一元三次方程求根问题

发布时间：2018-07-01 03:05:43 来源：文档文库

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一元三次方程求根问题

一元三次方程求根问题是一个曾经困扰了人们许多年的问题，后来数学家们在经过非常多的计算后，用巧妙的方法将其解决了。目前，我还不知道一元三次方程求根公式和其推导过程，下面，我就尝试将这个问题解决。

显然，所有的一元三次方程都可以转化为

x3+bx2+cx+d=0的形式，

先从一些三次多项式的公式入手，其中有这样一个公式

在这里令x=A+B，m=-3AB，n=-(A3+B3)，则上述公式转为

x3+mx+n=0

这便是一个特殊的一元三次方程。

而

所以由一元二次方程的韦达定理得A3与B3是方程

的两根，

不考虑A与B之间的顺序，得

故

在解二次方程时，可以通过配方的方法

将 ax2+bx+c=0

转化为

再将换元，以达到消去一次项的目的。

那么，在解x3+bx2+cx+d=0的过程中，是否也有类似的方法呢？

我们可以尝试对其进行“配立方”来消去二次项，

得

这就转为x3+mx+n=0的形式，带入刚才得到的其求根公式，得

其中

以上只得出了一元三次方程一个根的求根公式，还不一定是实根，而一元三次方程一般有一或三个实根，原因可能是在上述求解过程中只在实数的范围内运算，并没有考虑到虚数。如果考虑虚数，在复数的范围内运算，一元三次方程应当有三个根。在上述方法中，另两个根可能要应用到虚数的一些概念和性质，若只考虑实数，无法将其解出。

接下来尝试一下在复数范围内，能否将另两个根解出。

设刚才求出的根为x1=A+B,先考虑x3+mx+n=0形式的方程，

方程可化为 x3-3ABx-(A3+B3)=0

由韦达定理可得

代入x1=A+B，得

再由二次方程韦达定理逆定理可得，x2、x3为方程

的两根

解得

不考虑x2与x3的顺序，得

故方程x3+mx+n=0的解为

再代入，

并将三个结果分别减去，便可得一般一元三次方程x3+bx2+cx+d=0的三个根的求根公式，由于公式太长，就不列出来了，实际应用的时候可以分步先求出m、n，再求解。