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【数学】河南省驻马店市2017-2018学年高二下学期期末考试(理)-

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河南省驻马店市 2017-2018 学年高二下学期期末考试（理）










第Ⅰ卷（共 60 分）


一、选择题：本大题共 项是符合题目要求的 . 1.复数


12 个小题 ,每小题





5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一





2 （ i 为虚数单位）的共轭复数是 1 i

A ． 1 i B． 1 i C． 1 i D． 1 i

2.若变量 y 与 x 之间的相关系数 A ．不具有线性相关关系

(







r 0.9832 ，则变量 y 与 x 之间 (









B．具有线性相关关系
C．它们的线性相关关系还需要进一步确定 D．不确定


3.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳伞一次，设命题
p 是 “甲降落在指定的范围内 ”q
是“乙降落在指定的范围内 ”，则命题 “甲乙两位学员中至少有一位学员没有降落在指定的范
围内 ”可以表示为 ( A ．



p q B ． p q C． p q D． p q


4.已知等比数列
an 中， a2a3a4 1， a6 a7a8 64 ，则 a5








(



A． 2B． 2C.2D．4


y ax ln( x 1 (0,0 5.

若曲线 处的切线方程为 在点

A．-1







x 2 y 0





，则 a



(


B．

1 2



C.
1



D． 1













2









x 3

6.若实数 x, y 满足 x




y 2 ，则 2x y 的取值范围为 ( y
x


A. 1,9 B. 5,9 C. 3,9 D. 3,5 7.已知
为实数 ,则 “ab b2 ”是 “
”的(



a, b
a b 0

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.某小区的 6 个停车位连成一排 ,现有 3 辆车随机停放在车位上
,则任何两辆车都不相邻的停




放方式有 (种 .






A.24



B.72




C.120


D.144











9.若抛物线 y2
4x ,过其焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点 ,则 AF 2 BF 的最小值





为( A. 6 10.在

B.


3 2 2
C. 9
D. 3 2 2
ABC 中 , B,C 为锐角 , a bsin B c sin C ,则 ABC 的形状为 (

A. 直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D. 以上都不对


11.设双曲线 C :
y2 x2
2
2 1(a
0, b 0 的一个焦点为 F ,过 F 作双曲线 C 的一条渐近线的




a b

垂线 ,垂足为 A ,且与另一条渐近线交于点


B ,若 3OF OB 2OA ,则双曲线 C 的离心率为
(
A. 2

B.2C.
2 3


D.
14 3




3
12.已知函数 f ( x




ex
x3
3k ln x kx ,若 x


3 是函数 f x 唯一的极值点 ,则实数 k 的取值




范围为(


A.


,
e3




B.



e3 27

C. 0,
e3 27
D. 0,
e3




27





27
分）




第Ⅱ卷（共 90
二、填空题（每题



5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.定积分 14.若 (2 x


1 e
( x


1 x dx 的值为 __________.



2ax


5 的展开式中各项系数之和为





30,则展开式中含 x 的项为 __________.


15.驻马店市某校高三年级学生一次数学诊断考试的成绩
(单位 :分 X 服从正态分布
N 110,10 2 ,记 X
90,110 为事件 A, X


80,100 为事件 B ,则 P B | A



__________.( 结果用分数示 附： P


X X

0.68 ； P
3
0.99.
0,
2


2

X

2

0.95；
P 3
16.已知函数 y


f


x , x
, f (
1 2
,且 f '(x tan x



f ( x ，则不等式


6
f x sin x 的解集为 __________.



三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤


.）
17.在


ABC 中 ,角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c , B
an 的首项 a1 4 ,公差为 b .
60 且 a, b, c 成等比数列 , ABC 的面
积为 4 3 .等差数列


(1 求数列 an 的通项公式；
(2 若数列 c
n





满足 cn
16

,设 Tn 为数列 a
`1


n


的前 n 项和 ,求 Tn .
an an
18.如图 ,四棱柱 ABCD


A1 B1C1D1 中 ,底面 ABCD 是等腰梯形 , DAB 60 ,
平面 ABCD .
AB 2CD 2 , M 是线段 AB 的中点 , CD1
(1 求证 : AC 平面 A1DM ； (2 若 CD1
3 ,求平面 C1D1 M 和平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值
.
19.现从某高中随机抽取部分高二学生 ,调査其到校所需的时间 (单位 :分钟 ,并将所得数据绘
制成频率分布直方图 (如图 ,其中到校所需时间的范围是 [0，100] ,样本数据分组为
0,20 , 20,40 , 40,60 , 60,80 , 80,100 .
(1 求直方图中 x 的值；



