流体力学第八章气体的一元流动

第8章 气体的一元流动

一、 学习的目的和任务

1．掌握可压缩气体的伯努利方程

2．理解声速和马赫数这两个概念

3．掌握一元气体的流动特性，能分析流速、流通面积、压强和马赫数等参数的相互关系

4．掌握气体在两种不同的热力管道（等温过程和绝热过程）的流动特性。

二、 重点、难点

1．重点： 声速、马赫数、可压气体的伯努利方程、等温管道流动、绝热管道流动

2．难点： 声速的导出、管道流动参数的计算

由于气体的可压缩性很大，尤其是在高速流动的过程中，不但压强会变化，密度也会显着地变化。这和前面研究液体的章节中，视密度为常数有很大的不同。

气体动力学研究又称可压缩流体动力学，研究可压缩性流体的运动规律及其应用。其在航天航空中有广泛的应用，随着研究技术的日益成熟，气体动力学在其它领域也有相应的应用。本章将简要介绍气体的一元流动。

8.1 气体的伯努利方程

在气体流动速度不太快的情况下，其压力变化不大，则气体各点的密度变化也不大，因此可把其密度视为常数，即把气体看成是不可压缩流体。这和第四章研究理想不可压缩流体相似，所以理想流体伯努利方程完全适用，即

上式中——流体气体两点的压强；

——流动气体两点的平均流速

在气体动力学中，常以乘以上式（）后气体伯努利方程的各项表示称压强的形式，即

由于气体的密度一般都很小，在大多数情况下和很相近，故上式就可以表示为

前面已经提到，气体压缩性很大，在流动速度较快时，气体各点压强和密度都有很大的变化，式就不能适用了。必须综合考虑热力学等知识，重新导出可压缩流体的伯努利方程,推导如下。

如图8-1所示，设一维稳定流动的气体，在上面任取一段微小长度，两边气流断面1、2的断面面积、流速、压强、密度和温度分别为、、、、；、、、、。

取流段1-2作为自由体，在时间内，这段自由体所作的功为

根据恒流源的连续性方程式，有（常数），所以上式可写成

由于在微元内，可认为和很相近，则上式可化简为

又对1-2自由体进行动能分析，其动能变化量为

同样地根据恒流源的连续性方程式（常数），故有

上式就可以写成

根据功能原理有,化简得

该式就是一元气体恒定流的运动微分方程

对上式进行积分，就得一元气体恒定流的能量方程

式中为常数。上式表明了气体的密度不是常数，而是压强（和温度）的函数，气体流动密度的变化和热力学过程有关，对上式的研究取要用到热力学的知识。下面简要介绍工程中常见的等温流动和绝热流动的方程。

（1） 等温过程

等温过程是保持温度不变的热力学过程。因，其中定值，则有（常数），代入式并积分，得

（2） 绝热过程

绝热过程是指与外界没有热交换的热力学过程。可逆、绝热过程称为等熵过程。绝热过程方程（常数），代入式并积分，得

式中为绝热指数。

8.2 声速和马赫数

8.2.1 声速

微小扰动波在介质中的传播速度称为声速。如弹拨琴弦，使弦振动了空气，其压强和密度都发生了微弱的变化，并以波的形式在介质中传播。由于人耳能接收到的振动频率有限，声速并不限于人耳能接收的声音传播速度。凡在介质中的扰动传播速度都称为声速。

如图8-2所示，截面面积为的活塞在充满静止空气的等径长管内运动，时（），管内压强为，空气密度为，温度为;若以微小速度向右推进时间，压缩空气后，压强、密度和温度分别变成了，和。活塞从右移动了，活塞微小扰动产生的声速传播了，就为声速。

取上面的控制体，列连续性方程得

化简并略去高阶无穷小项，得

又由动量定理，得

同样化简并略去高阶无穷小项，得

联立式和式，得

上式就为声速方程式的微分形式。

密度对压强的变化率反映了流体的压缩性，越大，则越小，声速也越小；反则声速越大。由此可知，声速反映了流体的可压缩性，即声速越小，流体越容易压缩；声速越大，流体也越不易压缩。

由于微小扰动波的传播速度很快，其引起的温度变化也很微弱，在研究微小扰动时，可认为其压缩或膨胀过程是绝热且可逆的，这就是热力学中的等熵过程。则有绝热方程为

（常数）

式中为绝热指数。

可写为

上式两边对求导，得

又由理想气体状态方程和上式、式联立，得

综合上述分析，有

（1） 由式得，密度对压强的变化率反映了流体的压缩性，越大，则越小，声速也越小；反则声速越大。由此可知，声速反映了流体的可压缩性，即声速越小，流体越容易压缩；声速越大，流体也越不易压缩。

