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普宁市华侨中学2018-2019学年度下学期第一次月考

高二数学试题（理科）

注意事项：

1． 本试题共4页，满分150分，考试时间90分钟。

2．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号等相关信息填写在答题卷密封线内，并在“座位号”栏内填写座位号。

3. 所有题目必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知全集word/media/image2_1.png, 集合word/media/image3_1.png,word/media/image4_1.png, 则集合word/media/image5_1.png可以表示为

A．word/media/image6_1.png B．word/media/image7_1.png C．word/media/image8_1.png D．word/media/image9_1.png

2．已知向量word/media/image10_1.png，若word/media/image11_1.png，则实数word/media/image12_1.png的值为

A．word/media/image13_1.png B．word/media/image14_1.png C．word/media/image15_1.png D．word/media/image16_1.png

3．已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则“”是“点在第四象限”的 （ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

5．若等比数列的各项均为正数，且，则（ ）

A. 50 B. 60 C. 100 D. 120

6、从某小学随机抽取100名同学，现已两他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），若从身高在三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应是

A．2 B．3 C．4 D．5

7．类比平面内 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行

②垂直于同一个平面的两条直线互相平行

③垂直于同一条直线的两个平面互相平行

④垂直于同一个平面的两个平面互相平行,则正确的结论是( ).

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

8．若定义运算：，例如，

则下列等式不能成立的是( ).

A． B．

C． D．（）

9．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：新$课$标$第$一$网

在此流程图中,①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( ).

A．①—综合法，②—分析法 B．①—分析法，②—综合法

C．①—综合法，②—反证法 D．①—分析法，②—反证法

10.已知word/media/image35_1.png有下列各式：word/media/image36_1.png，word/media/image37_1.png成立，观察上面各式，按此规律若word/media/image38_1.png，

则正数word/media/image39_1.png（ ）

A．4 B．5 C．word/media/image40_1.png D．word/media/image41_1.png

11在区间上任取三个数、、，若点在空间直角坐标系中的坐标为，则的概率是

A． B． C． D．

12．棱长为2的正四面体在空间直角坐标系中移动，但保持点、分别在x轴、y轴上移动，则棱的中点到坐标原点O的最远距离为 （ ）

A． B． C． D．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)

13．＝__________．

14． 已知，，若，则= ．

15．2018年12月26日，南昌地铁一号线开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁游览八一广场、滕王阁、秋水广场。每人只能去一个地方，八一广场一定要有人去。则不同的游览方案有___种。

16．下面的数组均由三个数组成，它们是：，，，，，……，若数列的前n项和为，则_______．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17..（本小题满分14分）

如图4，在边长为word/media/image77_1.png的菱形word/media/image78_1.png

中，word/media/image80_1.png，点word/media/image81_1.png，word/media/image82_1.png分别是

边word/media/image83_1.png，word/media/image84_1.png的中点，word/media/image85_1.png．

沿word/media/image86_1.png将△word/media/image87_1.png翻折到△word/media/image88_1.png，连

接word/media/image89_1.png，得到如图5的五棱

锥word/media/image90_1.png，且word/media/image91_1.png.

（1）求证：word/media/image92_1.png平面word/media/image93_1.png；

（2）求四棱锥word/media/image94_1.png的体积.

18.．（本小题满分为12分）

已知函数，其图像在点处的切线为．

（1）求、直线及两坐标轴围成的图形绕轴旋转一周所得几何体的体积；

（2）求、直线及轴围成图形的面积．

19、（本小题满分12分）

如图所示，三棱锥D-ABC中，AC、BC、CD两两垂直，，点为AB中点。

（1）若过点的平面与平面ACD平行，分别与棱DB、CB相交于M、N，在图中画出嘎截面多边形，并说明M、N的位置（不要求证明）；

（2）求点C到平面ABD的距离。

20.（本小题满分12分）已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA＝AD＝DC＝BC＝a，E是BC的中点，将△BAE沿AE折起到的位置，使平面平面，F为B1D的中点.

