目 录

第6单元　比的认识 2

1　生活中的比 4

2　比的化简 9

3　比的应用 13

4 整理复习 19

第6单元　比的认识

内如简析

“比”在小学数学中是重点，它将小学数学内容中除法和分数的概念联系起来，对小学数学内容的学习起着承上启下的作用。本单元的主要内容包括：生活中的比，比的化简，比的应用。教材没有直接给出“比”的概念，而是以一系列情境为引导，给学生理解比的意义提供了丰富的直观背景和具体案例，为今后学习比的应用，以及比例的知识奠定了基础。教材密切联系学生已有的生活经验和学习经验，设置了多种情境图。通过对这部分内容的教学，不仅可以使学生对已有的两个数相比的知识得以升华，同时也能够对学生进一步学习比的性质、比的应用和比例的相关知识打下坚实的基础。

教学目标

1．使学生经历从具体情境中抽象出比的过程，理解比的意义及其与除法、分数的关系。

2．使学生在实际情境中，体会化简比的必要性，会运用商不变的规律或分数的基本性质化简比，并能解决一些简单的实际问题。

3．使学生能运用比的意义解决按照一定的比进行分配的实际问题，进一步体会比的意义，提高解决问题的能力，感受比在生活中的广泛应用。

课时分配

1　生活中的比 1课时

2　比的化简 1课时

3　比的应用 1课时

教学建议

1．提供多种情境，使学生经历从具体情境中抽象出比的意义的过程。

比在数学中是一个重要的概念，同时学生理解比的意义往往比较困难，所以要密切联系学生已有的生活经验和学习经验，创设情境，为学生理解比的意义提供丰富的直观背景和具体案例，由浅入深地引导学生在独立思考、实际操作和合作交流中，体会生活中存在两个数量之间比的关系，切实感受比产生的背景，理解比的意义。

2．注重引导学生利用比的意义解决实际问题。

比在生活中有着广泛的应用，应鼓励学生寻找生活中的“比”，并根据比的意义解决生活中按照一定的比进行分配的实际问题，鼓励学生运用合理的策略解决实际问题。

1　生活中的比

教学内容

生活中的比。(教材第69页内容)

教学目标

1．使学生在具体的情境中理解比的意义，掌握比的读、写方法，知道比的各部分名称，会求比值，初步理解比与分数、除法的关系。

2．让学生经历探索比与分数、除法的关系的过程，通过教学初步培养学生提出问题、分析问题、解决实际问题的能力。

重点难点

重点：理解比的意义、比与分数、除法的关系，会求比值。

难点：联系分数与除法，正确理解比的意义。

教具准备

教师准备：课件

教学过程

一、情景引入

课件展示下列图片。

提问：同学们，你们认识图片上的人吗吗？仔细观察下面的图片，哪几张图片与图1像？

(教师引导学生回答)图C比较像，因为图B太胖了，图A又太瘦了，图D也比较像。

把这几张图片分成两类，图1、C、D是一类，其余的是另一类。借助附页中的图2来研究一下，这些图片的长和宽有什么关系呢？

二、学习新课

1．明确展示图片中，长宽的关系。

同桌合作，用直尺测量教材中图片的长、宽，并发现其中的规律。

学生汇报：①D的长和宽分别是A的长和宽的2倍。

②6÷4＝1.5……

③A，B，D的长都是宽的1.5倍，所以它们比较像。

2．比的写法、比的各部分名称。

概念：像上面那样，两个数相除，又叫作这两个数的比。

如：6÷4写作6 ∶ 4，读作6比4。

6　 ∶ 　4 ＝ 6÷4 ＝ ＝ 1.5

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

前项　 比号　 后项　　　　　 　比值

3．比与除法、分数的关系。

(1)提问：观察上面的式子，比的前项相当于什么？(被除数)，后项相当于什么？(除数)，比值相当于什么？(商)。

(2)提问：比的后项能不能是零？为什么？

明确：比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示。

(3)提问：根据分数与除法的关系，可以推知比与分数有什么关系？

4.比在生活中的应用。(课件出示教材第70页“试一试”内容)

(1)比在实际生活中的含义。

①甘蔗汁和水的体积比是1比2，意思就是1份甘蔗汁2份水，2份甘蔗汁4份水……水总是甘蔗汁的2倍。

②树高和影长的比是6比3，意思就是树高是影长的2倍，影长是树高的。

(2)比在生活中的应用。

①路程与时间的比是不同类量的比，只需将数量相比即可，它们的比值就是速度，要加单位名称。

根据“路程÷时间＝速度”可分别求出马拉松选手和骑车人的速度，再比较谁快。

马拉松选手：40∶2＝40÷2＝20(km/h)

骑车人：45∶3＝45÷3＝15(km/h)

