1984年全国统一高考数学试卷（理科）

1984年全国统一高考数学试卷（理科）

一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）

1．（3分）（1984•全国）数集X={（2n+1）π，n是整数}与数集Y={（4k±1）π，k是整数}之间的关系是（　　）

A．X⊂Y B．X⊃Y C．X=Y D．X≠Y

2．（3分）（1984•全国）如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（　　）

A．F=0，G≠0，E≠0 B．E=0，F=0，G≠0 C．G=0，F=0，E≠0 D．G=0，E=0，F≠0

3．（3分）（1984•全国）如果n是正整数，那么[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）的值（　　）

A．一定是零 B．一定是偶数

C．是整数但不一定是偶数 D．不一定是整数

4．（3分）（1984•全国）arccos（﹣x）大于arccosx的充分条件是（　　）

A．x∈（0，1] B．x∈（﹣1，0） C．x∈[0，1] D．

5．（3分）（1984•全国）如果θ是第二象限角，且满足，那么（　　）

A．是第一象限角

B．是第三象限角

C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角

D．是第二象限角

二、解答题（共15小题，满90分）

6．（4分）（1984•全国）已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积．

7．（4分）（1984•全国）函数log0.5（x2+4x+4）在什么区间上是增函数？

8．（4分）（1984•全国）求方程的解集．

9．（4分）（1984•全国）求式子（|x|+﹣2）3的展开式中的常数项．

10．（4分）（1984•全国）求的值．

11．（4分）（1984•全国）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）．

12．（6分）（1984•全国）设画出函数y=H（x﹣1）的图象．

13．（6分）（1984•全国）画出极坐标方程的曲线．

14．（12分）（1984•全国）已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行．

15．（12分）（1984•全国）设c，d，x为实数，c≠0，x为未知数，讨论方程在什么情况下有解，有解时求出它的解．

16．（12分）（1984•全国）设p≠0，实系数一元二次方程z2﹣2pz+q=0有两个虚数根z1，z2、再设z1，z2在复平面内的对应点是Z1，Z2，求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长．

17．（9分）（1984•全国）求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程．

18．（12分）（1984•全国）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且c=10，，P为△ABC的内切圆上的动点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值．

19．（12分）（1984•全国）设a＞2，给定数列{xn}，其中x1=a，求证：

（1）xn＞2，且；

（2）如果a≤3，那么．

20．（1984•全国）如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP=时，点P的速度为v，求这时点M的速度．

1984年全国统一高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）

1．（3分）（1984•全国）数集X={（2n+1）π，n是整数}与数集Y={（4k±1）π，k是整数}之间的关系是（　　）

A．X⊂Y B．X⊃Y C．X=Y D．X≠Y

【考点】18：集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有

【分析】题中两个数集都表示π的奇数倍的实数，根据集合的相等关系得这两个数集的关系．

【解答】解：∵数集X={（2n+1）π，n是整数}

∴其中的元素是π的奇数倍．

∵数集Y={（4k±1）π，k是整数}

∴其中的元素也是π的奇数倍．

∴它们之间的关系是X=Y．

故选：C．

【点评】本题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间相等的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．

2．（3分）（1984•全国）如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（　　）

A．F=0，G≠0，E≠0 B．E=0，F=0，G≠0 C．G=0，F=0，E≠0 D．G=0，E=0，F≠0

【考点】J2：圆的一般方程．菁优网版权所有

【分析】圆与x轴相切于原点，则圆心在y轴上，G=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，F=0，E≠0

【解答】解：圆与x轴相切于原点，则圆心在y轴上，G=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，F=0，E≠0．

故选：C．

【点评】本题考查圆的一般式方程，直线与圆的位置关系，是基础题．

3．（3分）（1984•全国）如果n是正整数，那么[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）的值（　　）