（Ⅰ）证明：B1E∥平面ACF；

（Ⅱ）求平面ADB1与平面ECB1所成锐二面角的余弦值．

21．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，长轴长为．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设为椭圆C的右焦点，T为直线上纵坐标不为的任意一点，过作的垂线交椭圆C于点P，Q.

（ⅰ）若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)，求的值；

（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．

22. (本题满分12分)

设函数，a、b，x=a是的一个极大值点．

（1）若，求b的取值范围；

（2）当a是给定的实常数，设是的3个极值点，问是否存在实数b，可找到，使得的某种排列（其中）依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的word/media/image131_1.png；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题

DDCAD BDAAD BC　

二、填空题

13. 14. 5 15． 65 16．－1991

三、解答题

18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）

（1）证明：∵点word/media/image81_1.png，word/media/image82_1.png分别是边word/media/image83_1.png，word/media/image84_1.png的中点，

∴word/media/image134_1.png∥word/media/image135_1.png. …………………………1分

∵菱形word/media/image78_1.png的对角线互相垂直，

word/media/image136_1.png ∴word/media/image137_1.png. …………………………2分

∴word/media/image138_1.png. …………………………3分

∴word/media/image139_1.png，word/media/image140_1.png. …………………………4分

∵word/media/image141_1.png平面word/media/image93_1.png，word/media/image142_1.png平面word/media/image93_1.png，word/media/image143_1.png，

∴word/media/image144_1.png平面word/media/image93_1.png. …………………………5分

∴word/media/image92_1.png平面word/media/image93_1.png. …………………………6分

（2）解：设word/media/image145_1.png，连接word/media/image146_1.png，

∵word/media/image80_1.png，

∴△word/media/image147_1.png为等边三角形. …………………………7分

∴word/media/image148_1.png，word/media/image149_1.png，word/media/image150_1.png，word/media/image151_1.png. ……………………8分

在R t△word/media/image152_1.png中，word/media/image153_1.png， …………………………9分

在△word/media/image154_1.png中，word/media/image155_1.png， …………………………10分

∴word/media/image156_1.png. …………………………11分

∵word/media/image157_1.png，word/media/image158_1.png，word/media/image159_1.png平面word/media/image160_1.png，word/media/image161_1.png平面word/media/image160_1.png，

∴word/media/image162_1.png平面word/media/image160_1.png. …………………………12分

梯形word/media/image160_1.png的面积为word/media/image163_1.png，………………………13分

∴四棱锥word/media/image94_1.png的体积word/media/image164_1.png.………………14分

19.．解：（1） （6分）

（2）直线的斜率，则直线方程为： （8分）

（12分）

20．（Ⅰ）当word/media/image170_1.png为棱word/media/image171_1.png中点，word/media/image172_1.png为棱word/media/image173_1.png中点时，平面word/media/image174_1.png∥平面word/media/image175_1.png.…………6分

（Ⅱ）因为word/media/image176_1.png，word/media/image177_1.png，

所以直线word/media/image178_1.png平面word/media/image179_1.png， …………8分

word/media/image180_1.png,

word/media/image181_1.png.

又word/media/image183_1.png

所以word/media/image184_1.png，……………………………………9分

设点word/media/image185_1.png是word/media/image186_1.png的中点，连接word/media/image187_1.png，则word/media/image188_1.png,

所以word/media/image189_1.png，

word/media/image190_1.png.

又word/media/image191_1.png，

而word/media/image192_1.png，

设点word/media/image193_1.png到平面word/media/image194_1.png的距离为word/media/image195_1.png，则有word/media/image196_1.png， ……10分

即word/media/image197_1.png，∴word/media/image198_1.png，即点word/media/image193_1.png到平面word/media/image194_1.png的距离为word/media/image199_1.png. ……12分

21（1）连结ED交AC于O，连结OF，因为AECD为菱形，OE=OD所以FO∥B1E， 所以word/media/image201_1.png。………………4分

(2) 取AE的中点M，连结B1M，连结MD，则∠AMD=word/media/image202_1.png，

分别以ME,MD,MB1为x,y,z轴建系，则word/media/image203_1.png,word/media/image204_1.pngword/media/image205_1.png,word/media/image206_1.png,word/media/image207_1.png,所以1，word/media/image208_1.png，word/media/image209_1.png,word/media/image210_1.png,设面ECB1的法向量为word/media/image211_1.png，word/media/image212_1.png，令x=1, word/media/image213_1.png，…8分

同理面ADB1的法向量为word/media/image214_1.png …………10分

所以word/media/image215_1.png，

故面word/media/image216_1.png所成锐二面角的余弦值为word/media/image217_1.png ………… 12分

22．（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，长轴长为．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设为椭圆C的右焦点，T为直线上纵坐标不为的任意一点，过作的垂线交椭圆C于点P，Q.