所以马拉松选手比较快。

②总价与数量的比是不同类量的比，只需将数量相比即可，它们的比值就是单价，要加单位名称。

根据“总价÷数量＝单价”可分别求出A、B、C三种苹果的单价，再比较得出最便宜的苹果。

A：9÷2＝4.5(元/千克)

B：15÷3＝5(元/千克)

C：12÷3＝4(元/千克)

所以C种苹果最便宜。

三、巩固反馈

完成教材第70～71页“练一练”第1～4题。

第1题：(1)略　(2)8∶6(或6∶8)　3∶4(或4∶3)　3∶8(或8∶3)　12∶16(或16∶12)　6∶9(或9∶6)

第2题：六(1)班男生与女生的人数比为3∶4。(答案不唯一)

第3题：(1)120∶2　(2)72∶4

第4题：(1)22∶40　(2)12∶3　9∶3

四、课堂小结

今天我们学到了什么知识？比的意义是什么？

板书设计

生活中的比

　　　　　　　　　6 ∶ 4＝6÷4＝＝1.5

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

　　　　　　　　前项　 比号　后项　　　 比值

教后反思

课外拓展

【例题】5分钟∶30秒的比值是(　　)

A．6 B．1∶6

C．10∶1 D．10

分析：用比的前项除以比的后项即可求得比值，注意先统一单位后再求比值。5分钟∶30秒＝300秒∶30秒＝300÷30＝10

答案：D

解法归纳：本题考查求比值的方法，要与化简比区分开。求比值的结果是一个数，化简比的结果仍是一个比。

课外阅读

奇妙的比

张扬和李明在争论一个问题。张扬说：“比的后项不能为0，可是，前几天中国女排还以3∶0的成绩战胜了美国女排。这里的比的后项就是0，为什么呢？”

李明笑了说：“比赛中的2∶0，与表示倍数关系的比是两码事。虽然读法、写法都一样，可他们的意义不相同。表示倍数关系的两个数，也可以表述为两个数相除，又叫做两个数的比。由于除数是0没有意义，所以比的后项也不能是0。而比赛中记录的2∶0，不表示两个队得分的倍数关系，只表示比赛双方的进球的个数，只是借用了比的写法！”张扬佩服的点点头。

2　比的化简

教学内容

比的化简。(教材第72页内容)