A．一定是零 B．一定是偶数

C．是整数但不一定是偶数 D．不一定是整数

【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有

【专题】32 ：分类讨论．

【分析】这是一个简单的合情推理问题，我们可以对n的取值进行分类讨论，并加以简单的证明，不难得到正确的答案．

【解答】解：∵n是正整数

①当n为奇数时，n2﹣1必为8的整数倍，不妨令n2﹣1=8Z，Z∈N*

则=2Z，Z∈N*

即此时的值为偶数．

②当n为偶数时，1﹣（﹣1）n=0

则=0

故的值一定是偶数

故选：B．

【点评】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．

4．（3分）（1984•全国）arccos（﹣x）大于arccosx的充分条件是（　　）

A．x∈（0，1] B．x∈（﹣1，0） C．x∈[0，1] D．

【考点】HV：反三角函数．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题；32 ：分类讨论；35 ：转化思想．

【分析】充分考虑arccosx的范围，推出arccos（﹣x）的范围，然后确定arccos（﹣x）大于arccosx的充分条件

【解答】解：∵arccosx∈[0，π]，

（1）arccosx∈[0，）时，x∈∈（0，1]，arccos（﹣x）∈（，π]＞arccosx，

（2）arccosx∈（，π]时，x∈[﹣1，0），arccos（﹣x）∈[0，）＜arccosx，

（3）arccosx=时 x=0，arccosx==arccos（﹣x），

故选：A．

【点评】本题考查反三角函数的运用，考查分类讨论的思想，是基础题．

5．（3分）（1984•全国）如果θ是第二象限角，且满足，那么（　　）

A．是第一象限角

B．是第三象限角

C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角

D．是第二象限角

【考点】GW：半角的三角函数．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．

【分析】先根据θ的范围确定的范围，再由可确定的大小关系，进而确定的象限．

【解答】解：∵θ是第二象限角，

∴，

∴（k∈Z）

∴当k为偶数时，在第一象限；

当k为奇数时，在第三象限；

∵==

∴

∴是第三象限角

故选：B．

【点评】本题主要考查象限角和二倍角公式以及同角三角函数的基本关系．属基础题．

二、解答题（共15小题，满90分）

6．（4分）（1984•全国）已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积．

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题；32 ：分类讨论．

【分析】圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，可以有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积．

