本科毕业论文（设计）

泊松分布在排队论中的应用

院 系 数学系

专 业 统计学

泊松分布在排队论中的应用

摘 要

日常生活中存在着大量有形和无形的排队和拥挤现象，小到如旅客购票排队，市内电话占线银行服务系统，高速公路收费系统，大到国防武器作战效能．排队论的产生与发展来自实际的需要，实际的需要也必将影响今后的发展.已有的理论知识对日常生活中涉及排队论知识的实际问题建立了经典的模型，在这个基础上，对采集的数据进行相关的的分析，将分析的结果和分析得出的数据回带到模型中，进行数学推演，得出数量指标的统计规律，然后根据这些指标为涉及排队论服务系统的改进提供有价值的参考. 本文先从排队论的相关基本知识入手，简单介绍排队论的内容，排队论的模型和模型需要用到的指标，从而引出对泊松分布的介绍，最后再运用泊松分布的相关知识对实际周边生活的排队服务系统进行拟合计算其指标．从而得出模型最后的结论．

关键词：泊松分布 排队论 排队模型 模型结论

ABSTRACT

There are a lot of tangible and intangible queuing and congestion phenomena in our daily life, such as passenger ticket queue, local telephone online, banking service system, the highway toll system. From a large perspective, it involves with the Defense Weapon Combat effectiveness. The emergence and development of queuing theory come from the actual demand that will also affect the future development. The existing theoretical knowledge is helpful to establish typical models involved with queuing theory in daily life. Based on that, we can make analysis of the collected data, the result of the analysis can be taken into the model. Through mathematical deduction, the statistical regularity of the quantity index can be produced. With those indexes, some valuable reference for the improvement related to the Queuing service system. This paper starts with the basic knowledge related to the queuing theory, then makes a brief introduction of queuing theory, queuing model and the required index, thus leads to a introduction of the Poisson distribution. Finally, the related knowledge of Poisson queue service system is applied to engage a fitting calculation of the indicators on the practical life. And the model conclusion can be obtained.

Keywords: Poisson distribution queuing theory queuing model the model conclusion.

目 录

摘 要 I

ABSTRACT II

1 引言 4

2 排队论的基本理论 4

2.1 排队论简介 4

2.2 判断服务系统优劣的指标 5

3 排队论模型中的相关分布 6

3.1 时间间隔的分布 6

3.2 服务时间的分布 7

4 具体模型 7

4.1 模型一： ////（顾客源无限，系统容量不限） 7

4.2 模型二： //// (系统容量有限) 9

5 具体实例分析 10

6 小结 14

1 引言

泊松分布（poisson distribution)是一种统计与概率学中最常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（siméon-Denis poisson）于1838年提出，近些年来，随着自然科学的不断发展，泊松分布的重要性日益彰显．在泊松随机变量概念的基础上，加以推广便得到了泊松过程的概念．泊松过程属于早期的和简单的点过程理论研究．但泊松分布的相关概念在自然科学中却有着不可替代的位置．泊松过程可以拟合现实生活中很大一部分的实际问题，比如保险理赔问题和排队论问题．排队论的基本思想是丹麦电话工程师A.K.埃尔郎在解决自动电话问题时开始形成发展的一个随机服务系统理论．通过对服务对象及服务时间的统计研究，得出数量指标（等待时间，排队长度等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优．本文将要介绍的现实中的排队服务问题，此外，泊松分布在诸如管理科学、交通运输、生物学、物理学、医学等很多涉及排队论问题的领域有着大量成功运用的实例．

2 排队论的基本理论

由于排队可以归属为一种随机现象，因此在研究有关排队现象的时候，主要采取概率论的相关知识作为其主要的工具．泊松分布作为概率论中最常见的分布在有关排队论问题中的应用非常广泛．我们把排队论所要研究的对象（要求服务的人或事物）称为顾客，把为顾客服务的人或事物称作服务机构，将顾客排队等待的整个过程称作服务系统或排队系统．由于顾客的到达时间和接受服务的时间到服务结束的时间一般说来都是随机的．所以我们又称服务系统为随机服务系统．

1

2

2.1 排队论简介

各种随机服务系统一般由三个部分组成，排队的一般过程就是顾客由顾客源出发，到达服务机构（服务员或服务台）等待服务，接受服务，完成服务后离开的过程．一般可以下三个构成部分：

（1）输入系统；

各类型的顾客以怎样的规律到达服务系统，主要是顾客到达时间的间隔分布；

（2）排队规则；

顾客到达服务系统后以怎样的次序方式接受服务，即如果全部的服务台都有顾客正在接受服务，则离开（损失制），或者是排队等待服务（等待制）．还有系统的有限性和无限性即顾客源的有限或无限也是有差别的．