（ⅰ）若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)，求的值；

（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．

21．解：（1）由已知解得

所以椭圆C的标准方程是. ………………………………（3分）

（2）（ⅰ）由（1）可得，F点的坐标是(2，0).

设直线PQ的方程为x＝my+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得

消去x，得(m2＋3)y2+4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝.于是x1＋x2＝m(y1＋y2)+4＝.

设M为PQ的中点，则M点的坐标为. …………6分

因为，所以直线FT的斜率为，其方程为.

当时，，所以点的坐标为，

此时直线OT的斜率为，其方程为.

将M点的坐标为代入，得.

解得. ………………………………………………8分

（ⅱ）由（ⅰ）知T为直线上任意一点可得，点T点的坐标为.

于是， . …………10分

所以

. ……………12分

当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．

故当最小时，T点的坐标是(3，1)或(3，－1)． ……………12分

22. (本题满分12分)

设函数，a、b，x=a是的一个极大值点．

（1）若，求b的取值范围；

（2）当a是给定的实常数，设是的3个极值点，问是否存在实数b，可找到，使得的某种排列（其中）依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的word/media/image249_1.png；若不存在，请说明理由.

解析：（1）word/media/image250_1.png时，word/media/image251_1.png，

word/media/image252_1.png，……1分

令word/media/image253_1.png，word/media/image254_1.png，

可设word/media/image255_1.png是word/media/image256_1.png的两个根，……………………………………2分

①当word/media/image257_1.png或word/media/image258_1.png时，则word/media/image259_1.png不是极值点，不合题意；

②当word/media/image260_1.png且word/media/image261_1.png时，由于word/media/image262_1.png是word/media/image263_1.png的极大值点，

故word/media/image264_1.pngword/media/image265_1.png，即word/media/image266_1.png，word/media/image267_1.png故b的取值范围是. ……5分

(2)word/media/image269_1.pngword/media/image270_1.png，

令word/media/image271_1.png，

则，于是，假设word/media/image273_1.png是word/media/image274_1.png的两个实根，且word/media/image275_1.png

由（1）可知，必有word/media/image276_1.png，且word/media/image277_1.png是word/media/image278_1.png的三个极值点，

则，. ……6分

假设存在word/media/image281_1.png及word/media/image282_1.png满足题意，不妨只考虑公差大于零的情形，即：

①当排列为或，则word/media/image285_1.png，即时，

于是word/media/image287_1.png或word/media/image288_1.png

即word/media/image289_1.pngword/media/image290_1.png

或word/media/image291_1.pngword/media/image292_1.png……………………8分

②当排列为或，则word/media/image295_1.png或word/media/image296_1.png

(i)若word/media/image297_1.png，于是word/media/image298_1.png，

即word/media/image299_1.png两边平方得word/media/image300_1.png，

word/media/image301_1.png于是word/media/image302_1.pngword/media/image303_1.png，从而word/media/image304_1.png，

此时………10分

(ii)若word/media/image296_1.png，于是word/media/image306_1.png，

即word/media/image307_1.png两边平方得word/media/image300_1.png，

word/media/image308_1.png于是word/media/image302_1.pngword/media/image309_1.png，从而word/media/image310_1.png

此时word/media/image311_1.png

综上所述，存在b满足题意，当b=－a－3时，word/media/image312_1.png；当word/media/image313_1.png时，word/media/image314_1.png；word/media/image315_1.png时，word/media/image316_1.png. ………12分

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/1ef1bf05c950ad02de80d4d8d15abe23482f03ce.html