（2） 特别的，对于空气来说，，则空气中的声速为

（3） 从式可看出，声速不但和绝热指数有关，也和气体的常数和热力学温度有关。所以不同气体声速一般不同，相同气体在不同热力学温度下的声速也不同。

8.2.2 马赫（Ma）数

为了研究的方便，引入气体流动的当地速度与同地介质中声速的比值，称为马赫数，以符号表示

马赫数是气体动力学中最采用的参数之一，它也反映了气体在流动时可压缩的程度。马赫数越大，表示气体可压缩的程度越大，为可压缩流体；马赫数越小，表示气体可压缩性小，当达到一定程度时，可近似看作不可压缩流体。

根据马赫数的取值，可分为

（1），即时，称为声速流动；

（2），即时，称为超声速流动；

（3），即时，称为亚声速流动。

下面讨论微小扰动波的传播规律，可分为四种情况：

(1) 如图8-3所示，，扰动源静止。扰动波将以声速向四周对称传播，波面为一同心球面，不限时间，扰动波布满整个空间。

(2) 如图8-3所示，，扰动源以亚声速向右移动。扰动波以声速向外传播，由于扰动源移动速度小于声速，只要时间足够，扰动波也能布满整个空间。

(3) 如图8-3所示，，扰动源以声速向右移动。由于扰动源移动速度等于声速，所以扰动波只能传播到扰动源的下游半平面。

(4) 如图8-3所示，，扰动源以超声速向右移动。由于扰动源移动速度大于声速，扰动波的球形波面被整个地带向扰动源的下游，所以扰动波只能传播到扰动源的下游区域，其区域为一个以扰动源为顶点的圆锥面内。称该圆锥为马赫锥。锥的半顶角称为马赫角，从图中可以看出

上面分析了扰动源分别在静止以及亚声速、声速和超声速从右移动时，微小扰动波的传播规律。由此可知，，即在振源静止或以亚声速移动的情况下，扰动波能传播到整个空间；而，即在振源以声速或超声速移动时，扰动波只能传播到半空间或一圆锥面内。

8.3 一元气流的流动特性

在引入了声速和马赫数的概念后，对于可压缩气体的流动有一些自己的特性。这里我们介绍两个重要特性。

8.3.1气体流速与密度的关系

由第一节的式和第两节的式，得

将马赫数代入上式，有

上式表明了密度相对变化量和速度相对变化量之间的关系。从该式可以看出，等式中有个负号，表示两者的相对变化量是相反的。即加速的气流，密度会减小，从而使压强降低、气体膨胀；反则，减速气流，密度增大，导致压强增大、气体压缩。马赫数为两者相对变化量的系数。因此，当时，即超声速流动，密度的相对变化量大于速度的相对变化量；当时，即亚声速流动，密度的相对变化量小于速度的相对变化量。以下再分析流速与断面积的关系

8.3.2气体流速与流道断面积的关系

对一元气流得连续性方程（常数）两边取对数，得

对上式微分，得

或

将式代入上式，得

从上式我们可以看到，是一个临界点。下面讨论其在亚声速和超声速流动下的情况。

（1） 亚声速流动时，即。面积相对变化量和速度相对变化量反向发展，说明了气体在亚声速加速流动时，过流断面逐渐收缩；减速流动时，过流断面积逐渐扩大。

（2） 超声速流动时，即。这种情况正好和亚声速流动相反，沿流线加速时，过流断面逐渐扩大；减速流动时，过流断面逐渐收缩。上式就表明，亚声速和超声速流动在加速或减速流动的情况截然相反。

8.4 气体在管道中的等温流动

实际工程中，许多工业输气管道，如天然气、煤气等管道，管道很长，且大部分长期暴露在外界中，管道中的气体能和外界进行充分的热交换，所以其温度基本与周边环境一样。该类气体管道可视为等温管道。

8.4.1基本方程

气体在实际管道中流动要受到摩擦阻力，故存在流程损失，但在流动中，气体压强、密度都有所改变，所以不能直接应用达西公式，只能在微小段上应用。即

对于前面推导出的可压缩流体方程式，在工业管道中加上摩擦损失后就可以写成

式中为沿程阻力系数，上式就是气体运动微分方程。

根据连续性方程，有,对于等径管道因,得

又由热力学等温过程方程 即和，有

或 和

将式代入式并改写为

如图8-3所示，设在等温管道中，取一微小流段，在1-2段对上式进行定积分，得

上式积分得

若管道较长，且气流速度变化不大，则可以认为,略去对数项，上式可写成

质量流量公式为

上面各项就是计算等温管道压强、流速和流量的计算公式。

8.4.2流动特征分析

前面已经给出了气体连续性方程,其中不变，则有，对该式取对数并积分，得

由热力学方程，积分得

联立上面两式和，以及声速公式，马赫数并整理。得

从上式我们可以看出，如果,，即，，则；又对于大多数气体的指数常数，且实际工程等温管道中气流的速度不可能无限增大，不可能等于或小于0，所以只有时，计算式才有效；时，只能按（极限值）计算，该极限值计算的管长又称为最大管长，即实际管长超过最大管长时，进口断面的流速将受到阻滞，必须减小管长。