（3）服务机构：

相同的时刻有多少可以提供服务的设备可以为顾客提供服务，单个顾客的服务时间是多少．

2.2 判断服务系统优劣的指标

①队长：服务系统总的顾客数，记其期望值为；

排队长：服务系统中正在等待接收服务的顾客，记其期望值为；通常情况下或越大，系统的服务质量越差，反之，则越好；

逗留时间：某一顾客在服务系统中总的停留时间，记其期望值为；

等待时间：指某一顾客在服务系统中排队过程所费总时间；

忙期：指从某一顾客到达空闲服务机构至该机构再次空闲的时间间隔长度，是服务质量和强度的指标．

用表示从初始时刻（时刻）到时刻（时间区间用表示）到达服务台的顾客数，用表示在时间区间（>）内共有个顾客到达服务台的概率，即：

=

下面本文将通过泊松分布及泊松过程的有关定理探求的概率分布．

首先引入泊松分布及泊松过程的有关定义和概念：

定义2.1对于随机变量所有可能取值为满足以下两个条件时；

…

；

则称这个分布服从参数为泊松分布，记为．

泊松过程作为一种累计的随机事件发生次数的最基本的独立增量过程，排队问题中的计数过程需满足下面三个条件：

. 独立增量性：在没有重叠区间的时间间隔内到达服务系统的顾客数相互独立；

. 平稳性：对充分小的，在时间区间内有一个顾客到达的概率与无关，而约与成正比．即：

（为大于零的常数）

.普通性：对充分小的，在时间区间内有个或个以上顾客到达的概率极小，以至于可以忽略不计，即：

由上述条件（）取即从时刻算起，并记为；再由条件（）（）可得在内无顾客到达的概率为：

因为 （即将拆分）

由全概率公式有：

………

将式两边同时除以可得：

………（是初值条件）

当时可将式改写为：

………

其中的现实意义是时刻无人到达的概率为1．

对于初值问题，在分离出的基础上，通过递推公式于是可得到：

， …

它的数学期望为， 方差．

至此我们可以得出这样的结论：上面这种顾客到达的计数过程是服从参数为的泊松分布．

3 排队论模型中的相关分布

3.1 时间间隔的分布

当寻求某种服务的顾客流入服务系统的过程是一个参数为的泊松过程时，那么，两个顾客相继到达的时间间隔服从参数为的负指数分布，并且两者是等价的．下面将就此结论进行简单的证明．

设为的分布函数，那么：

由分布函数求密度函数即对关于求导，可得：

由指数分布的性质可知其期望,其现实意义为，若来客的平均到达率为，则他们的平均到达时间间隔为，二者的意义是互通的．

3.2 服务时间的分布

对于服务时间的分布一般说来也服从负指数分布,推理过程与上面时间间隔的分布类似，这里不再重述．下面只给出的分布函数和它的密度函数．

，

其中为平均服务率，其现实意义是单位时间内能被服务完的来客数目．下面就泊松分布在几种常见的排队论模型中的应用进行实例介绍．

4 具体模型

4.1 模型一： ////（顾客源无限，系统容量不限）

该模型的具体条件有：输入过程的顾客源是无限的，彼此间的到来独立不相关，到达的顾客流服从泊松分布，并且到达的过程是平稳的．排队服从单队形规则并且先到者优先接受服务，对队伍长度没有限制，只有一个服务台，来客接受服务的时间相互独立且都服从同一个负指数分布．下面就泊松分布的知识对该模型的相关指标进行计算．

在顾客到达服从泊松分布（参数为）且服务时间服从指数分布（参数为）的前提，可知在的时间区间内，有一个来客到达的概率为，那么，它的对立事件即没有一个来客到达的概率为，同理，1个来客被服务完离开的概率为，其对立事件来客没有被服务完的概率为，有两个或两个以上来客到达或离开的概率为．

再次运用全概率公式：

上式整理后得：；

移项并在等式两边同时除以后得：

；

故有： ………

上式是对于的情况，当时，式可以改写为：

………

联立并求其稳态条件下的解（此时与无关，可以改写为）；

得到关于的差分方程：

………

由式可得；

由概率的知识规定：．

于是, ；

………

式是系统状态为的概率，由此计算出的该模型的几个主要指标有：

.顾客的平均数(排队长度的期望)： ；

.正在队列中等待的顾客数平均（队列长的期望）：；

.单个来客在服务系统中的停留时间的平均值：,即服从参数为的指数分布：

.排队等待所费时间的期望：；

针对运用泊松分布计算出的上排队论模型的各指标参数，下面将其运用到具体的生活实例中．

4.2 模型二： //// (系统容量有限)