教学目标

1．使学生在实际情境中，体会化简比的必要性，进一步体会比的意义，能正确区分化简比和求比值的不同。

2．使学生理解比的基本性质，会运用比的基本性质化简比，掌握化简比的方法，并能解决一些简单的实际问题。

3．使学生感受数学知识间的联系，体会辩证唯物主义的“联系和发展”的观点。

重点难点

重点：理解比的基本性质，会运用比的基本性质化简比。

难点：区分化简比和求比值。

教具准备

教师准备：课件

教学过程

一、情景引入

课件出示教材第72页情境图。

奇思手里的那杯蜂蜜水用了3小杯蜂蜜，12小杯水。妙想手里的那杯蜂蜜水用了4小杯蜂蜜，16小杯水。

1．猜想：同桌互相讨论，猜想哪杯水更甜呢？并说明理由。

方法：我们可以写出每杯水中蜂蜜和水的比，然后看看结果是不是相等。

过程：奇思：3∶12＝＝＝1∶4

妙想：4∶6＝＝＝2∶3

结果：因为比相等，所以两杯水一样甜。

2．提问：3∶12＝1∶4,4∶16＝1∶4，这是怎么回事呢？

二、学习新课

问题1：小组讨论，观察相等的比，你能写出一组相等的比吗？

(1)观察1∶2＝10∶20，比的前项和后项同时乘10，比值的大小不变。

(2)观察4∶12＝1∶3，比的前项和后项同时除以4，比值的大小不变。

(教师引导学生回答)比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比的大小不变。

和我们以前学习的商不变的规律、分数的基本性质一样。

……

问题2：分数可以约分，比可以化简，你能化简下面的比吗？

24∶42　∶　0.7∶0.8

(1)学生自己动手操作，教师巡视检测，最后课件PPT汇总演示化简过程。

①化简24∶42时，我们让比的前项和后项同时除以6，结果得到4∶7。

②化简∶时，根据比与除法的关系可以得到∶＝÷＝×4＝，也可以写出8∶5。

③化简0.7∶0.8时，我们可以把比的前项和后项同时乘10，得到7∶8。

(2)小组讨论，观察化简比的过程，总结归纳比的性质。

学生汇报，老师点评总结。

①如果比的前项和后项都是整数，我们可以把比的前项和后项同时缩小相同的倍数(0除外)，直到前项和后项成为互质数为止。

②如果比的前项或后项是小数，我们可以先把前项和后项同时扩大相同的倍数变成整数，再化简。

③如果比的前项或后项是分数，我们可以根据分数、除法与比的关系进行除法计算，最后得到化简的比。

注意：化简比和求比值的方法可以相同，但是结果不同，化简比的结果是一个比(即使写成分数的形式仍然读作比)，求比值的结果是一个数，可以是整数、分数或小数。

归纳总结，概括规律。

(1)比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变。这叫做比的基本性质。

(2)追问：这里“相同的数”为什么要强调0除外呢？

原因：因为分数的分母和除数不能为0，如果是0就没有意义了。根据比与分数、除法的关系，比的后项也不能为0。

三、巩固反馈

完成教材第73页“练一练”。

第1题：(1)1∶2　(2)1∶2　(3)1∶5　(4)1∶5

(1)和(2)两杯糖水一样甜；(3)和(4)两杯糖水一样甜。

第2题：略

第3题：10∶125　2∶25　6∶50　3∶25　6.4∶400　2∶125

第4题：(1)9∶10　　(2)13∶20

　(3)略

四、课堂小结

今天我们学习了什么知识？比的基本性质可以应用在哪些方面？

板书设计

比的化简

比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变。与分数的基本性质，商不变的规律一样。

教后反思

课外拓张

【例题】甲数与乙数的比是3∶4，乙数与丙数的比是6∶7，甲数与丙数的比是多少？甲数、乙数与丙数三个数的比是多少？

分析：甲数∶乙数和乙数∶丙数中的乙数是同一个量，但在每个比中所占的份数不同，可以根据比的基本性质将乙数化成相同。

解答：甲数∶乙数＝3∶4，乙数∶丙数＝6∶7，可以将乙数所占的份数化为4和6的最小公倍数。

甲数∶乙数＝(3×3)∶(4×3)＝9∶12，乙数∶丙数＝(6×2)∶(7×2)＝12∶14。

所以甲数∶丙数＝9∶14，甲数∶乙数∶丙数＝9∶12∶14。

解法归纳：解决连比问题，主要运用转化方法，把同种量转化成相同的份数。

课外阅读

奇妙的8∶11

人们都见到过稻麦一类的农作物，在快要收割的时候，它们顶着沉甸甸的穗子，支持着饱满穗子的却是一根空心的茎。为什么一根空心的茎会有这样大的能耐呢？

科学家根据材料力学理论推算：一根空心管子的内径和外径之比，如果是

8∶11的话，最不容易弯曲。生物界在进化过程中，为了求得生存，动物的骨、植物的茎等都选择空心，而且不论粗细如何，内径和外径之比大约都是8∶11，这不是奇妙的巧合，而是大自然优胜劣汰的结果。科学家就利用这个数据，为人类造福。例如水泥制成的空心电线杆、自行车的车身架等，都是利用这个数据，以达到耗费最少的材料而获得最强的坚固性的目的。

3　比的应用

教学内容

比的应用。(教材第74页内容)

教学目标

1．使学生明确按比分配是比的应用，又是“平均分”的发展，明确按比分配的意义和作用。

2．使学生能运用比的意义解决按照一定的比进行分配的实际问题，进一步体会比的意义，提高解决问题的能力。

3．使学生感受比在生活中的广泛应用，能根据所给出的比，掌握各部分量占总数量的几分之几，能按比用乘法求各部分量。

重点难点

重点：能运用比的意义解决有关按比分配的实际问题。

难点：能根据所给出的比，掌握各部分量占总数量的几分之几，能按比用乘法求各部分量。

教具准备

教师准备：课件

教学过程

一、情景引入

1．课前调查，上课汇报。

课前布置学生调查生活中某些事物各组成部分的比，上课时让学生汇报调查情况以及是如何获得这些信息的。

例如：妈妈洗衣服时，30克洗涤剂要兑5千克水。(课件PPT展示)

提问：从这个信息中，你能知道什么？

汇总回答结果：(1)洗涤剂与水的比是3∶500。

(2)把洗衣液的总量平均分成503份，洗涤剂占3份，水占500份。

(3)把洗衣液的总量看作单位“1”，洗涤剂占3份，水占500份，

……

2．揭示课题。

在工业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配的方法通常叫作按比例分配。

二、学习新课

1．课件PPT出示教材第74页情境图。

(1)问题1：笑笑想把一些橘子分给有30人的1班和有20人的2班。怎样分才合理呢？说说你的想法。

(教师引导学生回答)这两个班的人数不一样多，显然是不能“平均分”的。

还是按1班和2班人数的比来分比较合理，人多的多分一些，人少的少分一些。也就是把这些橘子按1班和2班人数的比30∶20(即3∶2)来分。

(2)问题2：如果有140个橘子，按3∶2又应该怎么分？与同伴交流你的方法。

(方法一)列表试一试。

(方法二)画图试一试。

把140个橘子按3∶2分成5份，先求出1份是多少，再求3份与2份是多少。列式计算如下：

140÷(3＋2)＝28(个)

