山东省临沂市费县中考数学模拟测试（三）（含解析）

山东省临沂市费县2016年中考模拟测试三

一、选择题

1．数﹣1，，0，2中最大的数是（　　）

A．﹣1 B． C．0 D．2

2．下列计算正确的是（　　）

A． B．（x+y）2=x2+y2 C．（﹣3x）3=﹣9x3 D．﹣（x﹣6）=6﹣x

3．下列平面图形中，不是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

4．下图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

5．一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（　　）

A．6cm B．12cm C．2cm D． cm

6．在反比例函数y=的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

7．如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（　　）

A． B． C． D．

8．如图，△ABC是一张纸片，∠C=90°，AC=6，BC=8，现将其折叠．使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（　　）

A． B．3 C． D．4

9．如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长（　　）

A．2 B．3 C．1 D．8

10．甲、乙两车在同一直线公路上，匀速行驶，开始时甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回．设乙车行驶的时间为x秒，两车间的距离为y千米，图中折线表示y关于x的函数图象，下列四种说法正确的有（　　）个

（1）开始时，两车的距离为500米．

（2）转货用了100秒．

（3）甲的速度为25米/秒，乙的速度为30米/秒．

（4）当乙车返回到出发地时，甲车离乙车900米．

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）

11．2012年广东省人口数超过104000000，将104000000这个数用科学记数法表示为　　　　　　．

12．使函数y=有意义的自变量x的取值范围是　　　　　　．

13．分解因式：3a2b﹣6ab2+3b3=　　　　　　．

14．不等式组的解集为　　　　　　．

15．暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一个社区参加实践活动的概率为　　　　　　．

16．如图（1）是四边形纸片ABCD，其中∠B=120°，∠D=50度．若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图（2）所示，则∠C=　　　　　　度．

17．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，AB′与BC相交于点D，当B′C′∥AB时，CD=　　　　　　．

18．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，点E在AB上，点F在CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是正方形，则△AGE的面积为　　　　　　．

19．已知ABCD在矩形中，BE平分∠ABC交矩形的一边于点E，若BD=10，∠EBD=15°，则AB=　　　　　　．

20．如图，正方形ABCD的顶点D在正方形ECGF的边EC上，顶点B在GC的延长线上，连接EG、BE，∠EGC的平分线GH过点D交BE于H，连接HF交EG于M，则的值为　　　　　　．

三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）

21．先化简，再求值：÷（x+2﹣），其中x=2cos45°﹣tan60°．

22．如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．

（1）在方格纸中画出以A为直角顶点的直角三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，且△ABE的面积为5；

（2）在方格纸中画出以CD为一边的△CDF，点F在小正方形的顶点上，且△CDF的面积为3，CF与（1）中所画线段AE平行，连接BF，请直接写出线段BF的长．

23．某校为了解九年级学生体育测试情况，以九年级（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：

（说明：A级：90分～100分；B级：75分～89分；C级：60分～74分；D级：60分以下）

（1）请把条形统计图补充完整；

（2）样本中D级的学生人数占全班学生人数的百分比是　　　　　　；

（3）扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数是　　　　　　；

（4）若该校九年级有600名学生，请样本估计体育测试中A级学生人数约为　　　　　　 人．

24．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形．

（2）若AF=EF，∠BAF=108°，∠CDF=36°，直接写出图中所有的等腰三角形．

25．（10分）（2016•松北区模拟）松雷中学图书馆近日购进甲、乙两种图书，每本甲图书的进价比每本乙图书的进价高20元，花780元购进甲图书的数量与花540元购进乙图书的数量相同．

（1）求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？

（2）松雷中学计划购进甲、乙两种图书共70本，总购书费用不超过4000元，则最多购进甲种图书多少本？

26．（10分）（2016•松北区模拟）已知：CD为△ABC的外角平分线，交△ABC的外接圆O于D．

（1）如图1，连接OA，OD，求证：∠AOD=2∠BCD；

（2）如图2，若CB平分∠ACD，求证：AB=BD；

（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为，tan∠ABC=，求CD的长．

27．（10分）（2016•松北区模拟）已知：y=ax2﹣4ax交x轴于O、A两点，对称轴交x轴于点E，顶点为点D，若△AOD的面积为4．点P是x轴上方抛物线上一动点，作PH⊥x轴，垂足为H，连接PA，作直线HQ⊥PA交y轴于点Q，