【解答】解：圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，

当母线为4时，圆柱的底面半径是此时圆柱体积是

当母线为2时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是

综上所求圆柱的体积是：或．

【点评】本题考查圆柱的侧面展开图，圆柱的体积，是基础题．容易疏忽一种情况．

7．（4分）（1984•全国）函数log0.5（x2+4x+4）在什么区间上是增函数？

【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题．

【分析】本题是一个复合函数，故应依据复合函数的单调性来判断其单调性，先求出定义域，判断出外层函数与内层函数的单调性，再依规则来判断即可．

【解答】解：令x2+4x+4＞0，得x≠﹣2，由t=x2+4x+4知，其对称轴为x=﹣2

故内层函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，+∞）上是增函数．

因为外层函数的底数0.5＜1，故外层是减函数，欲求复合函数的增区间，只须求内层的减区间

故函数y=log0.5（x2+4x+4）在（﹣∞，﹣2）上是增函数．

答：函数y=log0.5（x2+4x+4）在（﹣∞，﹣2）上是增函数．

【点评】本题的考点是复合函数的单调性，考查了对数与二次函数的单调性的判断方法以及定义域的求法．

8．（4分）（1984•全国）求方程的解集．

【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合．

【分析】利用平方关系和倍角公式对方程进行整理，根据一个周期内的正弦函数值求解，最后解集写出几何形式．

【解答】解：由题意知，，即1+sin2x=，

∴sin2x=﹣，则2x=+2nπ或﹣+2nπ（n∈Z），

解得x=+nπ或﹣+nπ（n∈Z），

∴所求方程的解集是：{x|x=+nπ，n∈Z}∪{x|x=﹣+nπ，n∈Z}

【点评】本题考查了三角函数方程的求解，即利用同角的基本关系、倍角公式、两角和差公式等等，对方程进行化简，再由三角函数在一个周期内的函数值和周期求出解集．

9．（4分）（1984•全国）求式子（|x|+﹣2）3的展开式中的常数项．

【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有

【分析】解法一：利用分步乘法原理展开式中的常数项是三种情况的和，

解法二：先将利用完全平方公式化成二项式，利用二项展开式的通项公式求得第r+1项，令x的指数为0得常数项．

【解答】解法一：（|x|+﹣2）3=（|x|+﹣2）（|x|+﹣2）（|x|+﹣2）得到常数项的情况有：

①三个括号中全取﹣2，得（﹣2）3；

②一个括号取|x|，一个括号取，一个括号取﹣2，得C31C21（﹣2）=﹣12，

∴常数项为（﹣2）3+（﹣12）=﹣20．

解法二：（|x|+﹣2）3=（﹣）6．

设第r+1项为常数项，

则Tr+1=C6r•（﹣1）r•（）r•|x|6﹣r=（﹣1）r•C6r•|x|6﹣2r，得6﹣2r=0，r=3．

∴T3+1=（﹣1）3•C63=﹣20．

【点评】本题考查解决二项展开式的特定项问题的重要工具有二项展开式的通项公式；还有分步乘法原理．

10．（4分）（1984•全国）求的值．

【考点】6F：极限及其运算．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题．

【分析】分子、分母同时除以3n，原式转化为，由此能求出的值．

【解答】解：==0．

【点评】本题考查数列的极限和运算，解题时要注意合理地进行等价转化．

11．（4分）（1984•全国）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）．

【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题．

【分析】首先分析两个舞蹈节目不得相邻的排列法，可以猜想到用插空法求解，然后分别求出舞蹈节目的排法及歌唱节目的排法，相乘即可得到答案．

【解答】解：此题采用插空法，因为任何两个舞蹈节目不得相邻，即可把6个歌唱节目每个的前后当做一个空位，共有7个空位，只需把舞蹈节目安排到空位上就不会相邻了，共有A74种排法，舞蹈节目排好后再排歌唱节目共有A66种

所以共有种A74•A66排法，

答案为A74•A66．

【点评】此题主要考查排列组合及其简单的计数问题，对于不相邻这种类型题目的求解，要想到可以用插空法求解，这种解题思路非常重要，要很好的理解记忆．

12．（6分）（1984•全国）设画出函数y=H（x﹣1）的图象．

【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有

【分析】考查函数图象的变化，y=H（x﹣1）的图象是由y=H（x）的图象向右平移一个图象得到的．故可以先画出H（x）的图象然后再向右平移1个单位得到H（x﹣1）的图象．

【解答】解：

【点评】考查函数图象的平移问题．记y=f（x），则y=f（x+1），y=f（x﹣1），y=f（x）+1，y=f（x）﹣1的图象，是由y=f（x）图象分别向左，向右，向上，向下平移1个单位得到的．