(2 如果学生到校所需时间不少于 1 小时 ,则可申请在学校住宿 .若该校录取 1200 名新生 ,请估计高二新生中有多少人可以申请住宿；









(3 以直方图中的频率作为概率 ,现从该学校的高二新生中任选 生


4名学,用 X 表示所选 4 名学

生中 “到校所需时间少于 40 分钟 ”的人数 ,求 X 的分布列和数学期望．
20.已知椭圆 C :

x
y22 2
1(a b


0 的离心率为
22

， M
2 , 2


32
是椭圆上一点 .
a
b2
(1 求椭圆的标准方程；

(2 过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆交于
A, B 两点， P 是直线 x 2 上任意一点 .证明：直线






PA, PF , PB 的斜率成等差数列 .
21.已知函数


f x ex ax 1(a R .若 x 0 是 f x 的极值点 .
(1 求 f x 在 [ 2,1] 上的最小值； (2 若不等式 kf ' x
xex 1 对任意 x 0 都成立 ,其中 k 为整数 , f ' x 为 f x 的函数 ,求


k 的最大值 .



请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22.选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中 ,以原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系


.





,已知曲线



2

x
2a cos (a 0 ;过点 P( 2, 4 的直线 l 的参数方程为
y




2 4
2 t

t
C : sin





2 ( t 为 2



2

参数 ,直线 l 与曲线 C 分别交于 M 、N 两点 .





(1 写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； (2 若 PM , MN , PN 成等比数列 ,求 a 的值
. 23.选修 4 一 5:不等式选讲 已知函数 f ( x



| 2x a |

| 2x
1| ， g( x
6x 2x
5 1

.
(1 当 a 3 时 ,解不等式 f (2 若对任意 x1
x 6 ；

[1, ] ,存在 x2 R ,使得 g x1
2
5f x2 成立 ,求实数 a 的取值范围 .






参考答案



一、选择题 1-5:ABACB 二、填空题 13.

6-10:CBABA


11、12： CA



1 2
14. 160 x3
15. 27



16. (0, ]
4


95

6
三、解答题
17.【解析】（ 1）由 a,b,c 成等比数列得 b2
ac ，




又因为 S ABC 4



3

1

acsin B, B 60 ， 2









所以 b 4 ，

所以 an 是以 4 为首项， 4 为公差的等差数列， 所以 an


4n .


(2 由 (1可得 cn


1 n(n

1 1 n n
1
1

，








所以 Tn

1 12
1 1 2 3 1 1 n n 1
1
n
1
1
.
18.(1 证明方法一 :连接 MC ，因为底面 ABCD 是等腰梯形且 AB 2CD




所以， AB / /CD ，又因为 M 是 AB 的中点 因此， CD/ / AM 且CD 所以， AD / /CM 且 AD 又因为 AD / / A1D1 且 AD 所以 A1M / / CD1 因为， CD1 所以 A1M
平面 ABCD 平面 ABCD
平面 ABCD
AM


CM

A1 D1



所以，平面 A1DM


在平行四边形


AMCD 中，因为
AMCD 是菱形，
DAM 60 ,
所以平行四边形

因此 AC

DM
平面 A1DM ；
所以 AC


解法二：底面


ABCD 是等腰梯形，
2BC 2, AC
3
DAB 60 , AB 2CD 2 ,
所以， AB

因此 CA


CB
C xyz ，则 A( 3,0,0, D (
3 2
以 C 为坐标原点建立空间直角坐标系
, ,0
,2
1



M ( , ,0, D1(0,0, 3
2 2

31

















由 DA D1A1得 A1( ,, 3



31















2 2

所以 CA ( 3,0,0 , DM (0,1,0 , MA
0,0 3 ,MA1




(0,0, 3

因此 CA DM 所以 CA 所以， AC
0 ，且 CA MA1 DM 且CA MA1
平面 A1DM



0







(2 底面 ABCD 是等腰梯形， 所以， AB 因此 CA
DAB 3



60 , AB 2CD



2 ,



2BC 2, AC




CB


以 C 为坐标原点建立空间直角坐标系








C xyz ，则 A



3,0,0 , b 0,1,0 , M

312 2


,,0 ,
D1 0,0, 3
所以， MD1





3 , 1 , 2
2

3 , D1C1 MB



312 2


,,0





设平面 C1D1M 的一个法向量 n ( x, y, z 0
得 n




由
n D1C1



3x y


1, 3,1









n MD1
由 CD1
3x y 2 3z 0


(0,0, 3 是平面 ABCD 的法向量
5 5




因此 cos n,CD1























平面 C1D1M 和平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值是










5 5
.






