章建跃-核心概念最有力量

发布时间：2017-03-11 15:47:08 来源：文档文库

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核心概念最有力量

本期刊登了年届九十的陈振宣老先生撰写的《向量在轴上的射影的辨析》一文，本刊感到荣幸。从陈老先生的文章中我们感受到了我国数学教育前辈孜孜不倦、严谨求真的风范。他的责任心令人钦佩，他“默而识之，学而不厌，诲人不倦”的精神值得大家学习。

陈老先生文中提到的轴上的向量（即一维向量）的数量这一核心概念，与大家熟悉的有向线段的数量相通，直观、易懂、有用、好用。这种直观性与人的直觉完全一致，与学生在实数学习中建立的经验相吻合——用正、负数表示具有相反意义的量。向量是带有方向的量，它有大小和方向两个属性；向量的数量也有两个属性，符号（正、负）和模（大小）。两者之间的内在联系是：正、负号表示了向量的方向（以单位向量的方向为基准），模表示了向量的长度。

特别值得重视的是用符号代表方向，它奠定了轴上向量数量化的基础，由此就可以实现用实数表示向量：

在轴x（具有方向和长度单位的直线）上取一点O为原点，得数轴Ox，并设它的基向量为e，则Ox上任意一点P与向量一一对应，而且＝e。实际上，就是数轴Ox上点P的坐标p。由此可方便地推出数轴上两点间距离公式。

进一步地，可以把点在轴上的运动、轴上的向量加法、实数的代数和等统一起来：

在轴x上，一个点从点A运动到点B，再从点B运动到点C，无论两次运动的方向如何（可以区分出四种情况），都有。这一等式的代数意义实际上就是实数的代数和（表示了多次变化的结果）。

更进一步地，在平面直角坐标系中，借助于平面向量在轴上的射影概念（联系平面向量与一维向量的桥梁），利用轴上向量的数量，就可推出平面直角坐标系的基本定理，从而方便地推出两点间的距离公式、斜率公式、定比分点公式、三角形面积公式……这一套概念和理论能容易地推广到三维空间中去。

在上面的讨论中，我们特别强调了用符号表示方向的重要性，由此才有。也许有人会问，这不就是一个常识吗？值得如此重视吗？是的，值得重视，而且它很重要。它叫夏尔（或译为沙尔）定理，夏尔本人（Michel Chasles，19世纪重要的法国数学家）称之为“几何学的基本定理”，其实质意义是让几何量带上符号。“对比把长度、面积、体积考虑为绝对值的普通初等几何学，这样做有极大的好处。初等几何必须依照图形呈现的情况而区分许多情况，而现在用几个简单的一般定理就可以概括。”（F·克莱因）例如，让角带上符号而成为任意角，于是就有：设角α的始边、终边分别为OA，OB，让OB旋转任意角β到OC，则由OA旋转到OC的角是α＋β。否则就必须考虑：在OB旋转到OC时，是按顺时针还是按逆时针？因此，夏尔定理也是研究三角函数的基础。