13．（6分）（1984•全国）画出极坐标方程的曲线．

【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有

【专题】13 ：作图题．

【分析】先将方程化简一下，然后根据极坐标方程的几何意义进行画图即可．

【解答】解：方程

∴ρ﹣2=0或θ﹣=0，即ρ=2表示圆心在极点，半径为2的圆

θ=表示极角为的射线

画出图象即可．

【点评】本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及作图能力的考查，属于基础题．

14．（12分）（1984•全国）已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行．

【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．菁优网版权所有

【专题】14 ：证明题；5F ：空间位置关系与距离．

【分析】证明时应分三条交线交于一点，和三条交线互相平行两种情况；

（1）证三线交于一点时，先由两线交于一点，再证这一点也在第三条直线上；

（2）证三线平行时，先由两线平行，再证第三条直线与这两条平行线中的任一条直线平行即可．

【解答】已知：设三个平面为α，β，γ，

且α∩β=c，α∩γ=b，β∩γ=a；

求证：a、b、c交于一点，或a∥b∥c．

证明：（1）如图①，若c与b交于一点，则设c∩b=P；

由P∈c，且c⊂β，得P∈β；

又由P∈b，b⊂γ，得P∈γ；

∴P∈β∩γ=a；

∴直线a，b，c交于一点（即P点）．

图①； 图②

（2）如图②，若c∥b，则由b⊂γ，且c⊄γ，∴c∥γ；

又由c⊂β，且β∩γ=a，∴c∥a；

∴a∥b∥c．

【点评】本题考查了空间中的直线平行，或相交的证明，特别是几何符号语言的应用问题，是基础题目．

15．（12分）（1984•全国）设c，d，x为实数，c≠0，x为未知数，讨论方程在什么情况下有解，有解时求出它的解．

【考点】4H：对数的运算性质；4T：对数函数图象与性质的综合应用；53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有

【分析】先将对数式转化为指数式，再根据对数函数的真数大于0，底数大于0且不等于1找到方程有根的等价条件后可解题．

【解答】解：原方程有解的充要条件是：

由条件（4）知，所以cx2+d=1再由c≠0，可得

又由及x＞0，知，

即条件（2）包含在条件（1）及（4）中

再由条件（3）及，知x≠1

因此，原条件可简化为以下的等价条件组：

由条件（1）（6）知这个不等式仅在以下两种情形下成立：

①c＞0，1﹣d＞0，即c＞0，d＜1；

②c＜0，1﹣d＜0，即c＜0，d＞1、

再由条件（1）（5）及（6）可知c≠1﹣d

从而，当c＞0，d＜1且c≠1﹣d时，

或者当c＜0，d＞1且c≠1﹣d时，

原方程有解，它的解是

【点评】本题主要考查对数式与指数式的互化和方程根的判定．属中档题．

16．（12分）（1984•全国）设p≠0，实系数一元二次方程z2﹣2pz+q=0有两个虚数根z1，z2、再设z1，z2在复平面内的对应点是Z1，Z2，求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长．

【考点】A1：虚数单位i、复数；K4：椭圆的性质．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题．

【分析】由题意两个虚数根z1，z2是共轭复数，可得椭圆的短轴长：2b=|z1+z2|=2|p|，焦距为2c=|z1﹣z2|，然后求出长轴长．

【解答】解：因为p，q为实数，p≠0，z1，z2为虚数，

所以（﹣2p）2﹣4q＜0，q＞p2＞0

由z1，z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称，

所以椭圆短轴在x轴上，又由椭圆经过原点，

可知原点为椭圆短轴的一端点

根据椭圆的性质，复数加，减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，

可得椭圆的短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|，

焦距离=2c=|z1﹣z2|=，

长轴长=2a=

【点评】本题考查复数的基本概念，椭圆的基本性质，是小型综合题，考查学生分析问题解决问题的能力．

17．（9分）（1984•全国）求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程．

【考点】K3：椭圆的标准方程；J3：轨迹方程．菁优网版权所有

【分析】先确定椭圆的位置，设左定点的坐标为A（x，y），然后根据离心率的含义得到左焦点的坐标，根据椭圆的第二定义确定方程．

【解答】解：因为椭圆经过点M（1，2），且以y轴为准线，

所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于x轴

设椭圆左顶点为A（x，y），因为椭圆的离心率为，

所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的，

从而左焦点F的坐标为

设d为点M到y轴的距离，则d=1

根据及两点间距离公式，可得

这就是所求的轨迹方程

【点评】本题主要考查椭圆方程的第二定义，平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合．

18．（12分）（1984•全国）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且c=10，，P为△ABC的内切圆上的动点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值．

