3.1.1数系的扩充和复数的概念
一、学习要求
1. 在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；
2. 理解复数的基本概念；
3. 了解复数的代数表示法；了解复数集与实数集的关系。
二、先学后讲
1．引入复数的必要性
方程：在实数集无解。
2．复数的有关概念
（1）虚数单位：叫做虚数单位。
word/media/image3_1.png；
word/media/image4_1.png，
word/media/image5_1.png ，
word/media/image6_1.png，
word/media/image7_1.png。
（2）复数：形如（
，
）的数叫做复数。
（3）复数的代数形式：（
，
）。其中
叫做复数的实部；
叫做复数的虚部。
3．复数集
全体复数所成的集合叫做复数集。记作，即
4.复数分类
复数（
，
）
。
常见数集的关系：.
三、问题探究
■合作探究
例1．实数取什么值时，复数
是
（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数。
解：（1）当，即
时，复数
是实数；
（2）当，即
时，复数
是虚数；
（3）当，即
时，复数
是纯虚数。
■自主探究
1．实数取什么值时，复数
是
（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数。
解：（1）当，即
或
时，复数是实数；
（2）当，即
或
时，复数是虚数；
（3）当，即
时，复数是纯虚数。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1. 若复数（
）的实部与虚部互为相反数，则
的值为（
）。
．
．
．
．
【解析】，∴
，∴
。故选
．
2.若word/media/image50_1.png为纯虚数，则实数a的值为（
）。
．
．
．
．
或
【解析】∵为纯虚数，∴
，
解得。故选
．
3.若复数（
是虚数单位）是实数，则实数
（
）。
．
．
．
．
【解析】∵复数是实数，
∴，∴
。故选
．
4.复数的虚部是（
）。
．
．
．
．
【解析】根据复数的代数形式“”及复数的实部、虚部的定义，可知选
。
【选修1-2】 第2课 3.1.1数系的扩充和复数的概念
一、学习要求
1. 理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；
2. 能运用复数的基本概念以及复数相等的充要条件解决有关问题。
二、先学后讲
1．复数相等的充要条件
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即如果，
，
，
，那么
。
【要点说明】
（1）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，就不能比较它们的大小；
（2）复数的实部和虚部确定了，这个复数就唯一确定了。复数的实质是一有序实数对。由复数相等的定义可知：任何一个复数，都可以由一个有序实数对
唯一确定。
（3）处理有关复数概念的问题时，首先要找准复数和实部和虚部（若复数为非标准的代数形式时，则应通过复数的代数运算化为标准形式），然后根据定义解题。
（4）利用复数相等列方程（组）求参数的值时，
，
，
，
是前提条件。
三、问题探究
■合作探究
例1．如果，求实数
，
的值。
解：∵，
∴根据复数相等的充要条件，得
，即
，解得
，
。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1. 若则
，
。
解：根据复数相等的充要条件，得
，解得
，
。
2. 若（
为虚数单位），则实数
（
）。
．
．
．
．
或
解：根据复数相等的充要条件，得
，解得
。故选
．
3. 已知复数（
），试求实数
分别为什么值时，
分别为：(1) 实数；(2) 虚数；(3) 纯虚数.
解：（1）当，即
时，复数
是实数；
（2）当，即
且
时，复数
是虚数；
（3）当，即
时，复数
是纯虚数。
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