两个互成A角的平面镜间到底能成几个像

发布时间：2019-02-12 00:06:01 来源：文档文库

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两个互成a角的平面镜间到底能成几个像

浙江省奉化中学邬剑峰 315500

先让我们通过一个实际例子来看一看两个互成a角的平面镜间的成像情况：如图1所示，平面镜OM和ON互成a角，物点S与O的连线与平面镜OM成θ角，和平面镜ON成β角，根据平面镜成像性质可知，要使物点S在第一个平面镜中所成的像S1能通过第二个平面镜继续成像，那么第一个像S1必须在第二个平面镜前，且第二个平面镜应处于第一像的可见区域中，这样一来，使发光点射向第一平面镜的光线的反射光线以能够射向第二个镜并再反射成像（只要物体在平面镜前，我们就能通过平面镜看到物体的像，但由于物体在平面镜前的位置不同，我们看像的方向和位置就有所不同），依次类推。

那么它能不能无限成像下去呢？让我们具体地来计算一下，设∠MOS＝θ，∠NOS＝β 如图2所示， S在ON中所成像为S1，因为像S1处于平面镜OM前，且平面镜OM在S1的可见区域内，故像S1能通过平面镜OM再次成像S2，根据几何知识可知，∠S2ON＝2·（θ+2β）-β＝２a＋β（两平面镜间的夹角为a），且∠S2ON＝２a＋β< 1800,也就是说像Ｓ２也在平面镜ＯＮ前，并且平面镜处于Ｓ２的可见区域内，所以像Ｓ２可以在平面镜ＯＮ中继续成像Ｓ３，根据数学知识可知，像Ｓ３与O的连线跟平面镜夹角为3a＋β……，如此继续下去直到像不在任何一平面镜前，也就是说像Sn与O的连线跟平面镜夹角na＋β≥1800时，不再成像了，因此，成像的个数为： n ＝

同理：Ｓ也可先在平面镜ＯＭ中成像，再在ＯＮ中成像，其成像的个数为：

nˊ ＝

所以成像的总个数为：

Ｎ＝ n ＋ nˊ＝＋＝－１　　…………①

因为a不一定能被360０整除，所以我们还应对①式进行讨论：

１、当＝２Ｋ　　（Ｋ＝１、２、３、……）

则，Ｎ＝２Ｋ－１　　实际上，在上面这种情况下，我们根据几何知识可知，Ｓ经平面镜ＯＭ和ＯＮ最后一个所成的像是重合的，因而物点加上所成的像点的总个数为２Ｋ个，且它们关于平面镜的交点对称分布，如下图a＝９００和６００像的个数和分布情况

２、当＝２Ｋ＋１时，成像的个数有可能为２Ｋ个（物点在角平分线上），此时，其最后的像都成在平面镜的延长线上），或２Ｋ＋１个（物点不在角平分线上），我们在这里不再证明，如a＝1200、720时

3、当不是正整数时，则像的个数不能用具体公式表示，但我们可以通过作图法，找出所成像的个数，如图5所示，根据上面讨论可知，物点S第三次所成的像S3其位置已位于两平镜的后面（阴影区域），因而它不可能再成像了，其实物点和那些像点在分布上还有一定的规律，根据平面镜成像的对称性可知，这些点处于以O为圆心，以OS为半径的圆周上，如图6所示，