【考点】HW：三角函数的最值；HP：正弦定理．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题．

【分析】利用正弦定理可求得，进而根据题设等式求得整理求得A+B=判断出三角形为直角三角形，进而可利用勾股定理求得a和b，利用直角三角形的性质求得其内切圆的半径，如图建立直角坐标系，则内切圆的方程可得，设出p的坐标，表示出，S=|PA|2+|PB|2+|PC|2，利用x的范围确定S的范围，则最大和最小值可得．

【解答】解：由，运用正弦定理，有，

∴sinAcosA=sinBcosB∴sin2A=sin2B．

因为A≠B，所以2A=π﹣2B，即A+B=

由此可知△ABC是直角三角形

由c=10，，a2+b2=c2以及a＞0，b＞0可得a=6，b=8．

如图，设△ABC的内切圆圆心为O'，

切点分别为D，E，F，则

AD+DB+EC=（10+8+6）=12．

但上式中AD+DB=c=10，

所以内切圆半径r=EC=2，

如图建立坐标系，

则内切圆方程为：

（x﹣2）2+（y﹣2）2=4

设圆上动点P的坐标为（x，y），

则S=|PA|2+|PB|2+|PC|2

=（x﹣8）2+y2+x2+（y﹣6）2+x2+y2

=3x2+3y2﹣16x﹣12y+100

=3[（x﹣2）2+（y﹣2）2]﹣4x+76

=3×4﹣4x+76=88﹣4x．

因为P点在内切圆上，所以0≤x≤4，

S最大值=88﹣0=88，

S最小值=88﹣16=72

【点评】本题主要考查了三角函数求最值的问题，直角三角形内切圆的问题，圆的性质问题．考查了学生基础知识的综合应用．

19．（12分）（1984•全国）设a＞2，给定数列{xn}，其中x1=a，求证：

（1）xn＞2，且；

（2）如果a≤3，那么．

【考点】RM：用数学归纳法证明不等式．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．

【分析】（1）我们用数学归纳法进行证明，先证明不等式xn＞2当n=1时成立，再假设不等式xn＞2当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式xk+1＞2也成立，最后得到不等式xn＞2对于所有的正整数n成立；

（2）我们用数学归纳法进行证明，先证明不等式当n=1时成立，再假设不等式当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式也成立，最后得到不等式对于所有的正整数n成立；

【解答】证明：（1）①当n=1时，

∵=，

==2+，x1=a＞2，

∴2＜x2＜x1．

结论成立．

②假设n=k时，结论成立，即2＜xk+1＜xk（k∈N+），

则=＞xk+1，

=2+＞2．

∴2＜xk+2＜xk+1，

综上所述，由①②知2＜xn+1＜xn．

∴x n＞2且．

（2）由条件x1=a≤3知不等式当n=1时成立

假设不等式当n=k（k≥1）时成立

当n=k+1时，由条件及xk＞2知

≤0，

再由xk＞2及归纳假设知，

上面最后一个不等式一定成立，

所以不等式也成立，

从而不等式对所有的正整数n成立

【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．

20．（1984•全国）如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP=时，点P的速度为v，求这时点M的速度．

【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有

【专题】16 ：压轴题．

【分析】设AP的长为x，AM的长为y，用x表示y，并用复合函数求导法则对时间t进行求导．

【解答】解：如图，作CD⊥AM，并设AP=x，AM=y，∠COA=θ，

由题意弧AC的长为，半径OC=1，可知θ=，考虑θ∈（0，π）．

∵△APM∽△DCM，∴．

∵DM=y﹣（1﹣cos），DC=sin，∴

∴．

上式两边对时间t进行求导，则y′t=y′x•x′t．

∴y′t=

当时，x′t=v，代入上式得点M的速度．

【点评】本题是难度较大题目，考查了弦长、弧度、相似、特别是复合函数的导数，以及导数的几何意义；

同时也考查了逻辑思维能力和计算能力．

考点卡片

1．集合的包含关系判断及应用

【知识点的认识】

概念：

1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B； 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；