19.解析： (1 由直方图可得


20 2x 0.005 0.0175 0.0225 1
∴ x 0.0025


(2 新生上学所需时间不少于


1 小时的频率为 : 20 0.005 0.0025 0.15
1200 0.15


180
∴估计 1200 名新生中有 180 名学生可以申请住 (3 X 的可能取值为 01,2,3,， 4 , 有直方图可知，每位学生上学所需时间少于







4
40 分钟的概率为


2
81

5
P X




0
3 5 2 c1
4625
3



p( x


1



3


216 625
2




5
2 C42 2
5


5

2


p( x




3
5
3

216 625



P( X 3 C43 2
5



3
5
16



96 625



P( X 4



2

4
5

625 则 X 的分布列为
X
0 1 2 3 4



P

81



216 625
81 625


216




96 625 16 625


16
625
X 的数学期望 EX



625

3
625






625
0
1 216 2 216
625



96 4 625





8 5
20.解析：（1）



x22

y2 1 ；


(2 因为右焦点 F (1,0 , 当直线 AB 的斜率不存在时其方程为
x 1，

因此，设 P(2, tA(1, y ，则 B(1, y


所以 KPA




K PB

t 2

y 1
t y

t
2t 且 K PF



0 2 1


t






2 1


所以， K PA
K PB
2K PF






因此，直线 PA, PF 和 PB 的斜率是成等差数列 . 当直线 AB 的斜率存在时其方程设为


y k (x 1, A( x1, y1, B(x2 , y2



y k(x 1

由


2










x 2

得，
2




2










2


2
















y
2

1


（1 2k x


4k x



2k



2 0












所以


4k 2



2k 2
2






















x1


x2
1 2k 2 , x1 x2 1 2k 2

因此， K PA



K

PB






t y1 t y2 2 x1 2 x2



t ( 1

2 x1

1 ( y1
2 x2 2 x1
y2
2 x2

2






4 ( x1 x2


4

4k2 1 2k 2




4(1 k 2 2(1 k 2











4 2( x1





x2 x1 x2









y1 2 x1 y2 2 x2
k(

x1x1
4k2 2k2 2
4 2
22
1 2k 1 2k

2 k(
2 x2




1x

1
2 x1 2




2 1 2 1 x2
2 x1 2 x2







k ( 1
2 x1





1 2
x2


PB

0





































所以， K



PA
K
t 2
0
又因为 K PF





t
t

2 1




所以有 K PA K PB 2KPF ,
因此，直线 PA, PF 和 PB 的斜率是成等差数列 综上可知直线 PA, PF 和 PB 的斜率是成等差数列


.
21.（Ⅰ） f '( x ex 易知 f (x 在 所有当 x

a ，由 x 0 是 f ( x 的极值点，得 f '(0 0 ， a 1 .
0,1 上单调递增，

2,0 上单调递减，在
0 时， f ( x 在 2,1 上取得最小值 2.
1 ，此时 f '(x ex
k (ex 1 k



(Ⅱ 由 (Ⅰ 知 a
1， 1

kf '(x x 0,

xex 1 ex 1 0,

xex



xex 1 ex 1





令 g( x



xe ( x ex 1
x10 ， k





g( x min




x 2 (x 0 g '( x ex (ex
xe 1

令 h( x 且 h(1









ex
x 2 ， h'(x
ex 1
0 ， h( x 在 (0, 单调递增，
时， g '(x 0



0 ， h(2 0 ， h(x 在 (0,
g( x min



x0 1 x ， g( x0 0

x e1

0



由 g '(x 0 又 k
0
ex0
x0 2 ， g(x0 x0 1 2,3
g( x0 ，且 k Z ，所以 k 的最大值为 2.



22.解：（Ⅰ）曲线 C 的普通方程为 C : y2 直线 l 的普通方程为 x

2ax ，





y 2 0


（Ⅱ）将直线的参数表达式代入抛物线得








1 2 2 t






(4 2

2 a t

164 0，
a
t1 t 2
因为 PM

8 2 2 2a,t1t 2 32 8a


t1 , PN t2 , MN t1 t 2
2






由题意知， t1 t 2

t1t 2
(t1 t 2 2 5t1t2

代入得 a


1 .
23.解：（ 1当 a




3 时， f ( x 2x 3 3

x

2 ，

( 2x 3 1 2x 6





2 x 1.










f ( x

6





















或
2x



3 1

x

2 2 ， 3 (1 2x 6
























1 x

2 或 ，

(2x 3 (2x 1 6

解得










2 x 1.



即不等式解集为 (2
x 2 x 1 .

f (x

2x a 2x 1 2x a 2x

1 a 1

当且仅当 (2x a(2x 1 0 时，取等号，



f (x 的值域为 a 1, .
又 g( x




6x 2 x
5 1


3



2
在区间 1，
5 2



上单调递增 .




2x 1





g(1 g( x g ( .
2



5








即 g( x 的值域为



1，
5 2

，要满足条件，必有




1，
5 2

a 1,


a 1 1.解得 2 a 0.



a 的取值范围为
- 2，0.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/280bd8f5667d27284b73f242336c1eb91b37330f.html

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