希帕索斯悖论与第一次数学危机

发布时间：2020-05-04 02:39:54 来源：文档文库

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希帕索斯悖论与第一次数学危机

　　希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定||理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实||践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在||我国，最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了关于这一定理的初步认识。||不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三||国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。

在国外，最早给出这一||定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理||”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后||欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理||还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希||腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政||治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派||。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学||派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学||派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥||拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰||的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个||问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度||既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示||。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2的诞生。小小||√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了||毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这||一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于||当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖||论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任||何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人||们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也||毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被||小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常||识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬||人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危||机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一||次数学危机”。

课本、报刊杂志中的成语、名言警句||等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。||为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这||个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记||一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积||累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流||讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。||这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不||小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成||章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。

唐宋或更早之前，||针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应||传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去||甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲||师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者||始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”||等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已||设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其||教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学||官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其||身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是||“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有||了。二百年后，大约在公元前370年，才华横溢的欧多克||索斯建立起一套完整的比例论。他本人的著作已失传，他的成果被||保存在欧几里德《几何原本》一书第五篇中。欧多克索斯的巧||妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，从||而解决了由无理数出现而引起的数学危机。但欧多克索斯的解决方式，是借助几何||方法，通过避免直接出现无理数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开||来。在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的||，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。||或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。一直到18||世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在||的人才多起来。到十九世纪下半叶，现在意义||上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数||学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中合法地位的确立，一方面使||人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、||圆满地解决了第一次数学危机。

要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。||不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红||耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子||。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生||。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话||时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘||无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课||堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举||手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众||说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有||困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助||和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把||话说好的信心。三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，||我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用||眼神。对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，||提出表扬，并要其他幼儿模仿。长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提高。