2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A=B．

【解题方法点拨】

1．按照子集包含元素个数从少到多排列．

2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．

3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．

4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．

【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．

2．函数的图象与图象的变换

【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．

解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．

命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．

【图象的变换】

1．利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线．

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．

其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．

2．利用图象变换法作函数的图象

（1）平移变换：

y=f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y=f（x﹣a）；

y=f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y=f（x）+b．

（2）伸缩变换：

y=f（x） y=f（ωx）；

y=f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y=Af（x）．

（3）对称变换：

y=f（x）关于x轴对称⇒y=﹣f（x）；

y=f（x）关于y轴对称⇒y=f（﹣x）；

y=f（x）关于原点对称⇒y=﹣f（﹣x）．

（4）翻折变换：

y=f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y=f（|x|）；

y=f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y=|f（x）|．

解题方法点拨

1、画函数图象的一般方法

（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．

（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．

2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法

（1）知图选式：

①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；

②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；

③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；

④从图象的循环往复，观察函数的周期性．

利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．

（2）知式选图：

①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；

③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．

④从函数的周期性，判断图象的循环往复．

利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．

注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．

3、（1）利有函数的图象研究函数的性质

从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

（2）利用函数的图象研究方程根的个数

有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．

4、方法归纳：

（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点

在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．

（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点

为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：

①正确求出函数的定义域；

②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y=x+的函数；

③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．

（3）3种方法﹣﹣识图的方法

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：

①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；

②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；

③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．

3．分段函数的解析式求法及其图象的作法

【知识点的认识】

分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．

【解题方法点拨】

求解函数解析式的几种常用方法主要有

1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；

2、换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；

3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；

另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题．

【命题方向】

分段函数是今后高考的热点题型．常考题型为函数值的求解，不等式有关问题，函数的图形相联系的简单问题．

4．对数的运算性质

【知识点的认识】

对数的性质：①=N；②logaaN=N（a＞0且a≠1）．

loga（MN）=logaM+logaN； loga=logaM﹣logaN；

logaMn=nlogaM； loga=logaM．

5．对数函数的单调性与特殊点

【知识点归纳】

对数函数的单调性和特殊点：

1、对数函数的单调性

当a＞1时，y=logax在（0，+∞）上为增函数

当0＜a＜1时，y=logax在（0，+∞）上为减函数

2、特殊点

对数函数恒过点（1，0）

6．对数函数图象与性质的综合应用

【知识点归纳】

1、对数函数的图象与性质：

2、由对数函数的图象确定参数的方法

已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．

【解题方法点拨】

1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法

（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；

（2）将同底对数的和、差、倍合并；

（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；

（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5=1．

2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点

（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．

（2）对数函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．

（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．

3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用

（1）比较对数式的大小：

①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．

②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．

③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．

（2）解对数不等式：

形如logax＞logab的不等式，借助y=logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．

7．函数的零点与方程根的关系

【函数的零点与方程根的关系】

函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．

【解法】

求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．

例题：求函数f（x）=x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．

解：∵f（x）=x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70

=（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）

∴函数f（x）=x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．

通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．

【考查趋势】

考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．

8．极限及其运算

【知识点的知识】

1．数列极限

（1）数列极限的表示方法：

（2）几个常用极限：

③对于任意实常数，

当|a|＜1时，an=0，

当|a|=1时，若a=1，则an=1；若a=﹣1，则an=（﹣1）n不存在

当|a|＞1时，an=不存在．

（3）数列极限的四则运算法则：

如果，那么

特别地，如果C是常数，那么．

（4）数列极限的应用：

求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S=（|q|＜1）．

（化循环小数为分数方法同上式）

注：并不是每一个无穷数列都有极限．=a

2．函数极限；

（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作=a或当x→x0时，f（x）→a．

注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x=x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在的既不充分又不必要条件．）

