赞皇县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

赞皇县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 如图所示，程序执行后的输出结果为（ ）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

2． 下列说法正确的是（ ）

A．类比推理是由特殊到一般的推理

B．演绎推理是特殊到一般的推理

C．归纳推理是个别到一般的推理

D．合情推理可以作为证明的步骤

3． 设为虚数单位，则（   ）

A． B． C． D．

4． 点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是（ ）

A．[﹣1，﹣] B．[﹣，﹣] C．[﹣1，0] D．[﹣，0]

5． 函数f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈（0，1）时，f（x）=x+1，则函数f（x）在（1，2）上的解析式为（ ）

A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x﹣3 C．f（x）=1﹣x D．f（x）=x+1

6． 已知命题p：“∀x∈R，ex＞0”，命题q：“∃x0∈R，x0﹣2＞x02”，则（ ）

A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题

C．命题p∧（￢q）是真命题 D．命题p∨（￢q）是假命题

7． 已知f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（，），且a2＜，则f（x）g（x）＞0的解集为（ ）

A．（﹣，﹣a2）∪（a2，） B．（﹣，a2）∪（﹣a2，）

C．（﹣，﹣a2）∪（a2，b） D．（﹣b，﹣a2）∪（a2，）

8． 若复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（ ）

A．3 B．6 C．9 D．12

9． 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，则集合{0，1}可以表示为（ ）

A．M∪N B．（∁UM）∩N C．M∩（∁UN） D．（∁UM）∩（∁UN）

10．直线l过点P（2，﹣2），且与直线x+2y﹣3=0垂直，则直线l的方程为（ ）

A．2x+y﹣2=0 B．2x﹣y﹣6=0 C．x﹣2y﹣6=0 D．x﹣2y+5=0

11．已知，满足不等式则目标函数的最大值为（ ）

A．3 B． C．12 D．15

12．如图，函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜）的图象过点（0，），则f（x）的图象的一个对称中心是（ ）

A．（﹣，0） B．（﹣，0） C．（，0） D．（，0）

二、填空题

13．已知△的面积为，三内角，，的对边分别为，，．若，

则取最大值时 ．

14．如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点,是侧

面内一点，若平行于平面,则线段长度的取值范围是_________.

15．利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是　　　　　　．

16．幂函数在区间上是增函数，则 ．

17．给出下列命题：

（1）命题p：；菱形的对角线互相垂直平分，命题q：菱形的对角线相等；则p∨q是假命题

（2）命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题为真命题

（3）“1＜x＜3”是“x2﹣4x+3＜0”的必要不充分条件

（4）若命题p：∀x∈R，x2+4x+5≠0，则¬p：．

其中叙述正确的是　　　　　　．（填上所有正确命题的序号）

18．已知正整数的3次幂有如下分解规律：

；；；；…

若的分解中最小的数为，则的值为 .

【命题意图】本题考查了归纳、数列等知识，问题的给出比较新颖，对逻辑推理及化归能力有较高要求，难度中等.

三、解答题

19．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x

（1）求f（x）最小正周期；

（2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．

20．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．

（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；

（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

21．已知过点P（0，2）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，O为坐标原点．

（1）若以AB为直径的圆经过原点O，求直线l的方程；

（2）若线段AB的中垂线交x轴于点Q，求△POQ面积的取值范围．

22．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数，．

（Ⅰ）若当时，恒成立，求实数的取值；

（Ⅱ）当时，求证：．

23．已知等差数列{an}，满足a3=7，a5+a7=26．

（Ⅰ）求数列{an}的通项an；

（Ⅱ）令bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn．

24．设函数f（x）=emx+x2﹣mx．

（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；

（2）若对于任意x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．

赞皇县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：执行程序框图，可得

n=5，s=0

满足条件s＜15，s=5，n=4

满足条件s＜15，s=9，n=3

满足条件s＜15，s=12，n=2

满足条件s＜15，s=14，n=1

满足条件s＜15，s=15，n=0

不满足条件s＜15，退出循环，输出n的值为0．

故选：B．

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确判断退出循环时n的值是解题的关键，属于基础题．

2． 【答案】C

【解析】解：因为归纳推理是由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；合情推理的结论不一定正确，不可以作为证明的步骤，

