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西工大附中2007年第四模拟理科数学

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西工大附中高2007届第四次摸拟考试
数学试题（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数
2．设A、B是两个集合，定义A-B=xxA,且xB，若M=xx12，N=xxcos,R，则M-N等于（）
A．3,1B．3,0C．0,1D．3,03．lim
xxx3
x1
3
2
x1
i1i
在复平面中所对应的点到原点的距离为（）
22
A．1B．2
C．1D．2
（）
A．3B．4C．5D．6

4．由0、1、2、、9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（）
A．180B．196C．210D．224
5．设随机变量服从正态分布N（0，1），记(xP(x）,则下列结论不正确的是（）A．(01B．P(a2(a12
C．(x1(xD．P(a1(a
6．已知数列an的通项公式为anlog2
则使Sn5成立的自然数n(
A．有最小值63B．有最大值97C．有最小值42D．有最大值37
7．ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c,已知a、b、c成等比数列，a+c=3,cosB=3,则ABBC等于（）4
A．3B．-3C．3D．-322
n1n2
(nN

，设其前n项和为Sn，


8．设有平面、、两两互相垂直，且、、三个平面有一个公共交点A，现有一个半径为1的小球与、、这三个平面均相切，P为此球上任一点，则PA的最小值为（）
A．1B．22C．21D．312
9．已知f(x=x(2x,则f(0的值为（）
A．2B．-1C．-2D．不存在

10．点P到A（1，0）和直线x=-1的距离相等，且点P到直线l:y=x的距离等于22，这样的点P的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
32
11．若函数f(x=1x1(1-ax4xa在区间1,3上有单调递增32．．．．．区间．．，则（）
A．a5B．a5C．a6D．a6

12．已知OA1,OB3，OAOB0，点C在AOB内，且AOC30，

设OCmOAnOB(m、nR
，则
mn
等于（）
33
A．1B．3C．3
二．填空题(4×4′=16分：
D．3
13
x的是第三项，则n的值是x的展开式中含3
x

14．将函数f(x=sin2x+3cos2x的图象按向量a(m,0平移，若得到的图象
13．若二项式

n
关于y轴对称，则m的最小正值为
15．如图，设平面EF,AB,CD,垂足分别是B、D，若增加一个条件，就能推出BDEF。现有：①AC；②AC与、所成的角相等；③AC与CD在平面内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.那么上述几个条件中能成为增加条件的是
2
16．若函数f(xlgR的定义域为R，则2a-b(a1x2bx(a1(a，b∈
的取值范围是.


三．解答题（满分74分）：17．已知函数f(xa(2cos2
x2
sinxb
.
（I）当a=1时，求函数f(x的单调递增区间；
（II）当a<0且x[0,π]时，函数f(x的值域是[3,4]，求a+b的值．


18．盒中装有8个乒乓球，其中6个是没有用过的，2个是用过的．（1）从盒中任取2个球使用，求恰好取出1个用过的球的概率；
（2）若从盒中任取2个球使用，用完后装回盒中，此时盒中用过的球的个数是一个随机变量，求随机变量的分布列及E．

19．直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1CA2,ABBC，D是BC1上一点，且
CD
平面ABC1，
（1）求证：AB平面BCC1B1；
（2）求异面直线AC1与BC所成角的大小；
（3）求二面角CAC1B的大小．
20．已知函数f(x=ln(3-x+ax+1（1）．若函数f(x在0,2上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）．求函数f(x在0,2上的最大值．


21．已知双曲线C：
xa
22

yb
22
1(a0,b>0的右准线与一条渐近线交于点M，F
62
是右焦点，若MF1，且双曲线C的离心率e=.
（1）．求双曲线C的方程；（2）．过点A（0，1）的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q，且P在A、Q

之间，若APAQ
且
13
，求直线l斜率k的取值范围．

22．已知P1,P2,,Pn,为曲线y
x
上的一组点列，O,Q1,Q2,,Qn,，为x
轴上的一组点列，由这些点列组成的三角形OP1Q1,Q1P2Q2,Qn1PnQn…均为正三角形（其中Q0与坐标原点重合且nN），设OP1Q1的边长为a1，Qn1PnQn的边长为an.
（1）．求a1,a2的值及数列an的通项公式；
bn,又记OPnQn的面积为tn，（2）．记Qk1PkQk的面积为bk，令Tnb1b2
求lim

Tntn
．
n


西工大附中2007届高考数学模拟试题（四）（理）
（参考答案及评分细则）
一．选择题：BBDCDABDACCB二．填空题：13、414、
512
15、①③16、(2,+
三．解答题：
17.解：f(x=a(cosx+1+sinx+b=2asin(x4ab(2分（１）当a=1时，f(x=当2k

