据题意，得，

解得：．

故此函数解析式为：y=10x+20；

（3）当y=80时：

加热过程中：10x+20=80，解得x=6；

降温过程中：=80，解得x=10；

综上所述，x=6或10时，y=80；

问题解决：外出时间m（分钟）的取值范围为3≤m≤16或43≤m≤56．

【点评】此题考查了一次函数和反比例函数的应用，现实生活中存在大量一次函数和成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

25．（10分）（2017•邯郸一模）如图，已知以AE为直径的半圆圆心为O，半径为5，矩形ABCD的顶点B在直径AE上，顶点C在半圆上，AB=8，点P为半圆上一点．

（1）矩形ABCD的边BC的长为　4　；

（2）将矩形沿直线AP折叠，点B落在点B′．

①点B′到直线AE的最大距离是　8　；

②当点P与点C重合时，如图所示，AB′交DC于点M．

求证：四边形AOCM是菱形，并通过证明判断CB′与半圆的位置关系；

③当EB′∥BD时，直接写出EB′的长．

【分析】（1）如图1中，在Rt△OBC中，求出BC即可．

（2）①如图1中，当点B′在直线AD上时，点B'到 AE的距离最大，最大距离为8．

②首先证明四边形AOCM是平行四边形，由OA=OC即可判定四边形AOCM是菱形．只要证明∠OCB′=90°即可判定CB′与半圆相切．

③如图3中，当EB′∥BD时，作AF⊥EB′于F．由△AEF∽△DBA，可得==，推出EF=4，AF=2，在Rt△AFB′中，FB′==2，即可推出EB′=4+2．如图4中，当EB′∥BD时，作AF⊥EB′于F，同法可求EB′．

【解答】解：（1）如图1中，连接OC．

在Rt△BOC中，∵∠OBC=90°，OC=5，OB=3，

∴BC===4，

故答案为4．

（2）①如图1中，当点B′在直线AD上时，点B'到 AE的距离最大，最大距离为8．

故答案为8．

②证明：如图2中，

由折叠可知：∠OAC=∠MAC．

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA．

∴∠OCA=∠MAC．

∴OC∥AM．

又∵CM∥OA，

∴四边形AOCM是平行四边形．

又∵OA=OC，

∴□AOCM是菱形．

结论：CB′与半圆相切．

理由：由折叠可知：∠ABˊC=∠ABC=90°．

∵OC∥AM

∴∠ABˊC+∠BˊCO=180°．

∴∠BˊCO=90°．

∴CBˊ⊥OC．

∴CBˊ与半圆相切．

③如图3中，当EB′∥BD时，作AF⊥EB′于F．

由△AEF∽△DBA，

∴==，

∴EF=4，AF=2，

在Rt△AFB′中，FB′==2，

∴EB′=4+2．

如图4中，当EB′∥BD时，作AF⊥EB′于F，

同法可得EF=4，FB′=2，

∴EB′=4﹣2．

综上所述，满足条件的EB′的长为4+2或4﹣2．

【点评】本题考查圆综合题、矩形的性质、翻折变换、平行四边形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．

26．（12分）（2017•邯郸一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（1，0），B（3，0）．探究：抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣4（m为常数）交x轴于点M，N两点；

（1）当m=2时，求出抛物线的顶点坐标及线段MN的长；

（2）对于抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣4（m为常数）．

①线段MN的长度是否发生改变，请说明理由；

②若该抛物线与线段AB有公共点，请直接写出m的取值范围；

拓展：对于抛物线y=a2（x﹣b）2﹣4（a，b为常数，且满足a=）．

（1）请直接写出该抛物线与y轴的交点坐标；

（2）若该抛物线与线段AB有公共点，请直接写出a的取值范围．

【分析】探究：（1）当m=2时，得到y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4；于是得到结论；

（2）解方程x2﹣2mx+m2﹣4=0，得到x1=m+2，x2=m﹣2，．于是得到结论；②解方程x2﹣2mx+m2﹣4=0，得到交点坐标为M（m﹣2，0），N（m+2，0）解不等式即可得到结论；

拓展：（1）根据抛物线的解析式即可得到结论；

（2）解方程a2（x﹣b）2﹣4=0，得到x1=b﹣=﹣，x2=，当该抛物线与线段AB有公共点时，与x轴的交点分别介于A，B之间，于是得到结论．

【解答】解：探究：（1）当m=2时，y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4；

∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣4）；

当y=0时，x2﹣4x=0，

解得：x1=0，x2=4，

∴线段MN的长为4；

（2）①线段MN的长度不发生改变，

理由：当y=0时，x2﹣2mx+m2﹣4=0，

解得：x1=m+2，x2=m﹣2，．

∴线段MN的长为4，

∴线段MN的长度不发生改变；

②令y=x2﹣2mx+m2﹣4=0，

解得：x1=m﹣2，x2=m+2，

即交点坐标为M（m﹣2，0），N（m+2，0）

当该抛物线与线段AB有公共点时，M，N分别介于A，B之间，

即1≤m﹣2≤3，1≤m+2≤3，

即∵m的取值范围是：﹣1≤m≤1，3≤m≤5；

拓展：

（1）该抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），…（10分）

（2）令y=a2（x﹣b）2﹣4=0，

解得：x1=b﹣=﹣，x2=，

当该抛物线与线段AB有公共点时，与x轴的交点分别介于A，B之间，

1≤﹣≤3，1≤≤3，

a的取值范围是：﹣1≤a≤﹣，1≤a≤3．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，正确的理解题意列出方程是解题的关键．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/291fe6902c3f5727a5e9856a561252d381eb2057.html