8.5 气体在绝热管道中的流动

在实际的气体输送管道中，常常在管道外面包有良好的隔热材料，管内气流与外界不发生热交换，这样的管道可以当作绝热管流来处理。

8.5.1基本方程

和分析等温管道一样的，引入连续性方程和运动微分方程，并结合绝热过程方程进行分析。改写运动微分方程式为

由（常数）和连续性方程(常数)（面积不变）得

代入上式得

对如图8-3所示在1-2间对上式定积分

可得

考虑到管道较长，流速变化也不大，,略去对数项，可写成

质量流量为

8.5.2 流动特征分析

和等温管流相似的推导，可以得到

以上各式就是绝热管流的压强、速度和流量等计算公式。同样地，与等温管流一样，如果时，可直接用公式计算；否则时，实际流动只能按来计算。

计算得出的管长称为绝热管流的最大管长，如实际管长大于最大管长，流动将发生阻滞，必须较小管长。

气体的两种状态

8.6.1滞止参数

在气体流动的计算中,一般都是由一个已知断面上的参数,求出另一个断面上的参数。为了计算的方便，我们假定在流动过程中的某个断面，气流的速度以无摩擦的绝热过程（即等熵过程）降低至零，该断面的气流状态就称为滞止状态，相应的气流参数称为滞止参数。如气体从大容器流入管道，由于容器断面相对于管道断面大很多，可认为容器中的气流速度为零，气流参数可认为是滞止参数，或气体绕过物体时，驻点的速度也为零，驻点处的流动参数也可认为是滞止参数。滞止参数常用下标“”标识，如分别表示滞止压强、滞止密度、滞止温度。

由绝热过程方程式（），按滞止参数的定义，可得滞止参数和某一断面的运动参数间的关系为

又由完全气体状态方程得，上式可写为

即

又声速

上式改写成马赫数的形式为

上式就是滞止温度和断面上的温度参数的计算式。由绝热过程方程（常数）和完全气体状态方程，代入上式就可以导出断面上的压强、密度和滞止压强、滞止密度的关系如下

在等熵条件下温度降到绝对零度时，速度达到最大（）的状态，称为最大速度状态。由于在地面上不可能制造绝对零度的环境，最大速度状态只具有理论意义，反映气流的总能量大小。将代入式得

式中称为滞止声速，上式表示了极限流速和滞止声速的关系。

根据上面的式子，只需已知滞止参数和某一断面的马赫数，就可以求该断面的运动参数。

例题：

8.6.2临界状态参数

气体从当地状态等熵地改变速度达到声速时（即），所具有的状态称为与该当地状态对应的临界状态，相应的状态参数称为临界参数，与滞止状态一样，临界状态可以是流动中实际存在的，也可以是假想的状态。临界状态参数常用下标“”表示。如、分别称为临界温度、临界压强等。在等熵流中所有的临界参数都是常数，因此可作为参考状态参数。

根据临界状态的定义，代入式,得临界温度比为

代入式，就可以得出临界压比、临界密度比为

从上面公式可以看出,对于一定的气体, 临界状态参数与滞止参数的比值是定值。空气，则、、。根据这些临界比值就可以判断流场中是否在临界截面。

临界截面上的声速称为临界声速。由式 和得

或

上式为临界声速和极限速度的关系式，从式可以看出，对于一定的气体，临界声速决定于总温。式中的临界声速即是时的当地声速。是研究气体流动中的一个重要参数。

【例8-1】 空气在管道中作绝热无摩擦流动，某截面上的流动参数为，，，试求临界参数、，。

【解】 绝热、无摩擦流动就是等熵流动。先求马赫数M，再求、，。空气的，，

，

，

喷管的计算和分析

工程中采用的喷管有两种，一种是可获得亚声速流或声速流的收缩喷管，另一种是能获得超声速的拉瓦尔喷管。本节将以完全气体为研究对象，研究收缩喷管和拉瓦尔喷管在设计工况下的流动问题。

8.7.1收缩喷管

如图所示，气体从一大容器通过收缩喷管出流，由于容器比出流口要大得多，可将其中的气流速度看作零，则容器内的运动参数表示为滞止参数，分别为、、，喷管出口处的气流参数分别为、、、。由滞止参数中得出的能量方程式得