2x
2sin(x1b,4

4
2k

2
(kZ
时，f(x是增函数，所以f(x的单调递增区间为
3
2k,2k44

(kZ

（6分）

454
（２）由0x得∴当sin(x+当sin(x+

4

4
x
，∴
22
sin(x

4
1a0

4
=1时，f(x取最小值3，即2aab3，
22
=时，f(x取最大值4，即b=4.（10分）
将b=4代入上式得a12，故a+b=52（12分）
18.解：(1P=
(2


C2C6C
281
1

37
（5分）
3
4
1528
2
128
P

37

E
72
（12分）
19．解：（1）CC1平面ABC，AB平面ABC，∵CC1AB．
又CD平面ABC1，且AB平面ABC1，∴CDAB,又CC1CD=C,∴AB平面BCC1B1．（4分）
（２）BC∥B1C1，∴B1C1A或其补角就是异面直线AC1与BC所成的角．由（１）知ABBC,又ＡＣ＝２，∴AB=BC=2，∴AB12AA12A1B12.在AB1C1中，由余弦定理知cosB1C1A=∴B1C1A=


3
B1C1AC1AB1
2B1C1AC1
222

(2862222
2

12

,即异面直线AC1与BC所成的角的大小为

3
（8分）

（3）过点D作DEAC1于E，连接CE，由三垂线定理知CEAC1，
故DEC是二面角C-AC1B的平面角，又AC=CC1，∴E为AC1的中点，∴
CE=1AC12
2，又BC1
CC1BC
2
2
42
6，
由1CC1CB=1BC1CD,22
23
得CD
CC1CBBC1
3

6
233
，在RtCDE中，sinDEC
CDCE
6
3

32

63
,∴
DECarcsin
,即二面角C-AC1B的大小为arcsin
-13-x
（12分）
13x

20.解：（1）因为f(x=
a0
在0x2上恒成立，即a1,
所以a1．（5分）

(2（i）若a0,则f(x=ln(3-x+ax+1在0,2上是减函数，f(xmaxf(0ln31，（ii）若a>0，由（1）可得：当x3∴当0a1时，33
1a0
1a
时f(x0,当x3
1a
时，f(x0,
，此时f(x在0,2上单调递减，f(xmaxf(0ln31
当a1时，f(x在0,2上是增函数，f(xmaxf(22a1；
a1时，f(xmaxf(3lnaa(31=3a-lna.（12分）当1
3
a
a
1
1

21．解：（1）由对称性，不妨设M是右准线x=其坐标为M（
cab
2
2
2
a
2
c
与一渐近线y
ca
62
ba
ba
x
的交点，
22
a
2
c
3
2
,
2
abc
F,1∴），M
2
2
bc
42

abc
2
22
1，又e∴e21
2
2
，
a
，解得a2,b1，所以双曲线C的方程是
x
2
y1；（５分）

（2）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1,点P(x1,y1,Q(x2,y2由
ykx1x2y2
2
2
得：(12k2x24kx40

l与双曲线C的右支交于不同的两点
16k216(12k20
4kx1x202P、Q，∴2k1

4x1x202
2k12
12k0

∴k21且k0①（8分）

又APAQ
1
2
且P在A、Q之间，1，∴x1x2且11，33
4k
(1x22222(14k2(12k1∴∴，f(222
42k12k1x2
22
2k1
1116
=2在3,1上是减函数（f(0）,∴4f(3,∴
224
4216k1②,由于k21，∴5（10分）322
2k1
由①②可得：1k
255
，即直线l斜率取值范围为1,



25
5
（12分）
x
22.解：（1）依题意有P1(
3
4
a12
,
3a12
32

，又点P1在曲线y
43
上，所以有
a1
2
12
a1，可得a1
23
，则有P2(21a2,32a2，同上可得a2
；（4分）

a1a2an（2）设点Pn1的坐标为（xn1,yn1），Sn
xn1为（Sn,0，依题意有y2n+1
SnSn1
2
3
2
，则有点Qn的坐标
,yn1
32an1，
所以
SnSn1
2

34
an+1，即SnSn1
2
an1
2
2a①Sn1Sn3②，n2
22
(an1an，又因为an1>0,an>0，所以an1an2①-②得：an1an3，（n2）23
n；（9分）又a2a12，∴an为等差数列，故an2
33
（3）由于bkSQ
Tn
3
9
k1PkQk

34
ak
2
34

49
k
2

39
k，所以
2
(12n=
12
222
391n(n1(2n1=6
2
3
2
354
n(n1(2n+1；
n(n1
2
tnSOPnQn
lim
Tntn
n
n(n12Snyn=123
an
3
18
，
lim
2n13n
n

23
（14分）


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/267842f7f705cc17552709b4.html

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