（1）求a的值．

（2）在点P运动过程中，连接QD，若∠PAO=∠QDE，求HE的长度．

（3）点Q关于AP的对称点为点K，若2HA=QH，求点P的坐标及KE的长．

2016年中考模拟测试三

参考答案与试题解析

一、选择题

1．数﹣1，，0，2中最大的数是（　　）

A．﹣1 B． C．0 D．2

【考点】实数大小比较．

【分析】先将四个数分类，然后按照正数＞0＞负数的规则比较大小．

【解答】解：将﹣1，，0，2四个数分类可知2、为正数，﹣1为负数，且＞2，故最大的数为，

故选B．

【点评】此题主要考查了利用数轴比较实数的大小，解答此题的关键是熟知：数轴上的任意两个数，边的数总比左边的数大．

2．下列计算正确的是（　　）

A． B．（x+y）2=x2+y2 C．（﹣3x）3=﹣9x3 D．﹣（x﹣6）=6﹣x

【考点】完全平方公式；实数的运算；去括号与添括号；幂的乘方与积的乘方．

【分析】根据完全平方公式以及积的乘方公式即可判断．

【解答】解：A、不是同类二次根式不能合并，选项错误；

B、（x+y）2=x2+2xy+y2，选项错误；

C、（﹣3x）3=﹣27x3，选项错误；

D、正确．

故选D．

【点评】本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．

3．下列平面图形中，不是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的定义作答．

如果把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

【解答】解：根据轴对称图形的概念，可知只有A沿任意一条直线折叠直线两旁的部分都不能重合．

故选：A．

【点评】轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．

4．下图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】找到从上面看所得到的图形即可．

【解答】解：从上往下看时，下面一行两个正方体，上面一行三个正方体，故选D．

【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．

5．一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（　　）

A．6cm B．12cm C．2cm D． cm

【考点】弧长的计算．

【分析】由已知的扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，代入弧长公式即可求出半径R．

【解答】解：由扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，

即n=60°，l=2π，

根据弧长公式l=，得2π=，

即R=6cm．

故选A．

【点评】此题考查了弧长的计算，解题的关键是熟练掌握弧长公式，理解弧长公式中各个量所代表的意义．

6．在反比例函数y=的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

【考点】反比例函数的性质．

【分析】对于函数来说，当k＜0时，每一条曲线上，y随x的增大而增大；当k＞0时，每一条曲线上，y随x的增大而减小．

【解答】解：反比例函数的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大，

∴1﹣k＜0，

∴k＞1．

故选：D．

【点评】本题考查反比例函数的增减性的判定．在解题时，要注意整体思想的运用．易错易混点：学生对解析式中k的意义不理解，直接认为k＜0，错选A．

7．如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．

【分析】先根据矩形的性质得AD∥BC，CD∥AB，再根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得到=， =，则可对B、C进行判断；由DF∥AB得=，则可对A进行判断；由于=，利用BC=AD，则可对D进行判断．

【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥BC，CD∥AB

∵DE∥BC，

∴=， =，所以B、选项结论正确，C选项错误；

∵DF∥AB，

∴=，所以A选项的结论正确；

=，

而BC=AD，

∴=，所以D选项的结论正确．

故选C．

【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，熟记定理是解题的关键．

8．如图，△ABC是一张纸片，∠C=90°，AC=6，BC=8，现将其折叠．使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（　　）

A． B．3 C． D．4

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用相似三角形的判定与性质得出DE的长．

【解答】解：如图所示：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴AB=10，

∵现将其折叠．使点B与点A重合，折痕为DE，

∴AE=BE=5，

∵∠DEB=∠C=90°，∠B=∠B，

∴△BDE∽△BAC，

∴=，

即=，

解得：DE=．

故选：C．

【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出△BDE∽△BAC是解题关键．

9．如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长（　　）

A．2 B．3 C．1 D．8

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．

【分析】证△ABD≌△CAE，推出∠ABD=∠CAE，求出∠BPF=∠APD=60°，得出∠PBF=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC．

∴∠BAC=∠C．

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（SAS）．

∴∠ABD=∠CAE．

∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°．

∴∠BPF=∠APD=60°．

∵∠BFP=90°，∠BPF=60°，

∴∠PBF=30°．

∴PF=．

故选；A．

【点评】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出∠PBF=30°．

10．甲、乙两车在同一直线公路上，匀速行驶，开始时甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回．设乙车行驶的时间为x秒，两车间的距离为y千米，图中折线表示y关于x的函数图象，下列四种说法正确的有（　　）个