即

又由绝热过程方程（常数）和完全气体状态方程，上式可写成

上式就是喷管出流的速度公式，也称圣维南（Saint Venant）定律。此式对超声速也同样成立。

通过喷管的质量流量

代入上式得

从上面的各个公式可以看出，对于一定的气体，在收缩喷管出口未达到临界状态前，压降比越大，出口速度越大，流量也越大。且收缩喷管出口处的气流速度最高可达到当地声速，即出口气流处于临界状态（即）。此时的出口处压强为

此时气流速度也达到极限速度

则流过喷管的极限质量流量为

8.7.2拉瓦尔喷管

如图8-3所示为拉瓦尔喷管，其作用是能使气流加速到超声速，拉瓦尔喷管广泛应用于蒸气轮机、燃气轮机、超声速风洞、冲压式喷气发动机和火箭等动力装置中。本小节将讨论拉瓦尔喷管出口流速和流量的计算。

假定拉瓦尔喷管内的气体作绝能等熵流动，喷管进口的气流处在滞止状态。按照和收缩喷管同样的推导方法，推导出的喷管出口处的气流速度同收缩喷管气流速度式，即同样用圣维南定律。

拉瓦尔喷管的质量流量公式也可仍然采用式，需要注意的，式中的截面积要用喉部截面积代替。即通过喷管的流量就是喉部能通过的流量的最大值

由连续性方程得

式中为喷管出口处截面积。

根据式就可以在已知出口截面积的情况下求喉部截面积。

【例8-2】空气在缩放喷管内流动，气流的滞止参数为，，出口截面积，背压。如果要求喉部的马赫数达到M1=，试求候部面积。

【解】管内为亚音速流动，出口压强等于背压：。利用喉部和出口的质量流量相等的条件确定喉部面积A1。

出口参数：

，

，

喉部参数：

，

，

本 章 小 结

1．视为不可压缩气体的伯努利方程

可压缩一元气体恒定流的运动微分方程

（1）等温过程

（2）绝热过程

2．在介质中的扰动传播速度都称为声速，公式为

马赫数 有时，称为声速流动；时，称为超声速流动；时，称为亚声速流动。

3． 气体流速与密度的关系

气体流速与流道断面积的关系

4． 等温流动的基本方程

压强

速度

流量

以上各式只有时，才能直接计算；时，按计算，并此时算出的管长称为等温过程的最大管长。

5． 绝热流动的基本方程

压强

速度

流量

和等温过程类似的，以上各式只有时，才能直接计算；时，按计算，此时算出的管长称为绝热过程的最大管长。

思考与练习

8-1 分析理想气体绝热流动的伯努利方程各项意义，并与不可压缩流体的伯努利方程比较

8-2 请说明当地速度、当地声速、滞止声速、临界声速各自的意义以及他们之间的关系

8-3 在什么条件下可能把管流视为绝热流动？或等温流动？

8-4 在超声速流动中，速度随断面增大而增大的关系，其物理实质是什么？

8-5 为什么等温管流在出口断面上的马赫数？

8-6 为什么绝热管流在出口断面上的马赫数只能是？

8-7 空气作绝热流动，如果某处速度m/s，温度℃，试求气流的滞止温度。

8-8 大气温度T随海拔高度z变化的关系式是T=，T0=288K，一架飞机在10公里高空以900km/h速度飞行，求其飞行的马赫数。

8-9 空气气流在两处的参数分别为℃, ℃,求熵增。

8-10 一个真空容器将空气吸入其内，当地气温为20℃，试求容器内可能出现的气流最大速度。

8-11封闭容器中的氮气（γ=，, ）的滞止参数为Pa，℃，气体从收缩喷管流出，出口直径，背压为Pa，求氮气的质量流量。

8-12空气气流在缩放管流动，进口的压强和温度为，直径，喉部压强为，直径，求质量流量。

8-13空气在缩放喷管流动，进口处，，面积，出口压强，设计质量流量为，求出口和喉部面积。

8-14滞止参数的空气流入一个缩放喷管，出口压强，试求：出口的马赫数M2以及出口面积与喉部面积之比A2/A*。

滞止压强，滞止温度的空度流入一个拉伐尔喷管，出口处温度为，求出口马赫数M。又若喉部面积为，求喷管的质量流量。

8-15由缩放喷管与等截面绝热有摩擦的管子连接而成的组合管与一个贮气容器相接。喷管喉部直径为0.6cm，缩放管出口以及等截面管的直径同为0.9cm。容器内的滞止压强，滞止温度，空气在缩放管作等熵流动，在直管作绝热摩擦流动。直管长度l=0.07m，直管出口压强，出口压强，试求摩擦系数（提示：由缩放管的面积比求出M1，再由求M2）。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/24757b38f605cc1755270722192e453611665b3a.html