故选C．

【点评】本题考查合情推理与演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

3． 【答案】C

【解析】【知识点】复数乘除和乘方

【试题解析】
故答案为：C

4． 【答案】D

【解析】解：如图所示：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，

建立空间直角坐标系．

则点A（1，0，0），C1 （0，1，1），设点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得 0≤x≤1，0≤y≤1，z=1．

∴=（1﹣x，﹣y，﹣1），=（﹣x，1﹣y，0），

∴=﹣x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0=x2﹣x+y2﹣y=+﹣，

由二次函数的性质可得，当x=y=时，取得最小值为﹣；

故当x=0或1，且y=0或1时，取得最大值为0，

则的取值范围是[﹣，0]，

故选D．

【点评】本题主要考查向量在几何中的应用，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．

5． 【答案】A

【解析】解：∵x∈（0，1）时，f（x）=x+1，f（x）是以2为周期的偶函数，

∴x∈（1，2），（x﹣2）∈（﹣1，0），

f（x）=f（x﹣2）=f（2﹣x）=2﹣x+1=3﹣x，

故选A．

6． 【答案】 C

【解析】解：命题p：“∀x∈R，ex＞0”，是真命题，

命题q：“∃x0∈R，x0﹣2＞x02”，即﹣x0+2＜0，

即： +＜0，显然是假命题，

∴p∨q真，p∧q假，p∧（￢q）真，p∨（￢q）假，

故选：C．

【点评】本题考查了指数函数的性质，解不等式问题，考查复合命题的判断，是一道基础题．

7． 【答案】A

【解析】解：∵f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（，），且a2＜，

∴f（x）＜0的解集为（﹣b，﹣a2），g（x）＜0的解集为（﹣，﹣），

则不等式f（x）g（x）＞0等价为或，

即a2＜x＜或﹣＜x＜﹣a2，

故不等式的解集为（﹣，﹣a2）∪（a2，），

故选：A．

【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的对称性的性质求出f（x）＜0和g（x）＜0的解集是解决本题的关键．

8． 【答案】A

【解析】解：复数z===．

由条件复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，得，18﹣a=3a+6，

解得a=3．

故选：A．

【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．

9． 【答案】B

【解析】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，

∴∁UM={0，1}，

∴N∩（∁UM）={0，1}，

故选：B．

【点评】本题主要考查集合的子交并补运算，属于基础题．

10．【答案】B

【解析】解：∵直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，

∴与直线x+2y﹣3=0垂直的直线斜率为2，

故直线l的方程为y﹣（﹣2）=2（x﹣2），

化为一般式可得2x﹣y﹣6=0

故选：B

【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．

11．【答案】C

考点：线性规划问题．

【易错点睛】线性规划求解中注意的事项：（1）线性规划问题中，正确画出不等式组表示的平面区域是解题的基础．（2）目标函数的意义，有的可以用直线在轴上的截距来表示，还有的可以用两点连线的斜率、两点间的距离或点到直线的距离来表示．（3）线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界上取得，特别地对最优整数解可视情况而定．

12．【答案】 B

【解析】解：由函数图象可知：A=2，由于图象过点（0，），

可得：2sinφ=，即sinφ=，由于|φ|＜，

解得：φ=，

即有：f（x）=2sin（2x+）．

由2x+=kπ，k∈Z可解得：x=，k∈Z，

故f（x）的图象的对称中心是：（，0），k∈Z

当k=0时，f（x）的图象的对称中心是：（，0），

故选：B．

【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．

二、填空题

13．【答案】

【解析】

考点：1、余弦定理及三角形面积公式；2、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数.1

【方法点睛】本题主要考查余弦定理及三角形面积公式、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列不同形式.