（1）开始时，两车的距离为500米．

（2）转货用了100秒．

（3）甲的速度为25米/秒，乙的速度为30米/秒．

（4）当乙车返回到出发地时，甲车离乙车900米．

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】函数的图象．

【分析】（1）根据函数图象，可得开始时，两车的距离为500米；

（2）根据函数图象可得，线段BC的实际意义是表示乙车的货物转给甲车所用的时间为100秒；

（3）设甲车的速度是a米/秒，乙车的速度为b米/秒，根据函数图象反应的数量关系建立方程组求出其解即可；

（4）观察图形可得乙车返回到出发地时的时间，进一步根据路程和=速度和×时间得到甲车离乙车的距离．

【解答】解：（1）开始时，两车的距离为500米是正确的；

（2）200﹣100=100（秒）

故转货用了100秒是正确的；

（3）设甲车的速度是a米/秒，乙车的速度为b米/秒，由题意，得

，

解得：．

答：甲车的速度是20米/秒，乙车的速度为25米/秒．故原来的说法是错误的；

（4）（20+25）×100

=45×100

=4500（米）．

答：甲车离乙车4500米．故原来的说法是错误的．

故四种说法正确的有2个．

故选：B．

【点评】本题考查了函数的图象，解答时认真分析函数图象的含义是关键，根据条件建立方程组是难点．

二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）

11．2012年广东省人口数超过104000000，将104000000这个数用科学记数法表示为　1.04×108　．

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将104000000这个数用科学记数法表示为1.04×108，

故答案为：1.04×108．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12．使函数y=有意义的自变量x的取值范围是　x≠3　．

【考点】函数自变量的取值范围．

【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．

【解答】解：由题意得，3﹣x≠0，

解得x≠3．

故答案为：x≠3．

【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

13．分解因式：3a2b﹣6ab2+3b3=　3b（a﹣b）2　．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

【解答】解：原式=3b（a2﹣2ab+b2）=3b（a﹣b）2，

故答案为：3b（a﹣b）2

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

14．不等式组的解集为　﹣1≤x＜2．　．

【考点】解一元一次不等式组．

【分析】分别解得不等式①②，然后再求得他们公共部分即使不等式组的解集．

【解答】解：∵不等式组，

∴解不等式①得：x＜2，

解不等式②得：x≥﹣1，

∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2．

故答案为：﹣1≤x＜2．

【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组的知识，要掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

15．暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一个社区参加实践活动的概率为　　．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出小明和小亮选到同一个社区参加实践活动的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中小明和小亮选到同一个社区参加实践活动的结果数为3，

所以小明和小亮选到同一个社区参加实践活动的概率==．

故答案为．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．

16．如图（1）是四边形纸片ABCD，其中∠B=120°，∠D=50度．若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图（2）所示，则∠C=　95　度．

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】根据折叠前后图形全等和平行线，先求出∠CPR和∠CRP，再根据三角形内角和定理即可求出∠C．

【解答】解：因为折叠前后两个图形全等，故∠CPR=∠B=×120°=60°，

∠CRP=∠D=×50°=25°；

∴∠C=180°﹣25°﹣60°=95°；∠C=95度；

故应填95．

【点评】折叠前后图形全等是解决折叠问题的关键．

17．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，AB′与BC相交于点D，当B′C′∥AB时，CD=　　．

【考点】旋转的性质．

【分析】设CD=x，由B′C′∥AB，可推得∠BAD=∠B′，由旋转的性质得：∠B=∠B′，于是得到∠BAD=∠B，AC=AC′=3，AD=BD=4﹣x，在直角△ADC中，由勾股定理可求得结论．

【解答】解：设CD=x，

∵B′C′∥AB，

∴∠BAD=∠B′，

由旋转的性质得：∠B=∠B′，AC=AC′=3，

∴∠BAD=∠B，

∴AD=BD=4﹣x，

∴（4﹣x）2=x2+32，

解得：x=．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，勾股定理，能够证得∠BAD=∠B，AD=BD，构造直角三角形是解题的关键．

18．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，点E在AB上，点F在CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是正方形，则△AGE的面积为　　．