如P（x）=在x=1处无定义，但存在，因为在x=1处左右极限均等于零．

（2）函数极限的四则运算法则：

如果，那么

特别地，如果C是常数，那么

．

注：①各个函数的极限都应存在．

②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．

（3）几个常用极限：

3．函数的连续性：

（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x=x0连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），（g（x）≠0）在点 x=x0处都连续．

（2）函数f（x）在点x=x0处连续必须满足三个条件：

①函数f（x）在点x=x0处有定义；②存在；③函数f（x）在点x=x0处的极限值等于该点的函数值，即．=f（x0）．

（3）函数f（x）在点x=x0处不连续（间断）的判定：

如果函数f（x）在点x=x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点．

①f（x）在点x=x0处没有定义，即f（x0）不存在；②不存在；③存在，但≠f（x0）．

9．虚数单位i、复数

【虚数单位i的概念】

i是数学中的虚数单位，i2=﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a=0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b=0叫做实数．复数的模为．

【复数的运算】

①复数的加法，若M=a+bi，N=c+di，那么M+N=（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．

②复数的乘法，若M=a+bi，N=c+di，那么M•N=（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i．

【例题解析】

例：定义运算，则符合条件的复数z为．

解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z=4+2i，即z（1+i）=4+2i，∴z===3﹣i．

这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法．

【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b=0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a=0，b≠0，则a+bi为纯虚数．

2、复数相等：a+bi=c+di⇔a=c，b=d（a，b，c，d∈R）．

3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a=c，b+d=0（a，b，c，d∈R）．

4、复数的模：的长度叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=．

10．排列、组合及简单计数问题

【知识点的知识】

1、排列组合问题的一些解题技巧：

①特殊元素优先安排；

②合理分类与准确分步；

③排列、组合混合问题先选后排；

④相邻问题捆绑处理；

⑤不相邻问题插空处理；

⑥定序问题除法处理；

⑦分排问题直排处理；

⑧“小集团”排列问题先整体后局部；

⑨构造模型；

⑩正难则反、等价转化．

对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：

①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；

②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．

2、排列、组合问题几大解题方法：

（1）直接法；

（2）排除法；

（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；

（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；

（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；

（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；

（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；

（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；

（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；

（10）指定元素排列组合问题：

①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；

②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；

③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．

11．二项式定理

【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n=Cniai•bn﹣i．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．

例1：用二项式定理估算1.0110=　1.105　．（精确到0.001）

解：1.0110=（1+0.01）10=110+C101•19×0.01+C102•18•0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．

故答案为：1.105．

这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．

例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．

解：由题意T8=C107×=120×3i=360i．

故答案为：360i．

通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．

【性质】

1、二项式定理

一般地，对于任意正整数n，都有

这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．

注意：

（1）二项展开式有n+1项；

（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；

（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；

（4）二项式定理通常有如下变形：

①；

②；

（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．

2、二项展开式的通项公式

二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．

注意：

（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是Cnr；

（2）字母b的次数和组合数的上标相同；

（3）a与b的次数之和为n．

3、二项式系数的性质．

（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；

（2）增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．

12．进行简单的合情推理

【知识点的知识】

1．推理

根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理．推理一般分为合情推理与演绎推理两类．

2．合情推理

3．演绎推理

（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；

（2）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；

（3）模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

13．三角函数的恒等变换及化简求值

【概述】

三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．

【公式】

①正弦函数有y=sin（2kπ+x）=sinx，sin（+x）=sin（﹣x）=cosx

②余弦函数有y=cos（2kπ+x）=cosx，cos（﹣x）=sinx

③正切函数有y=tan（kπ+x）=tanx，tan（﹣x）=cotx，

④余切函数有y=cot（﹣x）=tanx，cot（kπ+x）=cotx．

【例题解析】

例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于　　

解：，，，，

∴原式=．

先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cos（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cos30°，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．

