[讲义]二次函数与一次函数、一元二次方程、不等式（组）

二次函数与一次函数、反比例函数、

一元二次方程、不等式组

课程目标：

 灵活运用二次函数的性质解一元二次方程；

 熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。

课程要求：

 完成讲义中的练习；

 完成课后配套练习。

一、二次函数与一元二次方程、不等式（组）

例1．函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（ ）

Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个

例2.已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最大值为.

例3.设函数y=x2﹣（k+1）x﹣4（k+5）的图象如图所示，它与x轴交于A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1：4，则k=　_________　．

例4.如图10-2，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是.

例5.已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点．

（1）求的值；

（2）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；

（3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值．

【当堂练】

1.已知二次函数word/media/image16.gif的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( )

A．a＞0 B．c＜0

C．b2－4ac＜0D．a＋b＋c＞0

word/media/image17.gif2.如图所示，函数的图像与轴只有一个交点，则交点的横坐标 ．

3.二次函数的图像与轴的交点坐标为　 ．

4.y=ax2+bx+c中，a<0，抛物线与x轴有两个交点A（2，0）B（-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________

5. 抛物线与轴有 个交点，因为其判别式 0，相应二次方程的根的情况为 ．

6.关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与轴必然相交于 点，此时 ．

7.平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（ ）

A．向上平移4个单位 B．向下平移4个单位

C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位

8.若关于x的一元二次方程word/media/image32.gif的两根在1与2之间（不含1和2），则a的取值范围是．

9.右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的

图像，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．

10.已知抛物线的顶点在抛物线上，且抛物线在轴上截得的线段长是，求和的值．

11.已知函数．

（1）求证：不论为何实数，此二次函数的图像与轴都有两个不同交点；

（2）若函数有最小值，求函数表达式．

12.关于的一元二次方程.

（1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根；

（2）点是抛物线上的点，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若点与点关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.

二、二次函数与一次函数、反比例函数

例1．当路程word/media/image53.gif一定时，速度word/media/image54.gif与时间word/media/image55.gif之间的函数关系是（）

A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数

例2.在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（　　）

例2.函数word/media/image57.gif与word/media/image58.gif（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）

例3.如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．

（1）试确定反比例函数的关系式；

（2）求△AOC的面积．

例4.如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－3word/media/image62.gif，1）、C（－3word/media/image62.gif，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－word/media/image62.gif，1）、F（－word/media/image63.gif，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．

（1）求折痕所在直线EF的解析式；

（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；

（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．

例5．如图，过y轴上点A的一次函数与反比例函数相交于B、D两点，B（﹣2，3），BC⊥x轴于C，四边形OABC面积为4．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）当x在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．（直接写出结果）

【当堂练】

1.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（　　）

　A．B． C． D．

.

2.函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：

①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．

其中正确的个数为（　　）

3.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　）[来源:z&zstep*~@.^com]

4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y=与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（　　）

5．根据下图所示程序计算函数值，若输入的x的值为word/media/image83.gif，则输出的函数值为.

6.定义为一次函数的特征数．

（1）若特征数是的一次函数为正比例函数，求的值；

（2）设点分别为抛物线与word/media/image90.gif轴、word/media/image91.gif轴的交点，其中，且的面积为4，为坐标原点，求图象过word/media/image95.gif、word/media/image96.gif两点的一次函数的特征数．

7.已知：二次函数的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b），其中且、为实数．

（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；

（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；

（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1－x2 |的范围．

8.如图，直线word/media/image102.gif与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线word/media/image103.gif经过点B和点C，点A是抛物线与x轴的另一个交点.

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）若点Q在抛物线的对称轴上，能使△QAC的周长最小，请求出Q点的坐标；

（3）在直线BC上是否存在一点P，且word/media/image104.gif，若存在，求P点的坐标，若不存在，请说明理由.

9.如图，在平面直角坐标系中，直线word/media/image105.gif与word/media/image90.gif轴交于点A，与y轴交于点C. 抛物线word/media/image106.gif经过A、C两点，且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).

（1）求抛物线的解析式及点B坐标；

（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交word/media/image90.gif轴于点F，交抛物线于点E.求ME长的最大值；

（3）试探究当ME取最大值时，在抛物线x轴下方是否存在点P，使以M、F、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/1ea2035202020740be1e9bd6.html