【考点】正方形的性质；三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．

【分析】先根据正方形的性质和矩形的性质，判定△CFO≌△AOE，并求得AO的长，再判定△AOE∽△ABC，求得OE和AG的长，最后计算△AGE的面积．

【解答】解：连接EF交AC于O，

∵四边形EGFH是正方形，

∴EF⊥AC，OE=OF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，

∴∠ACD=∠CAB，

在△CFO与△AOE中，

，

∴△CFO≌△AOE（AAS），

∴AO=CO，

∵AC==4，

∴AO=AC=2，

∵∠CAB=∠EAO，∠AOE=∠B=90°，

∴△AOE∽△ABC，

∴，即

∴OE==OG

∴AG=AO﹣GO=2﹣=

∵EF⊥AC

∴△AGE的面积=×AG×OE=××=

故答案为：

【点评】本题主要考查了正方形的性质，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质．本题若不运用相似三角形，则可以过点F作AB的垂线，构造直角三角形，并运用勾股定理进行计算求解．

19．已知ABCD在矩形中，BE平分∠ABC交矩形的一边于点E，若BD=10，∠EBD=15°，则AB=　5　．

【考点】矩形的性质．

【分析】画出图形，点E在AB边上，先证明∠ABD=60°，根据AB=BD即可解决问题．

【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE=45°，

∵∠EBD=45°，

∴∠ABD=60°，

∴∠ADB=30°，

∵BD=10，

∴AB=BD=5，

故答案为5

【点评】本题考查矩形的性质、角平分线的性质、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半等知识，解题的关键是理解题意正确画出图形，属于中考常考题型．

20．如图，正方形ABCD的顶点D在正方形ECGF的边EC上，顶点B在GC的延长线上，连接EG、BE，∠EGC的平分线GH过点D交BE于H，连接HF交EG于M，则的值为　+1　．

【考点】正方形的性质．

【分析】取EG中点O，连接OH，先证明△BCE≌△DCG推出HG⊥BE，再证明△BGH≌△EGH，推出OH是三角形中位线，设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a，利用△DHN∽△DGC，得=，求出a、b之间的关系，最后由△EFM∽△OMH，得==，推出==即可解决问题．

【解答】解：取EG中点O，连接OH

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=DC，∠BCE=90°，

同理可得CE=CG，∠DCG=90°，

在△BCE和△DCG中，

，

∴△BCE≌△DCG，

∴∠BEC=∠DGC，

∵∠EDH=∠CDG，∠DGC+∠CDG=90°，

∴∠EDH+∠BEC=90°，

∴∠EHD=90°，

∴HG⊥BE，

在△BGH和△EGH中，

，

∴△BGH≌△EGH，

∴BH=EH，

∵EH=HB，EO=OG，

∴HO∥BG，HO=BG=EF，

设EC和OH相交于点N．

设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a，

∵OH∥BC，

∴△DHN∽△DGC，

∴=，即=，即a2+2ab﹣b2=0，

解得：a=（﹣1+）b，或a=（﹣1﹣）b（舍去），

则=﹣1，

∵EF∥OH，

∴△EFM∽△OMH，

∴==，

∴=， =，

∴====，

∴=+1．

故答案为．

【点评】本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键，题目比较难．

三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）

21．先化简，再求值：÷（x+2﹣），其中x=2cos45°﹣tan60°．

【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．

【分析】先算括号里面的，再算除法，求出x的值代入进行计算即可．

【解答】解：原式=÷

=•

=，

当x=2×﹣×=﹣3时，原式==．

【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．

22．如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．

（1）在方格纸中画出以A为直角顶点的直角三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，且△ABE的面积为5；