【考点点评】

本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的．

14．半角的三角函数

【半角的三角函数】

半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan===；②tan===．

【例题解析】

例：函数的最小正周期为　π　．

解：∵

=

=sinx+tanx（1﹣cosx）

=sinx+tanx﹣sinx

=tanx

∴T=π

故答案为：π

这个题的解题关键就是正切函数半角的转化，所用的公式就是这里列出来的上面一种，像这个问题的思路其实是简单的，就是化简，化成一个单独的三角函数，而且只能是把tanx化成正余弦函数．

【考点点评】

正切函数与正余弦函数之间的关系大家都比较了解，但半角的正切函数与正余弦关系也很重要，它是正切函数转化为正余弦函数的一个桥梁，所以大家一定要记住，并清楚它的推导．

15．正弦定理

【知识点的知识】

1．正弦定理和余弦定理

在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况

由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．

2、三角形常用面积公式

1．S=a•ha（ha表示边a上的高）；

2．S=absinC=acsinB=bcsinA．

3．S=r（a+b+c）（r为内切圆半径）．

【正余弦定理的应用】

1、解直角三角形的基本元素．

2、判断三角形的形状．

3、解决与面积有关的问题．

4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识

（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．

解题关键在于明确：

①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；

②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．

（2）测量高度问题：

解题思路：

①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．

②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．

点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．

16．反三角函数

【知识点的知识】

反三角函数：

17．三角函数的最值

【三角函数的最值】

三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．

【例题解析】

例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x=　+cos（2x+）　．

解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x=﹣+2•=+（cos2x﹣sin2x）

=+cos（2x+）．

故答案为：+cos（2x+）．

这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．

例2：函数y=sin2x﹣sinx+3的最大值是　　．

解：令sinx=t，可得y=t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]

∵二次函数y=t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t=

∴当t=时函数有最小值，

而函数的最大值为t=﹣1时或t=1时函数值中的较大的那个

∵t=﹣1时，y=（﹣1）2﹣（﹣1）+3=5，当t=1时，y=12﹣1+3=3

∴函数的最大值为t=﹣1时y的值

即sinx=﹣1时，函数的最大值为5．

这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．

【考点点评】

求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．

18．圆的一般方程

【知识点的认识】

1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．

2．圆的一般方程：

x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）

其中圆心（﹣，﹣），半径r=．

3．圆的一般方程的特点：

（1）x2和y2系数相同，且不等于0；

（2）没有xy这样的二次项．

以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的必要非充分条件．

19．轨迹方程

【知识点的认识】

1．曲线的方程和方程的曲线

在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．

2．求曲线方程的一般步骤（直接法）

（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；

（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；

（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）=0；

（4）化简：化方程f（x，y）=0为最简形式；

（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点

【常用解法】

（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．

（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．

（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0=f（x，y），y0=g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）=0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．

（4）待定系数法

（5）参数法

（6）交轨法．

20．直线与圆的位置关系

【知识点的认识】

1．直线与圆的位置关系

2．判断直线与圆的位置关系的方法

直线Ax+By+C=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）的位置关系的判断方法：

（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．

圆心到直线的距离d=

①相交：d＜r

②相切：d=r

③相离：d＞r

（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．

由消元，得到一元二次方程的判别式△

①相交：△＞0

②相切：△=0

③相离：△＜0．

21．椭圆的标准方程

【知识点的认识】

椭圆标准方程的两种形式：

（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|=2c；

（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|=2c．

两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2=b2+c2

两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．

22．椭圆的性质

【知识点的认识】

1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点

顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．

顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）

其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．

4．椭圆的离心率

①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e=，且0＜e＜1．

②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a=b时，c=0，椭圆变为圆，方程为x2+y2=a2．

5．椭圆中的关系：a2=b2+c2．

23．棱柱、棱锥、棱台的体积

【知识点的知识】

柱体、锥体、台体的体积公式：

V柱=sh，V锥=Sh．

24．平面与平面之间的位置关系

【知识点的认识】

平面与平面之间的位置关系：