14．【答案】

【解析】

考点：点、线、面的距离问题.

【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题.

15．【答案】　　．

【解析】解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6=36，即（a，b）的情况有36种，

事件“a+b为偶数”包含基本事件：

（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），

（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）

（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，

“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：

（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，

故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P==

故答案为：

【点评】本题主要考查概率的计算，以条件概率为载体，考查条件概率的计算，解题的关键是判断概率的类型，从而利用相应公式，分别求出对应的测度是解决本题的关键．

16．【答案】

【解析】

【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点：（1）若幂函数是偶函数，则必为偶数．当是分数时，一般将其先化为根式，再判断；（2）若幂函数在上单调递增，则，若在上单调递减，则；（3）在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 1

17．【答案】　（4）　

【解析】解：（1）命题p：菱形的对角线互相垂直平分，为真命题．命题q：菱形的对角线相等为假命题；则p∨q是真命题，故（1）错误，

（2）命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3或x=1”，即原命题为假命题，则命题的逆否命题为假命题，故（2）错误，

（3）由x2﹣4x+3＜0得1＜x＜3，则“1＜x＜3”是“x2﹣4x+3＜0”的充要条件，故（3）错误，

（4）若命题p：∀x∈R，x2+4x+5≠0，则￢p：．正确，

故答案为：（4）

【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及复合命题的真假关系，四种命题，充分条件和必要条件以及含有量词的命题的否定，知识点较多，属于中档题．

18．【答案】10

【解析】的分解规律恰好为数列1，3，5，7，9，…中若干连续项之和，为连续两项和，为接下来三项和，故的首个数为.

∵的分解中最小的数为91，∴，解得.

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）∵函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），

∴它的最小正周期为=π．

（2）在区间上，2x+∈[，]，故当2x+=时，f（x）取得最小值为 1+×（﹣）=0，

当2x+=时，f（x）取得最大值为 1+×1=1+．

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由

从而C的直角坐标方程为

即

θ=0时，ρ=2，所以M（2，0）

（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）

N点的直角坐标为

所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，

所以直线OP的极坐标方程为，ρ∈（﹣∞，+∞）

【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．

21．【答案】

【解析】解：（1）设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0），

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由，得k2x2+（4k﹣4）x+4=0，

则由△=（4k﹣4）2﹣16k2=﹣32k+16＞0，得k＜，

=，，

所以y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=，

因为以AB为直径的圆经过原点O，

所以∠AOB=90°，

即，

所以，

解得k=﹣，

即所求直线l的方程为y=﹣．

（2）设线段AB的中点坐标为（x0，y0），

则由（1）得，，

所以线段AB的中垂线方程为，

令y=0，得==，

又由（1）知k＜，且k≠0，得或，

所以，

所以=，

所以△POQ面积的取值范围为（2，+∞）．

【点评】本题考查直线l的方程的求法和求△POQ面积的取值范围．考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．

22．【答案】

【解析】【解析】（Ⅰ）得，

由题意得，故，所以…… 5分

（Ⅱ）， ， ，

，

．…… 10分

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设{an}的首项为a1，公差为d，

∵a5+a7=26

∴a6=13，，

∴an=a3+（n﹣3）d=2n+1；

（Ⅱ）由（1）可知，

∴．

24．【答案】

【解析】解：（1）证明：f′（x）=m（emx﹣1）+2x．

若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，emx﹣1≥0，f′（x）＞0．

若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，emx﹣1＜0，f′（x）＞0．

所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．

（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在单调递减，在单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．

所以对于任意x1，x2∈，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是word/media/image170_1.png

即word/media/image172_1.png

设函数g（t）=et﹣t﹣e+1，则g′（t）=et﹣1．

当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．

又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈时，g（t）≤0．

当m∈时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；

当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即em﹣m＞e﹣1．

当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．

综上，m的取值范围是

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/21f1865cec630b1c59eef8c75fbfc77da26997dd.html