（2）在方格纸中画出以CD为一边的△CDF，点F在小正方形的顶点上，且△CDF的面积为3，CF与（1）中所画线段AE平行，连接BF，请直接写出线段BF的长．

【考点】作图—应用与设计作图．

【分析】（1）过点A作EA⊥AB，不难找到点E，满足△ABE面积为5．

（2）过点C作CF∥AE，根据△CDF面积为3即可找到点F（有两个）．

【解答】解：（1）满足条件的点E如图所示．

（2）图中点F和点F′就是所求的点．

BF==或BF==5．

【点评】本题考查三角形面积的计算、学生的动手能力，灵活掌握在网格图中求三角形面积的方法是解决问题的关键，注意一题多解．

23．某校为了解九年级学生体育测试情况，以九年级（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：

（说明：A级：90分～100分；B级：75分～89分；C级：60分～74分；D级：60分以下）

（1）请把条形统计图补充完整；

（2）样本中D级的学生人数占全班学生人数的百分比是　10%　；

（3）扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数是　72°　；

（4）若该校九年级有600名学生，请样本估计体育测试中A级学生人数约为　120　 人．

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

【分析】（1）先根据A级有10人，占20%，求得总人数，再用总人数减去A、B、C三个级别的人数，求出D级的人数，即可作出条形统计图；

（2）根据扇形统计图，用1减去A、B、C三个级别的百分比，即可求出D级的学生人数占全班学生人数的百分比；

（3）用360°乘以A级所占的百分比即可求解；

（4）用总人数乘以A级所占的百分比即可求解．

【解答】解：（1）总人数是：10÷20%=50，

则D级的人数是：50﹣10﹣23﹣12=5．

条形统计图补充如下：

（2）D级的学生人数占全班学生人数的百分比是：1﹣46%﹣20%﹣24%=10%；

（3）A级所在的扇形的圆心角度数是360×20%=72°；

（4）∵A级所占的百分比为20%，

∴A级的人数为：600×20%=120（人）．

故答案为10%；72°；120．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

24．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形．

（2）若AF=EF，∠BAF=108°，∠CDF=36°，直接写出图中所有的等腰三角形．

【考点】平行四边形的判定与性质；等腰三角形的判定．

【分析】（1）连接AC交BD于点O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，然后求出OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；

（2）根据平行线的性质得到∠ABF=∠CDF=36°，根据三角形的内角和得到∠AFB=180°﹣108°﹣36°=36°，即可得到结论．

【解答】（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，

在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，

∵BE=DF，

∴OB﹣BE=OD﹣DF，

即OE=OF，

∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；

（2）解：∵AB∥CD，

∴∠ABF=∠CDF=36°，

∴∠AFB=180°﹣108°﹣36°=36°，

∴AB=AF，

∵AF=EF，

∴△ABF和△AFE是等腰三角形，

同理△EFC与△CDE是等腰三角形．

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，作出辅助线是解题的关键．

25．（10分）（2016•松北区模拟）松雷中学图书馆近日购进甲、乙两种图书，每本甲图书的进价比每本乙图书的进价高20元，花780元购进甲图书的数量与花540元购进乙图书的数量相同．

（1）求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？

（2）松雷中学计划购进甲、乙两种图书共70本，总购书费用不超过4000元，则最多购进甲种图书多少本？

【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．

【分析】（1）设乙种图书每本的进价为x元，则甲种图书每本的进价是（x+20）元，根据花780元购进甲图书的数量与花540元购进乙图书的数量相同，列方程求解；

（2）设购进甲种图书m本，则购进乙种图书为（70﹣m）本，根据总购书费用不超过4000元，列不等式求解．

【解答】解：（1）设乙种图书每本的进价为x元，则甲种图书每本的进价是（x+20）元，

由题意得， =，

解得：x=45，

经检验，x=45是原分式方程的解，且符合题意，

则x+20=65．

答：甲种图书每本的进价为45元，乙种图书每本的进价是65元；

（2）设购进甲种图书m本，则购进乙种图书为（70﹣m）本，

由题意得，65m+45（70﹣m）≤4000，

解得：m≤42.5，

∵m为整数，且取最大值，

∴m=42．

答：最多购进甲种图书42本．

【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．

26．（10分）（2016•松北区模拟）已知：CD为△ABC的外角平分线，交△ABC的外接圆O于D．

（1）如图1，连接OA，OD，求证：∠AOD=2∠BCD；

（2）如图2，若CB平分∠ACD，求证：AB=BD；

（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为，tan∠ABC=，求CD的长．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）连接BD，由圆周角定理可知∠ABD=2∠ABD，要证明∠AOD=2∠BCD，即证明∠ABD=∠BCD，由圆内接四边形的性质和角平分线即可知∠HCD=∠BCD=∠ABD；

（2）由CB平分∠ACD可知∠ACB=∠DCB，所以，从而可得AB=BD；

（3）由（2）可知△ABD是等边三角形，且⊙O的半径为，所以AB的长度可求，连接OC并延长交⊙O于点E，连接AE，所以CE=，利用tan∠ABC=tan∠E可求得AC的长度，设CN=x，由因为tan∠ABC=tan∠CDA，所以DN=2x，利用勾股定理列出方程即可求得x，进而求得CD的长度．