该模型与上一个比较，只是系统容量的不同，故上一模型的差分方程在当时，在此模型中仍适用，在这里只要考虑的情况，仍然运用全概率公式得：

求导可得：

得该模型的稳态条件下的差分方程为：

………

仍旧有，解方程组得：

………

由可得模型二的若干指标：

.顾客的平均数(排队长度的期望)：

.正在队列中等待的顾客数平均（队列长的期望）：

.单个来客在服务系统中的停留时间的平均值：

此时，当系统人满时，则到达率为，故要求出有效的到达率．正在被服务的顾客的期望为：

但是当系统容量无限时有：

，

………

当服务系统容量为时，式仍旧成立．由此得：

.排队等待所费时间的期望：

针对运用泊松分布计算出的排队论模型二的各指标参数，下面将模型二的计算指标再次运用到具体的生活实例中，探究模型的实际应用功能．

5 具体实例分析

例1 到某一公共电话亭打电话的人可以认为是以泊松流到达，没人到达的时间的间隔平均为分钟，每次打电话从开始到结束的时间为分钟，求：

该公共电话亭的平均排队的人数；

每人等待时间的期望值是多少；

某人到达后必须排队等待的概率是多大？

若电信公司在确定人到达后至少等待的时间为分钟的情况下，就会在相邻的地方安装另一部电话机，试问，平均到达率上升到多少时电信公司会安装另一部电话？

例题分析：由泊松分布的知识可知：

平均到达率人/分钟 平均服务率人/分钟

人；

分钟；

；

现在假设平均的到达率由上升到时，此时某人到达后至少需要等待分钟，这时电信局需要在旁边安装另一部电话机．则，

解得．

其中 的解对实际问题的指导意义，即每两个人到达的时间间隔为时，安装另一部电话机可增加社会的经济效益．

例2 针对合肥师范学院校园理发店的案例分析：

到达位于浴室旁边的校园理发店寻求理发服务的学生群可以认为是以泊松流到达，该

理发店内有六张座椅接待前来排队等待理发的学生，学生的大众心理规则如下，当到达理发店门口发现里面的张座椅全都坐满时，随即离去，到校外理发店寻求服务，经观察，本校学生的平均到达率为人/小时，整个理发过称平均为分钟/人．根据以上的观测信息计算以下几个问题：

某一学生已到达就能接受理发服务的概率；

需要排队等待接受理发的学生人数的期望值；

实际有效的的到达率为多少？

某一学生在该理发店逗留的时间的期望；

求在可能到来的学生中有多少人不等待就选择离开？

分析：由实际情况知该校园理发店的服务系统的最大顾客容量为,因为学生的到来是一个泊松过程，由泊松分布的相关知识可得其参数为；

平均到达率：人/小时； 平均服务率：人/小时．

该情况等价于校园理发店内没有顾客，故其概率为：

；

排队等待的期望值为：

,

．

有效的到达率为：

人/小时．

某个学生在该理发店内停留时间的期望为：

小时；

这个问题等同于校园理发店里有个学生的概率，

％；

以上的第五个问题的现实意义就是本校理发店的损失率．

例3 针对某小区7月-12月访客到达的数据（如表1所示）运用SPSS统计软件单样本K-S检验方法检验，将得到的检验结果（见表2,3）结合前面分析的泊松分布的有关知识进行运算，最终得出指导实际的参数指标．

表1、某小区7月-12月的每日客流量

表2、单样本检验

由统计结果得故可认为该来客流量过程服从泊松分布，由描述性统计结果（表3）可知来客流量的均值为，即，结合前面分析的泊松分布在排队论模型中参数的知识计算得系统中来客的数学期望,方差,服务时间期望,方差

表3、描述性统计

根据以上的运算结果可知，该小区在管理上提供的人次数为，服务时间为，从而该小区每天接待的平均来客量为人，上下波动人．对每一来客平均服务时间为天，上下波动天．因此，该小区的服务人员数量应确定为人之间，可根据季节变动调整服务人数，达到最优的人员配置，对实际的物业管理具有一定的指导意义．

6 小结

评价和优化随机服务系统需要一定的数量指标来完反映．这些数量指标包括：队长和排队长，逗留时间和等待时间，忙期和闲期，顾客损失率，服务强度．排队论就是通过研究主要数量指标的概率规律性，然后进行统计推测研究，最后使实际问题最优化．本篇论文在对已有的泊松分布和排队论的相关知识的简单介绍的基础上，引出两个最常见的排队论模型，运用泊松定理分析模型中顾客在服务系统中的各项指标参数．最后将本文所介绍的理论知识结合数学软件的数据分析运用到实例中，解决身边真实存在的涉及排队论的问题，具有很强的现实经济意义．
参考文献

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二〇一〇年九月二十日

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（保密论文在解密后遵守此规定）

作者签名:

二〇一〇年九月二十日

致 谢

时间飞逝，大学的学习生活很快就要过去，在这四年的学习生活中，收获了很多，而这些成绩的取得是和一直关心帮助我的人分不开的。

首先非常感谢学校开设这个课题，为本人日后从事计算机方面的工作提供了经验，奠定了基础。本次毕业设计大概持续了半年，现在终于到结尾了。本次毕业设计是对我大学四年学习下来最好的检验。经过这次毕业设计，我的能力有了很大的提高，比如操作能力、分析问题的能力、合作精神、严谨的工作作风等方方面面都有很大的进步。这期间凝聚了很多人的心血，在此我表示由衷的感谢。没有他们的帮助，我将无法顺利完成这次设计。

首先，我要特别感谢我的知道郭谦功老师对我的悉心指导，在我的论文书写及设计过程中给了我大量的帮助和指导，为我理清了设计思路和操作方法，并对我所做的课题提出了有效的改进方案。郭谦功老师渊博的知识、严谨的作风和诲人不倦的态度给我留下了深刻的印象。从他身上，我学到了许多能受益终生的东西。再次对周巍老师表示衷心的感谢。

其次，我要感谢大学四年中所有的任课老师和辅导员在学习期间对我的严格要求，感谢他们对我学习上和生活上的帮助，使我了解了许多专业知识和为人的道理，能够在今后的生活道路上有继续奋斗的力量。

另外，我还要感谢大学四年和我一起走过的同学朋友对我的关心与支持，与他们一起学习、生活，让我在大学期间生活的很充实，给我留下了很多难忘的回忆。

最后，我要感谢我的父母对我的关系和理解，如果没有他们在我的学习生涯中的无私奉献和默默支持，我将无法顺利完成今天的学业。

四年的大学生活就快走入尾声，我们的校园生活就要划上句号，心中是无尽的难舍与眷恋。从这里走出，对我的人生来说，将是踏上一个新的征程，要把所学的知识应用到实际工作中去。

回首四年，取得了些许成绩，生活中有快乐也有艰辛。感谢老师四年来对我孜孜不倦的教诲，对我成长的关心和爱护。

学友情深，情同兄妹。四年的风风雨雨，我们一同走过，充满着关爱，给我留下了值得珍藏的最美好的记忆。

在我的十几年求学历程里，离不开父母的鼓励和支持，是他们辛勤的劳作，无私的付出，为我创造良好的学习条件，我才能顺利完成完成学业，感激他们一直以来对我的抚养与培育。

最后，我要特别感谢我的导师***老师、和研究生助教***老师。是他们在我毕业的最后关头给了我们巨大的帮助与鼓励，给了我很多解决问题的思路，在此表示衷心的感激。老师们认真负责的工作态度，严谨的治学精神和深厚的理论水平都使我收益匪浅。他无论在理论上还是在实践中，都给与我很大的帮助，使我得到不少的提高这对于我以后的工作和学习都有一种巨大的帮助，感谢他耐心的辅导。在论文的撰写过程中老师们给予我很大的帮助，帮助解决了不少的难点，使得论文能够及时完成，这里一并表示真诚的感谢。

致 谢

这次论文的完成，不止是我自己的努力，同时也有老师的指导，同学的帮助，以及那些无私奉献的前辈，正所谓你知道的越多的时候你才发现你知道的越少，通过这次论文，我想我成长了很多，不只是磨练了我的知识厚度，也使我更加确定了我今后的目标：为今后的计算机事业奋斗。在此我要感谢我的指导老师——***老师，感谢您的指导，才让我有了今天这篇论文，您不仅是我的论文导师，也是我人生的导师，谢谢您！我还要感谢我的同学，四年的相处，虽然我未必记得住每分每秒，但是我记得每一个有你们的精彩瞬间，我相信通过大学的历练，我们都已经长大，变成一个有担当，有能力的新时代青年，感谢你们的陪伴，感谢有你们，这篇论文也有你们的功劳，我想毕业不是我们的相处的结束，它是我们更好相处的开头，祝福你们！我也要感谢父母，这是他们给我的，所有的一切；感谢母校，尽管您不以我为荣，但我一直会以我是一名农大人为荣。

通过这次毕业设计，我学习了很多新知识，也对很多以前的东西有了更深的记忆与理解。漫漫求学路，过程很快乐。我要感谢信息与管理科学学院的老师，我从他们那里学到了许多珍贵的知识和做人处事的道理，以及科学严谨的学术态度，令我受益良多。同时还要感谢学院给了我一个可以认真学习，天天向上的学习环境和机会。

即将结束*大学习生活，我感谢****大学提供了一次在农大接受教育的机会，感谢院校老师的无私教导。感谢各位老师审阅我的论文。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/1de41439e97101f69e3143323968011ca300f7b1.html