1班：28×3＝84(个)

2班：28×2＝56(个)

(方法三)1班分的橘子占3份，2班分的橘子占2份，说明橘子的总份数是3＋2＝5(份)，所以1班分得的橘子是140的，2班分得的橘子是140的。根据分数乘法的意义，用乘法计算1班和2班各分得多少个橘子。

3＋2＝5

1班：140×＝84(个)

2班：140×＝56(个)

(方法四)列方程求解。

解：设每份橘子是x个，那么1班分得3x个，2班分得2x个。

3x＋2x＝140

5x ＝140

x ＝28

所以3x＝28×3＝84

2x＝28×2＝56

答：1班分得84个，2班分得56个。

2．课件PPT出示教材第75页“试一试”内容。

(1)问题1：淘气有巧克力440 g，都用来调制巧克力奶。他要准备多少克奶？

(方法一)转化成整数计算。

巧克力与奶的质量比是2∶9，表明在巧克力奶中，巧克力占2份，奶占9份。根据巧克力有440 g，占巧克力奶的2份，可以先求出1份的质量是多少，再求出9份的质量是多少，即要准备多少克奶。

440÷2＝220(g)

220×9＝1980(g)

答：他要准备1980克奶。

(方法二)列方程求解。

由巧克力与奶的质量比是2∶9可知，如果把奶的质量看作单位“1”，那么巧克力的质量占奶的。已知巧克力的质量是440 g，因此根据分数乘法的意义列方程就可以求出要准备多少克奶。

解：设他要准备x克奶。

x＝440

x ＝1980

答：他要准备1980克奶。

(方法三)用分数除法解决。

把奶的质量看作单位“1”，则巧克力的质量占奶的。已知单位“1”的正好是440 g的巧克力，即单位“1”的量×＝440，所以求单位“1”也可以用除法计算。

440÷＝1980(千克)

答：他要准备1980克奶。

(2)问题2：笑笑有巧克力280g，都用来调制巧克力奶。她能调制出多少克巧克力奶？

(方法一)转化成整数计算。

巧克力与奶的质量比是2∶9，表明巧克力奶中2份巧克力能调制出(2＋9)份巧克力奶。已知巧克力有280 g，可以先求出1份的质量是多少，再求出能调制出多少克巧克力奶。

280÷2＝140(g)

140×(2＋9)＝1540(g)

答：她能调制出1540克巧克力。

(方法二)列方程求解。

巧克力与奶的质量比是2∶9，表明巧克力奶一共有(2＋9)份。巧克力有280 g，占了巧克力奶的，是把巧克力奶的总质量看作单位“1”，单位“1”未知，可以列方程求出巧克力奶的总质量。

解：设她能调制出x克巧克力奶。

x＝280

x ＝1540

答：她能调制出1540克巧克力。

(方法三)用分数除法解决。

把巧克力奶的质量看作单位“1”，则巧克力的质量占巧克力奶的。已知单位“1”的正好是280 g的巧克力，即单位“1”的量×＝280，所以求单位“1”也可以用除法计算。

280÷＝1540(千克)

答：她能调制出1540克巧克力。

三、巩固反馈

完成教材第76页“练一练”第4～5题。

第4题：21÷3×(3＋4)＝49(人)

第5题：3×150＝450(kg)

四、课堂小结

通过本课的学习，你有什么收获？还有哪些疑问？

板书设计

比的应用

总份数：3＋2＝5　按比分配：

1班：140×＝84(个)　已知总数与部分量，求各部分量是多少。

2班：140×＝58(个)　求一个数的几分之几是多少。

教后反思

课外拓展

【例题】甲、乙两人拥有邮票张数的比是5∶4，如果甲给乙5张邮票，则甲、乙两人邮票张数的比变成4∶5。求两人共有邮票多少张？

分析：把不变的量，即邮票的总张数看成单位“1”，根据“甲、乙两人拥有邮票张数的比是5∶4”可得，甲原来是总张数的。根据“如果甲给乙5张邮票，则甲、乙两人邮票张数的比变成4∶5”可得：甲现在是总张数的，则对应的数量就是甲减少的5张，由此用除法求出总张数。

解答：5÷＝45(张)

答：两人共有邮票45张。

解法归纳：解答本题关键是找出不变的量，把单位“1”统一到不变的数量邮票的总张数上，再根据数量关系求解。

课外阅读

用比例解决问题顺口溜

数量关系很重要，前后联系很微妙。

先把关系写上边，解题思路它领先。

计划实际在左面，上下对比一条线。

具体数量要体现，不变数量是关键。

按量填数看得准，最后再把问题填。

根据等式列方程，算术方法也简单。

4 整理复习

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/1f0f955b82c4bb4cf7ec4afe04a1b0717ed5b35b.html