【解答】解：（1）如图1，连接BD，

∵CD为△ABC的外角平分线，

∴∠HCD=∠BCD，

∵∠HCD=∠ABD，

∴∠ABD=∠BCD，

∵∠AOD=2∠ABD，

∴∠AOD=2∠BCD；

（2）∵CB平分∠ACD，

∴∠ACB=∠DCB，

∴=，

∴AB=BD；

（3）连接OC并延长交⊙O于点E，连接AE，

过点O作OM⊥AB于点M，

过点C作CN⊥AD于点N，

由（2）可知：∠HCD=∠DCB=∠ACB=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠AOM=60°，

∵OA=，

∴sin∠AOM=，

∴AM=，

∴由垂径定理可知：AB=2AM=2，

∴AD=AB=2，

∵∠CEA=∠ABC，

∴tan∠CEA=tan∠ABC=，

∴sin∠CEA=，

∴=，

∴AC=，

∵∠CDA=∠ABC，

∴tan∠CDA=，

设CN=x，则DN=2x，

∴AN=2﹣2x，

∵由勾股定理可知：AC2=AN2+CN2，

∴=（2﹣2x）2+x2

∴x=或x=，

当x=时，

∴DN=2x=，

∴CN=，

∵CD=x，

∴CD=．

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及锐角三角函数，勾股定理，圆周角定理，垂径定理等知识，考查学生灵活运用知识的能力，解决本题的关键是连接OC并延长交⊙O于点E，连接AE构造直角△ACE．

27．（10分）（2016•松北区模拟）已知：y=ax2﹣4ax交x轴于O、A两点，对称轴交x轴于点E，顶点为点D，若△AOD的面积为4．点P是x轴上方抛物线上一动点，作PH⊥x轴，垂足为H，连接PA，作直线HQ⊥PA交y轴于点Q，

（1）求a的值．

（2）在点P运动过程中，连接QD，若∠PAO=∠QDE，求HE的长度．

（3）点Q关于AP的对称点为点K，若2HA=QH，求点P的坐标及KE的长．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）根据三角形面积公式求出点D坐标，然后代入抛物线解析式即可求出a．

（2）如图1中，设点P（m，﹣ m2+2m），求出直线PA，HQ的解析式，得到点Q坐标（0，﹣2），根据tan∠QDE=tan∠PAO=，列出方程即可解决问题．

（3）设QH交PA于点F，作FN⊥AO于N，由△OQH∽△FAH，以及在RT△OQH中利用勾股定理，想办法求出点F、点K坐标即可解决问题．

【解答】解：（1）令y=0，则ax2﹣4ax=0，x=0或4．

∴•OA•DE=4，

∴DE=2，

∴点D坐标（2，2）代入y=ax2﹣4ax，2=4a﹣8a，

∴a=﹣．

（2）如图1中，由（1）可知抛物线y=﹣x2+2x，设点P（m，﹣ m2+2m），

设直线PA为y=kx+b，把P（m，﹣ m2+2m），A（4，0）代入得，解得，

∴直线PA为y=﹣mx+2m，

∵直线QH⊥PA，设直线HQ为y=x+b′，把H（m，0）代入得，b′=﹣2，

∴OQ=2，

∴tan∠QDE=tan∠PAO=，

∴4﹣m=2（﹣m2+2m） m1=1，m2=4（舍）

∴HE=1．

（3）设QH交PA于点F，作FN⊥AO于N．

∵∠HFA=∠HOQ，∠OHQ=∠FHA，

∴△OQH∽△FAH，

∴AF：OQ=AH：QH=：2，

∴AF=，设HQ=x，则AH=x，

在RT△OHQ中，22+（4﹣x）2=x，解得x=（或2舍弃不合题意），

∴AH=，OH=，FH=，

∵•FH•FA=•AH•FN，

∴××=××FN，

∴FN=1，HN==，

∵点F坐标（1，1），点Q（0，﹣2）

又∵K、Q关于点F对称，

∴点K坐标（2，4），

∵点E坐标（2，0）

∴KE=4．

【点评】本题考查二次函数、一次函数的有关知识，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会利用相似三角形的性质求线段，掌握利用面积法求高，记住中点坐标公式，属于中考压轴题．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/1d667ceb06a1b0717fd5360cba1aa81144318ff1.html